中考数学一轮复习考点过关练习考点04 一次方程（组） (含答案)

这是一份中考数学一轮复习考点过关练习考点04 一次方程（组） (含答案)，共37页。试卷主要包含了方程和方程的解的概念，一元一次方程及其解法，二元一次方程及解的概念，一次方程的应用等内容，欢迎下载使用。

考点04 一次方程（组）

一、方程和方程的解的概念
1．等式的性质
（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．
（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．
2．方程
含有未知数的等式叫做方程．
3．方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．
二、一元一次方程及其解法
1．一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为．
注意：前面的系数不为．
2．一元一次方程的解
使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
3．一元一次方程的求解步骤
变形名称
具体做法
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
合并同类项
把方程化成的形式
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为
注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．
三、二元一次方程（组）及解的概念
1．二元一次方程
含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
2．二元一次方程的解
使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．
3．二元一次方程组
由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为．学=科网
4．解二元一次方程组的基本思想
解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
5．二元一次方程组的解法
（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
四、一次方程（组）的应用
1．列方程（组）解应用题的一般步骤
（1）审题；
（2）设出未知数；
（3）列出含未知数的等式——方程；
（4）解方程（组）；
（5）检验结果；
（6）作答(不要忽略未知数的单位名称）．
2．一次方程（组）常见的应用题型
（1）销售打折问题：利润售价－成本价；利润率＝×100％；售价＝标价×折扣；销售额＝售价×数量．
（2）储蓄利息问题：利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金＋利息＝本金×(1＋利率×期数)；贷款利息＝贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量＝工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程＝速度×时间．
（5）相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程．
（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程＝追者走的路程．
（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程＋两地间距离＝追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度．

考向一 一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（是常数且）．

典例1 下列方程中，是一元一次方程的是
A． B．
C． D．
【答案】B

【名师点睛】本题考查了一元一次方程，解答此题明确一元一次方程的定义是关键．一元一次方程是指只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程就叫做一元一次方程.据此逐项分析再选择即可．

1．若是一元一次方程,则等于
A．1 B．2
C．1或2 D．任何数
考向二 解一元一次方程
解一元一次方程的主要步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1．

典例2 方程的解是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将方程系数化1可得．故选A．
【名师点睛】此方程比较简单，这是一个系数不为1的方程，将系数化为1，就可得到该方程的解．解方程的过程就是一个方程变形的过程，变形的依据是等式的基本性质，变形的目的是使方程接近（为常数）的形式．

2．如果，那么a的值是
A．　　　　　 B．
C．　　　　　　 D．
3．方程2y－＝y－中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是.这个常数应是
A．1 B．2
C．3 D．4

考向三 一元一次方程的应用
列方程解实际应用题的一般步骤：
（1）审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；
（2）设：恰当设出关键未知数；
（3）列：找出适当等量关系，列方程；
（4）解：解方程；
（5）验：检验所解值是否正确或是否符合实际意义；
（6）答：规范作答，注意单位名称．

典例3 整理一批图书，如果由一个人单独做要花60小时．现先由一部分人用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？
【答案】先安排整理的人员有10人．
【解析】设先安排整理的人员有人，
依题意得，解得．
答：先安排整理的人员有10人．
【名师点睛】解决本题的关键是得到工作量1的等量关系；易错点是得到相应的人数及对应的工作时间．

4．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个．若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是
A． B．
C． D．
考向四 二元一次方程（组）的定义
（1）二元一次方程应满足：①含有2个未知数；②含有未知数的项的次数都是1；③是整式方程．
（2）由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．

典例4 下列方程中，是二元一次方程的是
A． B．
C． D．
【答案】D

典例5 下列方程中，是二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据定义可以判断：
A、，满足要求；
B、中含有a，b，c，是三元方程；
C、中含有，是二次方程；
D、中含，是二次方程．
故选A．
【名师点评】二元一次方程组的三个必需条件：（1）含有两个未知数；（2）每个含未知数的项次数为1；（3）每个方程都是整式方程．

5．若方程是关于的二元一次方程，则m满足
A． B．
C． D．
考向五 解二元一次方程组
二元一次方程组的两种解法：①加减消元法；②代入消元法．

典例6 方程组的解是_______________．
【答案】
【解析】，
把②代入①得，解得，
把代入②得，
故方程组的解为．
故填．
典例7 方程组的解是_______________．
【答案】
【解析】，
用①＋②得，即，
把代入②得，解得，
所以方程组的解为，
故填．

