2023湖南省多校联考高二下学期期中考试数学试题含答案

姓名________  准考证号________

（在此卷上答题无效）

绝密★启用前

2023年上学期高二期中联考

数学

本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

2．若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（    ）

A． B． C． D．

3．将A，B，C，D，E五个字母排成一排，且A，E均不排在两端，则不同的排法共有（    ）

A．108种 B．72种 C．36种 D．18种

4．已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．已知，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．如图，沿着网格线，先从点A到点B，然后经过点C，到达点D的最短的路径的条数为（    ）

A．720 B．480 C．360 D．240

7．在三棱锥中，面ABC，，，且，若G为△PAB的重心，则CG与平面ABC所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

8．甲盒中有2个红球和1个黄球，乙盒中有1个红球和2个黄球，丙盒中有1个红球和1个黄球．从甲盒中随机抽取一个球放入乙盒中，搅拌均匀，然后从乙盒中随机抽取一个球放入丙盒中，搅拌均匀后，再从丙盒中抽取一个球，则从丙盒中抽到的是红球的概率为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知双曲线C：，则双曲线的（    ）

A．焦点坐标为，

B．离心率为

C．渐近线方程为和

D．虚轴长为1

10．已知随机事件A，B满足，，则（    ）

A．若事件A，B互斥，则

B．若，则事件A，B互斥

C．若事件A，B相互独立，则

D．若，则事件A，B相互独立

11．如图，已知AD，BE，CF分别是△ABC的三条中线，G为△ABC的重心，设P为△ABC所在平面上任意一点，则（    ）

A． B．

C． D．

12．如图，已知直四棱柱的底面是边长为4的正方形，，E，F，G分别为，AB，的中点，H为正方形（包括边界）上的动点，则（    ）

A．存在点H，使得E，F，G，H四点共面

B．存在点H，使得面HEF

C．若，则H的轨迹长度为

D．四面体EFGH的体积为定值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知为第二象限角，，则的值为________．

14．从编号为1~5号的球中随机抽取一个球，记编号为i，再从剩下的球中取出一个球，记编号为j，在的条件下，的概率为________．

15．已知O为坐标原点，直线：与：交于点P，则的值为________．

16．已知函数存在两个极值点，，且，则a的取值范围是________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17．（本小题满分10分）

设（，）．

（1）当，时，记的展开式中的系数为（，1，2，3，4，5，6，8），求的值；

（2）若的展开式中的系数为20，求的最小值．

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面ABCD，Q为线段PD上的点，，，．

（1）证明：平面ACQ；

（2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值．

19．（本小题满分12分）

已知正项数列的前n项和为，且，，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：．

20．（本小题满分12分）

已知F为抛物线的焦点，O为坐标原点，过点的直线与抛物线交于A，B两点，且满足．

（1）求p的值；

（2）若，求直线AB的方程．

21．（本小题满分12分）

目前，我国近视患者人数多达6亿，青少年近视率居世界第一，从宏观出发，为了民族的未来，从微现出发，为了青少年的健康，青少年的近视问题已经提升到国家战略层面．根据卫健委要求，某中学抽查了60名学生的视力情况，按，，，，，分组，制作成如图所示的频率分布直方图．

（1）为了作进一步的调查，从视力在内的学生中随机抽取6人，若已知其中有两人的视力落在内，求另外四人视力均落在内的概率；

（2）用样本频率估计总体，从全校学生中随机抽取两名学生，记视力落在区间内的人数为X，落在区间内的人数为Y，试求的值．

22．（本小题满分12分）

已知函数，．

（1）若在上恒成立，求k的取值范围；

（2）设为图象上一点，为图象上一点，O为坐标原点，若∠AOB为锐角，证明：．

2023年上学期高二期中联考·数学

参考答案、提示及评分细则

1．【答案】D

【详解】全集为U，集合，，图中阴影部分表示的集合是．故选D．

2．【答案】B

【详解】根据实系数方程的虚根成共轭复数可知，另一个复数根为，故选B．

3．【答案】C

【详解】将A，B，C，D，E五个字母排成一排，且A，E均不排在两端，首先将A，E排在中间3个位置，有种排法，再将剩下的3个人全排列有种排法，所以一共有种排法．故选C．

