2023年中考数学二轮专项练习：二次函数图像与坐标轴的交点问题附答案

2023年中考数学二轮专项练习：二次函数图像与坐标轴的交点问题附答案

一、单选题

1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：   

①2a+b=0；

②当﹣1≤x≤3时，y＜0；

③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2

④9a+3b+c=0

其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①②③ C．①④ D．③④

2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）

A．ac<0

B．a-b+c>0

C．b=-4a

D．关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=5

3．对于代数式 的值的情况，小明作了如下探究的结论，其中错误的是（　　）

A．只有当 时， 的值为2

B． 取大于2的实数时， 的值随 的增大而增大，没有最大值

C． 的值随 的变化而变化，但是有最小值

D．可以找到一个实数 ，使 的值为0

4．关于x的函数与x轴有交点，则a的取值范围是（　　）

A． B． C．且 D．且

5．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．a＜0，b＜0，c＞0

B．﹣ =1

C．a+b+c＜0

D．关于x的方程ax2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根

6．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，则该抛物线关于点 成中心对称的抛物线的表达式为（　　） 

A． B．

C． D．

7．已知抛物线 与x轴的一个交点为 ，则代数式 的值为（　　）  

A．2018 B．2019 C．2020 D．2021

8．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（-1，0）则①二次函数的最大值为a+b+c；②a-b+c<0；③b2-4ac<0；④当y>0时，-1<x<3其中正确的个数是（　　）

A．1                                      B．2                         C．3                       D．4

9．已知二次函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，则下列命题中正确的是（　　） 

A．若a＝1，函数图象经过点(－1，1)

B．若a＝－2，函数图象与x轴交于两点

C．若a＜0，函数图象的顶点在x轴下方

D．若a＞0且x≥1，则y随x增大而减小

10．二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　）

A．0 B．0或2 C．2或 D．

11．已知抛物线 ，与 轴的一个交点为 ，则代数式 的值为（　　） 

A． B． C． D．

12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y= x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣ ）x+c=0（a≠0）的根的情况（　　） 

A．两根都大于0 B．两根都等于0

C．两根都小于0 D．一根大于0，一根小于0

二、填空题

13．已知二次函数y=kx2+2x﹣1与x轴有交点，则k的取值范围　             　． 

14．已知二次函数 的图象如图所示，若方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是　     　。

15．抛物线y=x2﹣（m+1）x+9与x轴只有一个交点，则m的值为　     　 ．

16．抛物线与y轴的交点坐标是　        　，与x轴的交点坐标是　                  　.

17．方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为﹣3和1，那么抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线　     　 ．

18．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，求这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长　        　.

三、综合题

19．已知二次函数．

（1）求这个二次函数图象与轴的交点坐标、与轴的交点坐标．

（2）画出这个二次函数图象．

20．已知抛物线y1=x2+2x﹣3的顶点为A，与x轴交于点B、C（B在C的左边），直线y2=kx+b过A、B两点． 

（1）求直线AB的解析式； 

（2）当y1＜y2时，根据图象直接写出自变量x的取值范围． 

21．如图，已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A（a，8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若C为AB中点，求PC的长；

（3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为（m，n），请求出m，n之间的关系式．

22．已知二次函数交轴于点A，B（点A在点B左侧），交轴于点，设抛物线的对称轴为直线，且≥．

（1）用含的代数式表示出点A、点B的坐标；

（2）若抛物线上存在点P使得（点P与点C不重合），且这样的点P恰好存在两个，求此时抛物线的解析式；

（3）我们将平面直角坐标系中横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点． 当点A、点B都在轴正半轴上，且内部存在2个整点（不包括边），试写出1个符合题意的实数的值，并直接写出的取值规律．

23．已知二次函数y=﹣2x2+4x+6．

（1）求出该函数的顶点坐标，图象与x轴的交点坐标，  

（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？当x在什么范围内时，y＞0？  

24．已知二次函数y＝ax2﹣bx+3（a≠0）的图象过点A(2，3)，交y轴于点B.

（1）求点B的坐标及二次函数图象的对称轴；

（2）若抛物线最高点的纵坐标为4，求二次函数的表达式；

（3）已知点(m，y1)，(n，y2)在函数图象上且0＜m＜n＜1，试比较y1和y2的大小.