6．二元一次方程组的解是
A． B．
C． D．
7．已知是方程组的解，则_______________．
考向六 二元一次方程组的应用
由实际问题抽象出二元一次方程组的主要步骤：
①弄清题意；
②找准题中的两个等量关系；
③设出合适的未知数；
④根据找到的等量关系列出两个方程并联立成二元一次方程组．

典例8 母亲节那天，很多同学给自己的妈妈准备了鲜花和礼盒，由图中信息可知一束鲜花的价格是_______________元．

【答案】
【解析】设一束鲜花元，一个礼盒元，
由题意可得，解得，
所以一束鲜花元．
故填．
典例9 我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有，人，则可以列方程组_______________．
【答案】

8．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意，可列方程组为_______________．
9．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．


1．若方程是一元一次方程，则等于
A． B．
C． D．
2．已知等式，则下列等式中不一定成立的是
A． B．
C． D．
3．已知下列方程：
①；②；③；④；⑤；⑥．
其中一元一次方程的个数是
A．2 B．3
C．4 D．5
4．如果，那么的值是
A． B．
C． D．
5．下列方程组中是二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
6．方程的解是，则
A．－8 B．0
C．2 D．8
7．某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店
A．不赔不赚 B．赚了10元
C．赔了10元 D．赚了50元
8．方程组的解是
A． B．
C． D．
9．已知方程，当与相等时，与的值分别是
A． B．
C． D．
10．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为
A．120元 B．100元
C．80元 D．60元
11．如果是方程的一个解（），那么
A．， B．，异号
C．，同号 D．，可能同号，也可能异号
12．某木工厂有22人，一个工人每天可加工3张桌子或10只椅子，1张桌子与4只椅子配套，现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套而没有剩余，若设安排个工人加工桌子，个工人加工椅子，则列出正确的二元一次方程组为
A． B．
C． D．
13．如图，小明将一个正方形纸剪出一个宽为4 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条面积为
A． B．
C． D．

14．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则的值是
A．　　　　　　 B．
C．　　　　　 　 D．
15．若是二元一次方程，则_______________，_______________．
16．二元一次方程组的解为_______________．学科网
17．一件衣服售价为元，六折销售，仍可获利，则这件衣服的进价是_______________元．
18．已知是方程组的解，则_______________．
19．某班学生去看演出，甲种票每张30元，乙种票每张20元．如果36名学生购票恰好用去860元．设甲种票买了张，乙种票买了张，依据题意，可列方程组为_______________．
20．已知与互为相反数，则_______________．
21．当_______________时，与的值互为倒数．
22．若二元一次方程组的解，的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则的值为_______________．
23．解下列方程：
（1）； （2）；




（3）； （4）．



24．解方程组：
（1）； （2）；



（3）； （4）.



25．用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身16个或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？





26．公园门票价格规定如下表：
购票张数
1～50张
51～100张
100张以上
每张票的价格
13元
11元
9元
某校初一（1）、（2）两个班共104人去游公园，其中（1）班人数较少，不足50人．
经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问：
（1）两班各有多少学生？
（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？
（3）如果初一（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？






27．某校准备组织七年级学生参加夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人，现有学生400人，计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．
（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？
（2）请你帮学校设计出所有的租车方案；
（3）若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的方案，并求出最省租金．




28．一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？
（3）装修完毕第二天即可正常营业，且每天仍可盈利200元（即装修前后每天盈利不变），你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由．（可用（1）（2）问的条件及结论）





