2023年九年级数学中考专题：二次函数（特殊三角形形问题）综合压轴题附答案

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（特殊三角形问题）附答案

1．抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，直线经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．

(1)求二次函数与一次函数的解析式；

(2)如图1，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点P的坐标；

(3)如图2，若点P在直线上方的抛物线上，过点P作，垂足为Q，求的最大值．

2．如图，抛物线经过，，D为线段下方抛物线上一动点，过点D做于G．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求面积的最大值；

(3)连接，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点，连接．又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含点O和点B），且分别交抛物线、线段以及x轴于点P、D、E．

(1)求抛物线的表达式；

(2)连接、，当直线l运动时，求使得和相似的点P的坐标；

(3)作，垂足为F，当直线l运动时，求面积的最大值．

4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线的对称轴是且经过两点，与轴的另一交点为点．

(1)①直接写出点的坐标；②求抛物线解析式．

(2)若点为直线抛物线的顶点，连接．求的面积．

(3)若点为抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．

①以为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点的坐标：若不能，请说明理由．

②以点为顶点的三角形与相似，请直接写出符合要求的点的坐标．

5．如图，已知抛物线经过和两点，直线与轴相交于点，是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点，抛物线与轴的交点为．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)当时，求点的坐标：

(3)若轴交于点且点是直线上方，求的最大值；

(4)若以，，为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点，点的坐标．

6．抛物线过，，三点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图①，点K与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线上一点D在线段AK的上方，交AK于点E，若满足，求点D的坐标；

(3)如图②，F为抛物线顶点，过A作直线，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动．是否存在这样的点P、Q，使得与相似（P与F为对应点），若存在，直接写出P、Q的坐标及此时的面积；若不存在，请说明理由．

7．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，且经过A、C两点与x轴的另一交点为B．

(1)①直接写出点B的坐标；②求抛物线的解析式；

(2)点E为直线上方抛物线上的一动点，过点E作x轴于点G，交于点D，连接，当四边形面积最大时，求出E点的坐标．

(3)抛物线上是否存在点M，过点M作轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的与相似？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

8．如图，直线与x轴，y轴分别交于点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

(1)求该抛物线的解析式及点P的坐标；

(2)当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标；

(3)连接，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

9．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴正半轴于点C，交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，且．

(1)如图1，求抛物线的解析式；

(2)如图2，点P为抛物线第一象限上一点，连接交y轴于点D，作轴于点E，设点E的横坐标为t，线段的长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

(3)如图3，在（2）的条件下，作轴，点F在直线下方的第一象限内，连接、，若四边形的面积为8，且，求P点的坐标．

10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标是，点为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点为，连接．

(1)求该二次函数的表达式；

(2)依题补图1：连接，过点作轴于点；当和相似时，求的值；

(3)如图2，过点作直线，和轴交点为，在点沿着抛物线从点到点运动过程中，当与抛物线只有一个交点时，求点的坐标．

11．如图，以D为顶点的抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线的表达式为．

(1)求抛物线的表达式；

(2)在直线上存在一点P，使的值最小，求此最小值；

(3)在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知，，．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、交于点E、F，求的长；

(3)在（2）的条件下，联结，如果点P在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点P的坐标

13．如图，已知过坐标原点的抛物线经过，，，两点，且、是方程两根，抛物线顶点为．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标；

(3)是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，是否存在点使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

14．如图，对称轴为直线的抛物线经过点和．

(1)求抛物线解析式及顶点坐标；

(2)点在第四象限抛物线的图像上，当平行四边形的面积为24时，求点的坐标；

(3)在直线是否存在一点，使得与相似，如存在求出点坐标，如果不存在请说明理由．

15．如图，二次函数图像交轴于点，（在的左侧），与轴交于点，轴，交抛物线于另一点，且，为抛物线上一点，轴，与轴交于，与，分别交于点，．

(1)求二次函数解析式；

(2)当在上方时，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出与的相似比，若不存在，说明理由．

(3)点关于直线的对称点为，当点落在抛物线的对称轴上时，此时点的坐标为________．

16．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为，与y轴相交于点C，连接，已知点．

(1)求两点坐标和抛物线的解析式；

(2)设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与重合），过点P作，垂足为点．

①点P在运动过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值以及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由：

②当以为顶点的三角形与相似时，求点P的坐标．

17．如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

(1)求的面积；

(2)如图2，点是抛物线上第一象限的一点，且，求点的坐标；

(3)若点是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在轴上方的部分上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

18．已知抛物线经过、、三点，直线l是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点P是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；

(3)在直线l上是否存在点M，使以、、为顶点的三角形为直角三形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．(1)；

(2)

(3)

2．(1)

(2)

(3)点D其横坐标为：或

3．(1)

(2)

(3)

4．(1)①；②抛物线解析式

(2)

(3)①存在以为顶点的平行四边形，此时，、或 ；②以点为顶点的三角形与相似时，、、或

5．(1)

(2)

(3)

(4)点，点或点，点

6．(1)

(2)

(3)存在，，或，或

7．(1)①B的坐标为；②

(2)

(3)存在，点M的坐标为或或或

8．(1)，点P的坐标为；

(2)点E的坐标为；

(3)存在，点N的坐标为，或

9．(1)；

(2)；

(3)P点的坐标为或．

10．(1)

(2)的值为或

(3)

11．(1)

(2)10

(3)当Q的坐标为或时，以A、C、Q为顶点的三角形与相似

12．(1)

(2)

(3)P的坐标为：或．

13．(1)

(2)或

(3)存在点，的坐标是，，，

14．(1)抛物线解析式为，顶点坐标为

(2)或

(3)在直线存在一点，

15．(1)；

(2)存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，与的相似比为或；

(3)点横坐标或．

16．(1)，

(2)①存在，线段的最大值为，此时点的坐标为．

17．(1)24

(2)

(3)存在，或．

18．(1)

(2)

(3)（1，-2）（1，-）或或