中考数学一轮复习考点过关练习考点24 解直角三角形 (含答案)

这是一份中考数学一轮复习考点过关练习考点24 解直角三角形 (含答案)，共22页。试卷主要包含了锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形，解直角三角形的应用等内容，欢迎下载使用。

考点24 解直角三角形

一、锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，

正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
二、特殊角的三角函数值
α
sinα
cosα
tanα
30°



45°


1
60°



三、解直角三角形
1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2=c2；
（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；
（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；
（4）sin2A+cos2A=1．
3．科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；
已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；
已知直边求斜边，用除还需正余弦.

四、解直角三角形的应用
1．仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
2．坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．
坡度越大，α角越大，坡面越陡．学-科网
3．方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．


4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：

解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.学科_网
5．解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．

考向一 求三角函数的值
（1）分清直角三角形中的斜边与直角边.
（2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k（有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k．
（3）正确应用勾股定理求第三边长．
（4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．

典例1 在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵sinA==，∴设BC=12x，AB=13x，由勾股定理得：AC==5x，∴tanA==，故选C．

1．如图，在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=2，则sinA的值为

A． B．
C． D．
考向二 利用特殊角的三角函数值求值
锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.

典例2 已知∠A为锐角，且sinA=，那么∠A等于
A．15° B．30°
C．45° D．60°
【答案】D
【解析】∵sinA=，∴∠A=60°．故选D．

2．已知α是锐角，sinα=cos60°，则α等于
A．30° B．45°
C．60° D．不能确定
考向三 解直角三角形的应用
解此类题的一般方法：（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三角函数值解答问题.

典例3 某山的山顶B处有一个观光塔，已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC为30°，山高BC为100米，点E距山脚D处150米，在点E处测得观光塔顶端A的仰角为60°，则观光塔AB的高度是

A．50米 B．100米
C．125米 D．150米
【答案】A



3．如图，某湖心岛上有一亭子，在亭子的正东方向上的湖边有一棵树，在这个湖心岛的湖边处测得亭子在北偏西方向上，测得树在北偏东方向上，又测得、之间的距离等于米，求、之间的距离（结果精确到米）．
（参考数据：，，，，）








1．如图，在△ABC中，若∠C=90°，则

A．sinA= B．sinA=
C．cosA= D．cosA=
2．计算的值为
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA的值是
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，，则cosA等于
A． B． C． D．
5．菱形ABCD的对角线AC=10cm，BD=6cm，那么tan为
A． B． C． D．
6．如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A，B，C均为格点，则sin∠BAC为

A． B． C． D．
7．某水坝的坡度i=1∶，坡长20m，则坝的高度为
A．10m B．20m C．40m D．2m
8．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为

A． B．
9．如图，某水库堤坝横截面迎水坡的坡度是，堤坝高为，则迎水坡面的是

A．
10．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处，海轮航行的距离AB长是

A．2海里 B．海里
C．海里 D．海里
11．tan30°–2–2+20190=__________．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，则sinB=___________．

13．如图，在等腰中，，过点作于点，交过点直线交于点，且，，连接，若，时，则___________．

14．已知相邻的两根电线杆与高度相同，且相距．小王为测量电线杆的高度，在两根电线杆之间某一处架起测角仪，如图所示，分别测得两根电线杆顶端的仰角为、，已知测角仪高，则电线杆的高度约为________．（精确到，参考数据：，，）学-科网

15．已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=8，tan∠CBD=．
（1）求边AB的长；
（2）求cos∠BAE的值．






16．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm，小强的身高为166cm，其中下半身FG=100cm，洗漱时下半身与地面成80°角(∠FGK=80°)，身体前倾成125°角(∠EFG=125°)，脚与洗漱台的距离GC=15cm(点D，C，G，K在同一直线上)．
（1）此时小强的头部点E与地面DK的距离是多少？学科+网
（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？
(sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到0.1cm)







1．（2018·大庆）2cos60°=
A．1 B． C． D．
2．（2018·天津）cos30°的值等于
A． B． C．1 D．
3．（2018·云南）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为
A．3 B． C． D．
4．（2018·孝感）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于

A． B． C． D．
5．（2018·柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB=

A． B． C． D．
6．（2018·益阳）如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了

A．300sinα米 B．300cosα米
C．300tanα米 D．米
7．（2018·贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为

A． B．1 C． D．
8．（2018·宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于

A．100sin35°米 B．100sin55°米
C．100tan35°米 D．100tan55°米
9．（2018·本溪）如图为某景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B，A在C的正东方向，D在C的正北方向，D，E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C，D相距1000m，E在BD的中点处．
（1）求景点B，E之间的距离；
（2）求景点B，A之间的距离．（结果保留根号）







10．（2018·兰州）如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为30°，60°，求CD的高度．（结果保留根号）






11．（2018·贵阳）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：
∵sinA=，sinB=，
∴c=，c=，
∴=．
根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．







变式拓展

1．【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=3，BC=2，∴sinA==，故选A．
2．【答案】A
【解析】∵sinα=cos60°=，∴α=30°．故选A．
3．【解析】如图，过点作，垂足为点，

由题意，得，，，
在Rt△中，，∴，
∵，∴，
又，∴
∵，∴，
在Rt△中，，
∵，∴，∴，
又，∴，∴（米）．
答：、之间的距离为米．
考点冲关

1．【答案】A
【解析】A、sinA=，此选项正确；
B、sinA=，此选项错误；
C、cosA=，此选项错误；
D、cosA=，此选项错误；
故选A．
2．【答案】D
【解析】原式==1–=，故选D．
【点睛】此题考查特殊角的三角函数值的运算，熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握实数的混合运算的顺序是解题的关键．

4．【答案】B
【解析】如图所示：学_科网

∵，∴cosA=．故选B．
5．【答案】A
【解析】如图，由题意得，AO⊥BO，AO=AC=5cm，BO=BD=3cm，
则tan=tan∠OBA.故选A.