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】B

3．【答案】D

4．【答案】A

5．【答案】D

6．【答案】A

7．【答案】D

8．【答案】B

9．【答案】B

10．【答案】C

11．【答案】B

12．【答案】D

13．【答案】k≥﹣1且k≠0

14．【答案】

15．【答案】﹣7或5

16．【答案】（0,4）；（-4,0），（1,0）

17．【答案】x=﹣1

18．【答案】3+ ．

19．【答案】（1）解：∵

∴当时，

这个二次函数图象与轴的交点坐标是

令，即

解得：

图象与轴的交点坐标为，

（2）解：正确列表

正确画出图象

20．【答案】（1）解：∵抛物线y1=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4， 

∴顶点为A（﹣1，﹣4），

当y=0时，x2+2x﹣3=0，

解得：x1=﹣3，x2=1，

∵与x轴交于点B、C（B在C的左边），

∴B（﹣3，0），

∵直线y2=kx+b过A、B两点，

∴ ，

解得： ，

∴直线AB的解析式为y2=﹣2x﹣6

（2）解：当y1＜y2时，﹣3＜x＜﹣1

21．【答案】（1）解：∵A（a，8）是抛物线和直线的交点，

∴A点在直线上，

∴8=2a+4，解得a=2，

∴A点坐标为（2，8），

又A点在抛物线上，

∴8=22+2b，解得b=2，

∴抛物线解析式为y=x2+2x

（2）解：联立抛物线和直线解析式可得 ，解得 ， ，∴B点坐标为（﹣2，0），如图，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，

则AQ=8，OQ=OB=2，即O为BQ的中点，当C为AB中点时，则OC为△ABQ的中位线，即C点在y轴上，∴OC= AQ=4，∴C点坐标为（0，4），又PC∥x轴，∴P点纵坐标为4，∵P点在抛物线线上，∴4=x2+2x，解得x=﹣1﹣ 或x= ﹣1，∵P点在A、B之间的抛物线上，∴x=﹣1﹣ 不合题意，舍去，∴P点坐标为（ ﹣1，4），∴PC= ﹣1﹣0= ﹣1；

（3）解：∵D（m，n），且四边形PCDE为矩形，

∴C点横坐标为m，E点纵坐标为n，

∵C、E都在直线y=2x+4上，

∴C（m，2m+4），E（ ，n），

∵PC∥x轴，

∴P点纵坐标为2m+4，

∵P点在抛物线上，

∴2m+4=x2+2x，整理可得2m+5=（x+1）2，解得x= ﹣1或x=﹣ ﹣1（舍去），

∴P点坐标为（ ﹣1，2m+4），

∴DE= ﹣m，CP= ﹣1﹣m，

∵四边形PCDE为矩形，

∴DE=CP，即 ﹣m= ﹣1﹣m，

整理可得n2﹣4n﹣8m﹣16=0，

即m、n之间的关系式为n2﹣4n﹣8m﹣16=0

22．【答案】（1）解：∵点A，B关于对称轴直线x=m对称，AB=3且点A在点B左侧，

∴，

（2）解：①m＞0时，由题意得抛物线开口向上，顶点坐标为，

∴抛物线解析式为，

把代入得，

解得

把代入得，

解得或（舍），

∴；

②当m=0时，抛物线开口向下，顶点为C（0，2），

∴，

将代入得，

解得，

∴，

综上，或；

（3）解：如图，直线AC，BC与直线y=1交点为D，E，

则DE为△ABC的中位线，

∴，点D坐标为，点E坐标为，

由题意得D，E两点之间含有2个整点，设两个整点坐标为，，

则，，

解得（n为正整数）．

∴m的值可以为3．

23．【答案】（1）解：∵a=﹣2，b=4，c=6，

∴﹣ =﹣ =1，

= =8，

∴顶点坐标（1，8），

当y=0时，﹣2x2+4x+6=0，∴x1=3，x2=﹣1，

∴函数图象与x轴交点坐标（﹣1，0），（3，0）

（2）解：∵对称轴x=1，开口向下， 当x≤1时，y随着x的增大而增大，当x≥1时，y随着x的增大而减小；
∵ 函数图象与x轴交点坐标（﹣1，0），（3，0）,
∴ 当﹣1＜x＜3时，y＞0 .

24．【答案】（1）  交y轴于点B， 

将 代入，解得 ，

，

  过 ，

，

即 ，

；

（2） 对称轴为 ， 

若抛物线最高点的纵坐标为4，

则顶点坐标为： ，

设二次函数的表达式为 ，

将 代入，

解得 ，

  ，

即 ；

（3）分情况讨论，当 时，抛物线的开口朝上，在对称轴的左侧是 随 的增加而减小， 

点(m，y1)，(n，y2)在函数图象上，且 ，

，

当 时，抛物线的开口朝下，在对称轴的左侧是 随 的增加而增大，

点(m，y1)，(n，y2)在函数图象上，且 ，

，

综上所述，当 时， ，当 时， .