1．（2018甘肃省陇南）已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是
A． B．2a=3b
C． D．3a=2b
2．（2018北京）方程组的解为
A． B．
C． D．
3．（2018湖南省怀化）二元一次方程组的解是
A． B．
C． D．
4．（2018内蒙古通辽）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是
A．亏损20元 B．盈利30元
C．亏损50元 D．不盈不亏
5．（2018台湾）若二元一次方程式的解为x=a，y=b，则a+b之值为何？
A．24 B．0
C．﹣4 D．﹣8
6．（2018广西壮族自治区桂林）若，则x，y的值为
A． B．
C． D．
7．（2018福建）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是
A． B．
C． D．
8．（2018云南省曲靖）一个书包的标价为115元，按8折出售仍可获利15%，该书包的进价为_____元．
9．（2018江苏省淮安）若关于x、y的二元一次方程3x﹣ay=1有一个解是，则a=_____．
10．（2018湖北省随州）已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a+b=_____．
11．（2018内蒙古呼和浩特）文具店销售某种笔袋，每个18元，小华去购买这种笔袋，结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在便宜36元”，小华说：“那就多买一个吧，谢谢”，根据两人的对话可知，小华结账时实际付款_____元．
12．（2018浙江省宁波）已知x，y满足方程组，则的值为______．
13．（2018山东省滨州）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是_______．
14．（2018黑龙江省绥化）为了开展“阳光体育”活动，某班计划购买甲、乙两种体育用品每种体育用品都购买，其中甲种体育用品每件20元，乙种体育用品每件30元，共用去150元，请你设计一下，共有______种购买方案．
15．（2018山东省德州）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3，所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y=_____________.
16．（2018福建）解方程组：．



17．（2018江苏省宿迁）解方程组：.



18．（2018江苏省镇江）小李读一本名著，星期六读了36页，第二天读了剩余部分的，这两天共读了整本书的，这本名著共有多少页？





19．（2018安徽）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？” 大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问城中有多少户人家？请解答上述问题.





20．（2018吉林省长春）学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润．
（1）求每套课桌椅的成本；
（2）求商店获得的利润．



21．（2018辽宁省锦州）为迎接“七·一”党的生日，某校准备组织师生共310人参加一次大型公益活动，租用4辆大客车和6辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多15个.
（1）求每辆大客车和小客车的座位数；
（2）经学校统计，实际参加活动人数增加了40人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆？



22．（2018湖南省益阳）益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低.马迹塘一农户需要将A，B两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A，B产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元，A，B两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元∕件）如下表所示：
品种
A
B
原来的运费
45
25
现在的运费
30
20
（1）求每次运输的农产品中A，B产品各有多少件？
（2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的总件数增加8件，但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？




变式拓展

1．【答案】B
【解析】根据一元一次方程最高次为一次项，得│2m−3│=1，解得m=2或m=1，
根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m−1≠0,解得m≠1，所以m=2.
故选B.
【名师点睛】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义.若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此列出关于m的等式，继而求出m的值．

4．【答案】D
【解析】设分配名工人生产螺栓，则人生产螺母，根据一个螺栓要配两个螺母可得方程.
故选D．
5．【答案】C
【解析】由方程mx﹣2y=3x+4可得：（m﹣3）x﹣2y=4，
∵方程是关于x，y的二元一次方程，∴m﹣3≠0，∴m≠3．
故选C．
【名师点睛】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程未知数x的系数不为0判断即可．
6．【答案】B
【解析】，①－②可得，即，把代入①，可得，所以，故选B．
9．【答案】鸡有23只，兔有12只．
【解析】设鸡有只，兔有只，
由题意可得，解得，
答：鸡有23只，兔有12只．
【思路点拨】设鸡有只，兔有只，由等量关系：鸡兔共有35只，共有94足，列出方程组，解方程组即可．
考点冲关