【点睛】考查了锐角三角形函数的定义，解题关键是运用对角线互相垂直且平分的性质和锐角三角形函数的定义．

【点睛】此题主要考查了解直角三角形，正确构造直角三角形是解题关键．
7．【答案】A
【解析】如图，因为tanA=，又tanA=，所以=，设BC=x，则AC=x，由勾股定理得，AC2+BC2=AB2，即（x）2+x2=202，解得x=10，故选A.

8．【答案】D
【解析】如图，在B点正上方找一点D，使BD=BC，连接CD交AB于点O，

根据网格的特点，CD⊥AB，在Rt△AOC中，；，则sinA=．故选D．
9．【答案】A
【解析】∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，∴，
∵BC=40m，∴AC=40m，∴AB==80m，故选A．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用——坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，用到的知识点是坡度、坡角、勾股定理．
10．【答案】C
【解析】记灯塔P的正北方向为射线PC的方向.

根据题意可知∠APC=55°，PC∥AB，AP=2海里.
∵PC∥AB，∠APC=55°，∴∠PAB=55°.
∵在Rt△ABP中，AP=2海里，∠PAB=55°，
∴AB=AP·cos∠PAB=2cos55°（海里）.
故选C.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键.
11．【答案】+
【解析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果．原式=–+1=+．故答案为：+．
12．【答案】
【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，得，即，
∴AC=5．由勾股定理，得AB=．所以sinB=，故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理以及三角函数，理解三角函数的定义是关键．
13．【答案】
【解析】如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，延长AD、CB交于点F，取FC的中点G，连接AG，

∵∠ADB=135°，∴∠BDF=180°–135°=45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，∴BF=DB=1，
由勾股定理得：DF=，
在Rt△AFM中，∵∠F=45°，
∴AM=FM，
设AM=2x，AB=5x，则BM=x，
由AM=FM得：x+1=2x，解得x=，
∴BM=MC=x=1，AM=2，
∵AM⊥BC，DB⊥BC，∴DB∥AM，
∵FB=BM，∴FD=AD，
∵AE=2AD，∴AE=AF，∴AG是△EFC的中位线，∴EC=2AG，
∵MG=，由勾股定理得：AG==，∴EC=．学-科网
【点睛】本题主要考查了三角形中位线性质的运用，同时也考查了解直角三角形，如果题中已知某一角的三角函数值，而这个值不是特殊角，要根据这个数值的比的关系设未知数，表示出相关线段的长，但要注意利用这一数值表示边长时，必须在直角三角形中．
14．【答案】
【解析】过点F作AB、CD的垂线，垂足为点G、H，如图所示：

设AG=xm，则有DH=xm，
∵，∴tan23°=，解得x≈15.0，
∴AB=x+1.5=16.5．电线杆的高度约为16.5m．故答案是：16.5．

（2）∵AE⊥BC，∴S菱形ABCD=BC·AE=BD·AC，
∵AC=2OC=4，∴2AE=×8×4，∴AE=，
∴BE===，
∴cos∠ABE===．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法、数形结合思想的应用．
16．【解析】（1）如图，过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．
∵EF+FG=166，FG=100，∴EF=66，
∵∠FGK=80°，∴FN=100sin80°≈98，
∵∠EFG=125°，∴∠EFM=180°–125°–10°=45°，
∴FM=66cos45°=≈46.53，∴MN=FN+FM≈144.5，
∴此时小强头部E点与地面DK相距约为144.5cm．

（2）如图，过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H．
∵AB=48，O为AB中点，
∴AO=BO=24，∵EM=66sin45°≈46.53，
∴PH≈46.53，∵GN=100cos80°≈17，CG=15，
∴OH=24+15+17=56，OP=OH–PH=56–46.53=9.47≈9.5，
∴他应向前9.5cm．

1．【答案】A
【解析】2cos60°=2×=1．故选A．
2．【答案】B
【解析】cos30°=．故选B．
3．【答案】A
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，∴∠A的正切值为==3，故选A．
4．【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，∵AB=10，AC=8，∴BC===6，∴sinA===，故选A．
5．【答案】A
【解析】∵∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5，∴sinB==，故选A．
6．【答案】A
【解析】在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，BO=AB•sinα=300sinα米．故选A．

8．【答案】C
【解析】∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．故选C．
9．【解析】（1）由题意得，∠C=90°，∠CBD=60°，∠CAE=45°，
∵CD=1000，∴BC==1000，∴BD=2BC=2000，
∵E在BD的中点处，∴BE=BD=1000（米）；
（2）如图，过E作EF⊥AB于F，
在Rt△AEF中，EF=AF=BE•sin60°=1000×=500，
在Rt△BEF中，BF=BE•cos60°=500，
∴AB=AF–BF=500（–1）（米）．

10．【解析】如图，作BF⊥CD于点F，设DF=x米，
在Rt△DBF中，tan∠DBF=，
则BF===x，
在直角△DCE中，DC=x+CF=（3+x）米，
在直角△DCE中，tan∠DEC=，则CE===（x+3）米．
∵BF–CE=AE，即x–（x+3）=18．
解得：x=9+，
则CD=9++3=9+（米）．学-科网
答：CD的高度是（9+）米．

11．【解析】==，理由为：
如图，过A作AD⊥BC交BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，
在Rt△ABD中，sin∠ABD=，即AD=csin∠ABD，
在Rt△ADC中，sinC=，即AD=bsinC，
∴csinB=bsinC，即=，
同理可得=，
则==．