4．【答案】C

【详解】因为方程表示椭圆，所以有解得或．

5．【答案】A

【详解】当时，，即，即，

又，即，故，即，

当时，由，无解，

综上，实数a的取值范围是．故选A．

6．【答案】C

【详解】从A点到B点需要向右走3段，向上走3段，共有种，

从B点到C点，向下走1段，向右走2段，共种，

从C点到D点，向右走2段，向上走2段，共种，

因此，从A点到D点的最短路径的走法有种．故选C．

7．【答案】D

【详解】因为G为重心，故，从而，

．

即．

，

则．

注意到平面ABC的法向量即，因此CG与平面ABC所成角的正弦值即为．故选D．

8．【答案】A

【详解】甲盒抽到黄球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为，

甲盒抽到黄球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的概率为，

甲盒抽到红球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为，

甲盒抽到红球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为，

甲盒抽到红球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的概率为，

因此丙盒中抽到的红球的概率为．故选A．

9．【答案】CD

【详解】由，，．

10．【答案】ACD

【详解】对于A选项，，故A正确；

对于B选项，，并不一定有A，B互斥；B错误

对于C选项，因为事件A，B相互独立，故，故C正确；

对于D选项，因为，故事件A，B相互独立，故D正确．

11．【答案】ACD

【详解】对于A选项，注意到，因此，从而，故A正确；

对于B选项，由可得，即，故B错误；

对于C选项，，，，相加即得，故C正确；

对于D选项，，同理，，三式相加即得，故D正确．

12．【答案】AC

【详解】对于A选项，当H为时，E，F，G，H共面，故A正确；

对于B选项，HG在面上的投影不可能与EF垂直，因此HG不垂直于EF，从而B错误；

对于C选项，取，的中点M，N，当H在MN上时，FH在面上的投影为NH，而，且，因此，即H的轨迹即为MN，且其长度为，故C正确；

对于D选项，由于面EFG与面不平行，因此体积不为定值．故D错误．

13．【答案】

【详解】由为第二象限角可知在第一、三象限，而，则在第一象限，故，因此

14．【答案】

【详解】设事件A：，事件B：，则事件AB：，则，，从而．

15．【答案】2

【详解】直线过定点，过定点，

当时，两直线的斜率分别为，，，故，从而；

当时，易求得，此时，

综上可知，．

16．【答案】

【详解】依题意有两个零点，即方程有两个解，，且满足，

设，则直线和函数的图象有两个不同的交点，且满足，

因为，因此函数在上单调递增，在上单调递减，

所以函数在处取得最大值，最大值为，故，

所以作直线和函数的图象如下：

由图象知：，

因此①当时，，不符合题意；

②当时，要，而函数在上单调递减，

则，即，解得，所以．

综合①②得．

又因为函数在上单调递增，，，所以a的取值范围是．

17．【详解】（1）由题意．

的展开式的通项为，

的展开式的通项为，……2分

故，，

因此；……5分

（2），即，……6分

则，……7分

由函数在上单调递减，在上单调递增．

注意到n取值为整数，因此的最小值为．……9分

因此的最小值为，……10分

18．【详解】（1）证明：如图，连接BD与AC相交于点M，连接MQ，

∵，，∴，……2分

∵，∴……4分

∵，平面ACQ，平面ACQ，∴平面ACQ；……6分

（2）由AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

各点坐标如下：，，，．

……8分

设平面ACQ的法向量为，

由，，有令，，，可得，……10分

由，有，，．

故直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为．……12分

19．【详解】依题意，当时，由，可得，……2分

则，两式相减可得，

即，即，

因为为正项数列，因此，……5分

则是以为首项，2为公差的等差数列，则；……6分

（2）由，

而，……9分

，

即．……12分

20．【详解】（1）设，，直线AB：，

联立抛物线方程得，得，，……3分

则．

由可得，可得，得，……5分

（2）由（1）可知拋物线方程为，，

此时AB；，，．

，……7分

．……9分

由，解得，……11分

因此直线AB的方程为，即．……12分

21．【详解】（1）视力落在内的人数为3，视力落在内的人数为6．

设事件A：抽取的6人中有两人的视力落在内，事件B：剩下的四人视力落在内．

则，，……2分

从而；……4分

（2）视力落在区间内的概率为，故．

视力落在区间内的概率为，故．

∴，……6分

令，则Z的可能取值为0，1，2，3，4，

若抽取的学生视力落在，内，则Z的值，若落在内，则Z的值，

视力落在内的概率为，落在内的概率为，

则；；

；；

．

∴，……11分

故．……12分

22．【详解】（1）先证明，构造函数，

则，故单调递增，从而，

即，因此，……2分

当时，，符合题意；……3分

当时，构造函数，

则，单调递增，且，，

故存在，使得，且时，，即单调递减，

则当时，，与题意矛盾．

综上所述，；……5分

（2）依题意可知，，则，即，

即．……6分

因为，，则不等式为，

设，则不等式为，……7分

设，则，

设，则，

因此，即，即单调递减，

因此，可得，即．……9分

首先证明：，

设，则，

由（1）可知，∴，从而，故，单调递增，

因此，从而，

因而，故．……12分