1．【答案】C
【解析】因为方程是一元一次方程，所以，所以，所以．
故选C．
2．【答案】C
【解析】A、根据等式的性质1可知：等式的两边同时减去5，可得；
B、根据等式性质1，等式的两边同时加上1，可得；
D、根据等式的性质2：等式的两边同时除以3，可得；
C、当时，不成立，故C错．
故选C．
【名师点评】本题主要考查了等式的基本性质，难度不大，关键是基础知识的掌握．
5．【答案】D
【思路分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．学+科网
【解析】A、中的是二次的，故此选项错误；
B、中含有，不是整式方程，故此选项错误；
C、中含有3个未知数，故此选项错误；
D、符合二元一次方程组的定义，故此选项正确．
故选D．
6．【答案】D
【解析】把代入方程，得到，解得．故选D．
7．【答案】B
【解析】设盈利的进价是元，由题意可得，解得，
设亏本的进价是元，由题意可得，解得，
所以元，即在这次买卖中，这家商店赚了10元．
故选B．
【名师点评】本题考查理解题意的能力，关键是根据利润=售价－进价，求出两个商品的进价，从而得解．
8．【答案】D
【解析】，把方程①代入方程②，可得，解得，把代入方程①可得，所以方程组的解为.
故选D．
9．【答案】D
【解析】根据已知，可得，解得，故.
故选D．
10．【答案】C
【解析】设该商品的进价为元，依题意得，解得，
所以该商品的进价为80元．
故选C．
【名师点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程．本题属于基础题，难度不大，解决该类型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．
11．【答案】B
【解析】把代入方程，可得，即，
因为，所以，异号．故选B．
12．【答案】A
【解析】根据人数之和为22以及桌子的数量的4倍等于椅子的数量列出二元一次方程组，可得．故选A．
13．【答案】D
【解析】设原正方形的边长为x，则4x=5(x-4)，解得x=20，所以4x=80.
故选D.
14．【答案】B
【解析】代入，可得，两式相减可得．
故选B．
15．【答案】
【解析】因为是二元一次方程，所以且，解得，．
【名师点评】二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；
（2）含未知数项的最高次数为一次；
（3）方程是整式方程．
16．【答案】
【解析】，
由①得： ③，
把③代入②，得，解得，
把代入①，解得，
所以二元一次方程组的解为．故填．
17．【答案】100
【解析】设进价是元，则，解得，故则这件衣服的进价是100元．
18．【答案】
【解析】把代入方程组，可得，
①×2－②得，即，
把代入②，解得，则．故填．
19．【答案】
【解析】甲种票买了张，乙种票买了张，根据“36名学生购票恰好用去860元”作为相等关系列方程组即可，可得．
20．【答案】
【解析】由题意，可得，即，解得，
所以．
21．【答案】
【解析】因为与的值互为倒数，所以，去分母得，去括号得，移项、合并得，系数化为1得．故当时，与的值互为倒数．

23．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1），去括号，得
移项，得，
系数化为1，得．
（2），
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得
系数化为1，得．
（3），
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（4），
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
24．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】（1），①×3－②可得，
将代入①可得，
故方程组的解为．
（2），利用加减消元法，用①+②可得，代入方程可得，故方程组的解为．
（3），（①＋②）÷5，得③，
②-③得，x=30，将x=30代入③得，y=15.
所以不等式组的解为．
（4），①×4+②得：9x=27，解得：x=3，
把x=3代入①得：y=﹣4，
则方程组的解为．
【名师点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.方程组利用加减消元法求出解即可.
25．【答案】用86张制盒身，64张制盒底，可以正好制成整套罐头盒．
【思路分析】设张制盒身，则可用张制盒底，那么盒身有个，盒底有个，然后根据一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒就可以列出方程，解方程就可以解决问题．
【解析】设张制盒身，则可用张制盒底，
由此可列方程：，解得，所以，
答：用86张制盒身，64张制盒底，可以正好制成整套罐头盒．
【名师点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
26．【答案】（1）初一（1）班48人，初一（2）班56人；（2）可省304元；（3）48人买51人的票可以更省钱．
【解析】（1）设初一（1）班有人，
则或，
解得或（不合题意，舍去）．
故初一（1）班48人，初一（2）班56人；
（2）由题可得，
故如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省304元；
（3）要想享受优惠，由（1）可知初一（1）班48人，只需多买3张，
，，
所以48人买51人的票可以更省钱．
27．【答案】（1）65；（2）见解析；（3）租小客车2辆、大客车8辆最省钱，最省租金为3440元．
【解析】（1）设1辆小客车一次可送学生x人，1辆大客车都坐满后一次可送y名学生，
由题意可得，解得，所以，
答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生．
（3）各种租车费用：①20×200=4000（元）；②11×200+4×380=3720（元）；③2×200+8×380=3440（元）；
因为3440＜3720＜4000，所以租小客车2辆，大客车8辆最省钱，最省租金为3440元．
28．【答案】（1）甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元；（2）单独请乙组所需费用最少；（3）商店请甲、乙两组同时装修，才更有利．
【解析】（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元；
（2）单独请甲组所需费用为：300×12=3600（元），
单独请乙组所需费用为：140×24=3360（元），
∵3600＞3360，
∴单独请乙组所需费用最少．
（3）商店请甲、乙两组同时装修，才更有利，理由如下：
单独请甲组完成，损失钱数为：200×12+3600=6000（元），
单独请乙组完成，损失钱数为：200×24+3360=8160（元），
请甲、乙两组同时完成，损失钱数为：200×8+3520=5120（元）．
∵8160＞6000＞5120，
∴商店请甲、乙两组同时装修，才更有利．
【名师点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组.即设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据“若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据所需总费用=每天应付钱数×工作天数，分别求出单独请甲、乙两组完成所需费用；
（3）根据损失总钱数=每天盈利×装修时间+装修队所需费用，分别求出单独请甲、乙两组及请甲乙两组同时完成所损失的总钱数.
直通中考

