2023天津市第二十五中学高二下学期第一次月考数学试题含解析

天津市第二十五中学2022-2023第二学期

高二第一次月考（数学）

满分：100分  时长：100分钟

一、选择题（每题3分，共30分）

1. 已知函数f（x）＝x2－ax＋3在（0，1）上为减函数，函数g（x）＝x2－aln x在（1，2）上为增函数，则a的值等于

A. 1 B. 2 C. 0 D.

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：函数f（x）＝x2－ax＋3在（0，1）上为减函数，所以，即，函数g（x）＝x2－aln x在（1，2）上为增函数，即，当，即恒成立，即，所以同时满足两个条件的，故选．

考点：1．导数的基本应用；2．函数的性质．

2. 函数的单调递减区间是(　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．

【详解】函数的定义域是（0，+∞），

y′=1﹣+= ，

令y′（x）＜0，解得：0＜x＜1，

故函数在（0，1）递减，

故选B．

【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，是一道常规题．

3. 若函数满足，则的值为（    ）．

A. 1 B. 2 C. 0 D.

【答案】C

【解析】

【分析】

求导得到，取带入计算得到答案.

【详解】，则，

则，故.

故选：C.

【点睛】本题考查了求导数值，意在考查学生的计算能力和应用能力.

4. 设函数，则是

A. 奇函数，且在（0,1）上是增函数 B. 奇函数，且在（0,1）上是减函数

C. 偶函数，且在（0,1）上是增函数 D. 偶函数，且在（0,1）上是减函数

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：由题意得，函数的定义域为，解得，

又，所以函数的奇函数，

由，令，又由，则

，即，所以函数为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数在上增函数，故选A.

考点：函数的单调性与奇偶性的应用.

【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的判定、函数的单调性的判定与应用、复合函数的单调性的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于基础题.

5. 函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由图可知f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，所以可得x＞0和x＞0时，导函数均为负，从而可得答案

【详解】∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，

∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.

故选：D

6. 函数的单调减区间是（    ）

A.  B.  C. ， D.

【答案】D

【解析】

【分析】由函数的导数小于零，解不等式即可求解.

【详解】，

，

令，解得，

所以函数的单调递减区间是.

故选：D

7. 函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先研究函数在区间上的单调性，再根据单调性求最值即可.

【详解】解：，解得，

再根据二次函数性质得在上，

在上，所以函数在单调递增，

在单调递减，所以，

，，

所以.

所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是.

故选：B.

【点睛】本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是基础题.

8. 若函数在点处切线方程为，则函数的增区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先将代入得到切点为，求导得到，从而得到，解方程组得到，再利用导数求解单调区间即可.

【详解】将代入得到，所以切点为.

因为，

所以，

所以，

当时，，为增函数.

所以函数的增区间为.

故选：C

9. 若函数f(x)＝ax－ln x在x＝处取得极值，则实数a的值为(　　)

A.  B.

C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】对a分两种情况讨论，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)递减不合题意.当a＞0时，当x＝时，f(x)取得极小值，即＝，解之即得解.

【详解】当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)递减不合题意，∴a＞0.

f′(x)＝a－ (x＞0)，

令f′(x)＝0，即a－＝0，得x＝.当x∈时，f′(x)＜0，f(x)递减；

当x∈时，f′(x)＞0，f(x)递增．

∴当x＝时，f(x)取得极小值，f(x)无极大值．

∴＝，即a＝.

故答案为A

【点睛】(1)本题主要考查函数的极值的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)

求函数的极值的一般步骤:先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值.一般地，函数在点连续时，如果附近左侧>0，右侧<0，那么是极大值.一般地，函数在点连续时，如果附近左侧<0，右侧>0，那么是极小值.

10. 已知函数f(x)＝4x＋3sinx，x∈(－1，1)，如果f(1－a)＋f(1－a2)<0成立，则实数a的取值范围为(　　)

A. (0,1) B.  C.  D. (－∞，－2)∪(1，＋∞)

【答案】B

【解析】

【详解】，在上恒成立，在上是增函数，又是奇函数，∴不等式可化为，结合函数的定义域可知，须满足，解得，故选B.

【方法点晴】本题主要考查函数的定义域、 单调性、奇偶性性，利用单调性解不等式以及导数在函数中的应用，属于难题.根据函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组

二、填空题（每题3分，共15分）

11. 函数在上的最小值为__________．

【答案】.