1．【答案】B
【解析】由得，3a=2b，
A、由等式性质可得：3a=2b，正确；
B、2a=3b与3a=2b不相同，错误；
C、由等式性质可得：3a=2b，正确；
D、显然正确；
故选B．
【名师点睛】本题考查了等式的性质，根据等式的性质对各选项分析判断即可得解．
2．【答案】D
【解析】将4组解分别代入原方程组，只有D选项同时满足两个方程，
故选D．
【名师点睛】考查方程组的解的概念,能同时满足方程组中每个方程的未知数的值，叫做方程组的解.根据方程组解的概念，将4组解分别代入原方程组，一一进行判断即可.
3．【答案】B
【解析】，
①+②得：2x=0，解得：x=0，
把x=0代入①得：y=2，
则方程组的解为，
故选B．
【名师点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．本题方程组利用加减消元法求出解即可．
4．【答案】A
【解析】设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，
根据题意得：150﹣x=25%x，150﹣y=﹣25%y，
解得：x=120，y=200，
∴150+150﹣120﹣200=﹣20（元），
故选A．
【名师点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，根据销售收入﹣进价=利润，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再由两件商品的销售收入﹣成本=利润，即可得出商店卖这两件商品总的亏损20元．
5．【答案】A
【解析】，
①﹣②×3，得：﹣2x=﹣16，解得：x=8，
将x=8代入②，得：24﹣y=8，解得：y=16，
即a=8、b=16，则a+b=24，
故选A．
【名师点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的能力．利用加减法解二元一次方程组，求得a、b的值，再代入计算可得答案．
6．【答案】D
【解析】∵，∴，
将方程组变形为，
①+②×2得，5x=5，解得x=1，
把x=1代入①得，3−2y=1，解得y=1，
∴方程组的解为．
故选D．
【名师点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．先根据非负数的性质列出关于x、y的二元一次方程组，再利用加减消元法求出x的值，利用代入消元法求出y的值即可．
7．【答案】A
【解析】设绳索长为x尺，竿长为y尺，根据题意得：．
故选A．
【名师点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，正确找出等量关系是解决问题的关键.设绳索长为x尺，竿长为y尺，根据“绳索比竿长5尺及将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．
8．【答案】80
【解析】设该书包的进价为x元，
根据题意得：115×0.8−x=15%x，
解得：x=80．
答：该书包的进价为80元．
故答案为80．
【名师点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设该书包的进价为x元，根据销售收入−成本=利润，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
9．【答案】4
【解析】把代入方程得：9﹣2a=1，
解得：a=4，
故答案为：4．
【名师点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
10．【答案】5
【解析】∵是关于x，y的二元一次方程组的一组解，
∴，解得，
∴a+b=5，
故答案为：5．
【名师点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解题意，用转化的思想解答是解题的关键.根据方程组解的定义，把问题转化为关于a、b的方程组，求出a、b即可解决问题.
11．【答案】486
【解析】设小华购买了x个笔袋，
根据题意得：18（x﹣1）﹣18×0.9x=36，
解得：x=30，
∴18×0.9x=18×0.9×30=486，
即小华结账时实际付款486元，
故答案为：486．
【名师点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设小华购买了x个笔袋，根据原单价×购买数量（x﹣1）﹣打九折后的单价×购买数量（x）=节省的钱数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出小华购买的数量，再根据总价=单价×0.9×购买数量，即可求出结论．
12．【答案】−15
【解析】∵，
∴=（x+2y）（x−2y）=−3×5=−15，
故答案为：−15.
【名师点睛】本题考查代数式求值，涉及二元一次方程组、平方差公式因式分解，根据代数式的结构特征选用恰当的方法进行解题是关键.观察所求的式子以及所给的方程组，可知利用平方差公式进行求解即可得.也可解二元一次方程组求出x，y的值，再代入求解.
13．【答案】
【解析】∵关于x、y的二元一次方程组的解是，
∴将解代入方程组，可得m=﹣1，n=2，
∴关于a、b的二元一次方程组整理为：，
解得：．
【名师点睛】本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．利用关于x、y的二元一次方程组的解是可得m、n的数值，代入关于a、b的方程组即可求解，利用整体的思想找到两个方程组的联系再求解的方法更好．
14．【答案】两
【解析】设购买甲种体育用品x件，购买乙种体育用品y件，
依题意得：20x+30y=150，即2x+3y=15，
由于x、y均为正整数，
所以或，即有两种购买方案，
故答案是：两．
【名师点睛】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解，弄清题意，找准等量关系正确列出方程是解题的关键.设购买甲种体育用品x件，购买乙种体育用品y件，根据“甲种体育用品每件20元，乙种体育用品每件30元，共用去150元”列出方程，求解方程的正整数解即可得答案.
15．【答案】60
【解析】由题意可知：，
解得：．
∵x＜y，∴原式=5×12=60．
故答案为：60．
【名师点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．
16．【答案】
【解析】，
②﹣①得：3x=9，
解得：x=3，
把x=3代入①得：y=﹣2，
则方程组的解为.
【名师点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．本题方程组利用加减消元法求出解即可．
17．【答案】.
【解析】 ，
由①得：x=−2y   ③，
将③代入②得：3（−2y）+4y=6，
解得：y=−3，
将y=−3代入③得：x=6，
∴原方程组的解为.
【名师点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键.利用代入法进行求解即可得.
18．【答案】这本名著共有216页．
【解析】设这本名著共有x页，
根据题意得：36+（x﹣36）=x，
解得：x=216，
答：这本名著共有216页．
【名师点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.设这本名著共有x页，根据两天共读了整本书的这一等量关系列方程进行求解即可得.
20．【答案】（1）每套课桌椅的成本为82元；（2）商店获得的利润为1080元．
【解析】（1）设每套课桌椅的成本为x元，
根据题意得：60×100﹣60x=72×（100﹣3）﹣72x，
解得：x=82，
答：每套课桌椅的成本为82元.
（2）60×（100﹣82）=1080（元），
答：商店获得的利润为1080元．
【思路点拨】（1）设每套课桌椅的成本为x元，根据利润=销售收入﹣成本，结合商店获得的利润不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据总利润=单套利润×销售数量，即可求出结论．
【名师点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；
（2）根据数量关系，列式计算．
21．【答案】（1）每辆大客车和每辆小客车的座位数分别为40个和25个；（2）最多租用小客车3辆.
【解析】（1）设每辆大客车和每辆小客车的座位数分别为个和个，依题意得，