【解析】

【详解】分析：先求导，再利用导数求函数的单调区间和最小值.

详解：由题得，

当x∈（0，）时，函数在（0，）上单调递增.

当x∈（,）时，函数在（,）上单调递减.

又f(0)=1>,.故答案为.

点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法. (2)由于函数先增后减，所以要比较的大小.

12. 曲线在点处的切线的倾斜角是________.

【答案】##

【解析】

【分析】求出导数，得切线斜率，由斜率得倾斜角．

【详解】，时，，

切线斜率为1，又倾斜角范围是，所以切线倾斜角为．

故答案为：．

13. 若函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，则实数m的取值范围是_____.

【答案】

【解析】

【分析】求导，利用判别式小于等于0得出实数m的取值范围.

【详解】f′(x)＝3x2＋2mx＋1.由题意得Δ＝4m2－12≤0，解得，即实数m的取值范围是.

故答案为：

14. 已知函数，则的图象在处的切线方程为________.

【答案】

【解析】

【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程.

【详解】，，又，

在处的切线方程为，即.

故答案为：.

15. 设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，当时，且则不等式的解集是________.

【答案】

【解析】

【分析】构造函数，根据已知，利用函数的奇偶性、导数进行求解.

【详解】设，则，

因为当时，，所以当时，，

所以函数在上单调递增，

又，分别是定义在上的奇函数和偶函数，

所以，即是上的奇函数，

故函数在上单调递增，，

又，所以，所以，

不等式等价于，解得或，

不等式解集是解集为.

故答案为：.

三、解答题（共55分）

16. 若函数，当时，函数有极值．

（1）求函数解析式，并求其在点处的切线方程；

（2）若方程有个不同的根，求实数的取值范围．

【答案】（1）；；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用函数的极值求出可得函数的解析式，根据导数的几何意义可求得切线方程；

（2）利用导数研究函数的性质，得到函数的图象，根据图象可得结果.

【详解】（1）∵，由题意得，解得，

经检验符合题意，

故所求函数的解析式为，

∴，，，

∴在点处的切线方程为，即．

（2）由（1）可得，令，得或．

当变化时，，的变化情况如下表：

因此，当时，有极大值，当时，有极小值，

所以函数的图象大致如图所示．

若有个不同的根，则直线与函数的图象有个交点，所以．即实数的取值范围为．

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数图象，利用数形结合的方法求解.

17. 已知函数，，．若在处与直线相切．

（1）求，的值；

（2）求在，上的最大值．

【答案】（1）；（2） .

【解析】

【分析】（1）对进行求导，先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于，的方程求得，的值．

（2）判定函数的单调性，可得函数的极大值就是最大值，求出函数的极值可确定出最大值．

【详解】（1）函数，，

函数在处与直线相切，

，解得；

（2），，

当时，令得：，

令，得，

在，，上单调递增，

在，上单调递减，

所以函数的极大值就是最大值，

（1）．

【点睛】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．

18. 设函数在区间上是增函数，在区间，上是减函数，又

（1）求解析式；

（2）若在区间上恒有成立，求的取值范围

【答案】（1）（2）

【解析】

【详解】（1）

由已知，即

解得

（2）令，即

或

又在区间上恒成立，

19. 已知函数

（1）时，求的最小值；

（2）若在上递增，求实数的取值范围.

【答案】（1）3    （2）

【解析】

【分析】(1)对函数求导，利用函数的单调性即可求出最小值；

(2)先求导，分离参数，转化成恒成立问题，再构造函数，求出参数的取值范围.

【小问1详解】

当时，

由，得到

易知：恒成立

时，；时，

所以当时，的最小值为

【小问2详解】

又在区间上递增，在上恒成立.

由，得到，即

令，单调递增，

，即

当时，，当且仅当时取等号

所以

20. 设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.

(1)求                   (2)证明:

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据求导法则求出原函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结合切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；（2）由（1 )可得的解析式，为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得.

试题解析：（1）函数的定义域为，

.

由题意可得，.故，.

（2）证明：由（1）知，，

从而等价于.

设函数，则.

所以当，；

当时，.

故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为.

设函数，则.

所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为.

综上，当时，，即.

考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式恒成立.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）的证明过程就是利用导数分别求出在上的最小值及在上的最大值，进而得证的.