解得
答：每辆大客车和每辆小客车的座位数分别为40个和25个.

【名师点睛】本题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用，根据题目中的等量关系（不等关系）正确列出方程组及不等式是解题关键．学科+网
（1）设每辆大客车和每辆小客车的座位数分别为个和个，结合每辆大客车的座位数比小客车多15个以及师生共301人参加一次大型公益活动，列出方程组，解方程组即可求解；
（2）根据（1）中所求，利用总人数为310+40，列出不等式，解不等式即可求解．
22．【答案】（1）每次运输的农产品中A产品有10件，每次运输的农产品中B产品有30件；（2）产品件数增加后，每次运费最少需要1120元．
【解析】（1）设每次运输的农产品中A产品有x件，每次运输的农产品中B产品有y件，
根据题意得：，
解得：，
答：每次运输的农产品中A产品有10件，每次运输的农产品中B产品有30件.
（2）设增加m件A产品，则增加了（8−m）件B产品，设增加供货量后的运费为W元，
增加供货量后A产品的数量为（10+m）件，B产品的数量为30+（8−m）=（38−m）件，
根据题意得：W=30（10+m）+20（38−m）=10m+1060，
由题意得：38−m≤2（10+m），解得：m≥6，即6≤m≤8，
∵一次函数W随m的增大而增大
∴当m=6时，W最小=1120，
答：产品件数增加后，每次运费最少需要1120元．
【思路点拨】（1）设每次运输的农产品中A产品有x件，每次运输的农产品中B产品有y件，根据表中的数量关系列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可，
（2）设增加m件A产品，则增加了（8−m）件B产品，设增加供货量后得运费为W元，根据（1）的结果结合图表列出W关于m的一次函数，再根据“总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍”，列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围，再根据一次函数的增减性即可得到答案．
【名师点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用和一元一次不等式得应用，解题的关键：（1）正确根据等量关系列出二元一次方程组；（2）根据数量关系列出一次函数和不等式，再利用一次函数的增减性求最值．