2023年中考数学高频考点突破—圆的切线的证明附答案

这是一份2023年中考数学高频考点突破—圆的切线的证明附答案，共32页。试卷主要包含了如图，、分别是的直径和弦，于点等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学高频考点突破—圆的切线的证明附答案
1．如图，分别是半的直径和弦，于点，过点作半的切线与的延长线交于点．连接并延长与的延长线交于点．

（1）求证：是半的切线；
（2）若，求线段的长．






2．如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有BO=BD=BC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若半径OB=2，求AD的长．







3．如图，在矩形ABCD中，E是CD边上的点，且BE=BA，以点A为圆心、AD长为半径作⊙A交AB于点M，过点B作⊙A的切线BF，切点为F．
（1）请判断直线BE与⊙A的位置关系，并说明理由；
（2）如果AB=10，BC=5，求图中阴影部分的面积．








4．如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，D为圆上一点，且AD∥OC，连接CD，AC，BD，AC与BD交于点M．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若CD＝AD，求的值．








5．如图，在矩形中，以边为直径作半圆，交边于点，对角线与半圆的另一个交点为，连接.

（1）求证：是半圆的切线；（2）若，，求的长.









6．如图，在中，，过延长线上的点作，交的延长线于点，以为圆心，长为半径的圆过点

（1）求证：直线与相切；（2）若，的半径为，则＝ _____．






7．如图，与的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，，CE是的直径．
（1）求证：AB是的切线；
（2）若求AC的长．







8．如图，AB为的直径，且，点C是上的一动点(不与A，B重合)，过点B作的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．
(1)求证：EC是的切线；
(2)当时，求阴影部分面积．






9．如图，在中，为的中点，以为直径的分别交于点两点，过点作于点.
试判断与的位置关系，并说明理由．
若求的长．







10．如图，、分别是的直径和弦，于点．过点作的切线与的延长线交于点，、的延长线交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．






11．如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C．∠DAB=∠B=30°．
（1）直线BD是否与⊙O相切？为什么？
（2）连接CD，若CD=5，求AB的长．







12．如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．

（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．










13．如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）若AF=1，OA=，求PC的长．







14．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=600，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC，

（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD=，求⊙O的直径．









15．已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．
（1）求扇形OBC的面积（结果保留π）；
（2）求证：CD是⊙O的切线．







16．如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．









17．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C
（1）求证：AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长．







18．如图，在中，，为的中点，与半圆相切于点.

（1）求证：是半圆所在圆的切线；
（2）若，，求半圆所在圆的半径.

参考答案：
1．（1）见解析；（2）5．
【分析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可得∠OCP＝90°，即可证得结论；
（2）依据切线的性质定理可知OC⊥PF，由可得，再利用直角三角形两锐角互余求得，根据直角三角形的性质可求OF的值，再减去圆的半径即可．
【解析】（1）证明：如解图，连接，

∵，经过圆心，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
即，
∴是的切线．
（2）解：∵是半圆的直径，，
∴，，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质等知识，掌握圆周角定理、切线的判定与性质及证明圆的切线的问题常用的辅助线作法是解题的关键．
2．（1）见解析；（2）
【分析】（1）由于BO=BD=BC，根据等边三角形的判定和性质，三角形外角性质可得∠ODC=90°，从而根据切线的判定方法即可得到结论．
（2）由AB为⊙O的直径得∠BDA=90°，而BO=BD=2， AB=2BO=4，根据勾股定理可求出AD．
【解析】解：（1）证明：如图，连接OD，

∵BO=BD=DO，∴△OBD是等边三角形．∴∠OBD=∠ODB=60°．
∵BD=BC，∴∠BDC=∠OBD=30°．
∴∠ODC=90°．
∴OD⊥CD．
∵OD为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90°．
∵BO=BD=2，∴AB=2BO=4．
∴．
3．（1）BE是圆的切线；理由见解析；（2）．
【分析】（1）直线BE与⊙A的位置关系是相切，连接AE，过A作AH⊥BE，过E作EG⊥AB，再证明AH=AD即可；
（2）连接AF，则图中阴影部分的面积=直角三角形ABF的面积-扇形MAF的面积．
【解析】解：（1）直线BE与⊙A的位置关系是相切，
理由如下：连接AE，过A作AH⊥BE，过E作EG⊥AB，

∵S△ABE=BE•AH=AB•EG，AB=BE，
∴AH=EG，
∵四边形ADEG是矩形，
∴AD=EG，
∴AH=AD，
∴BE是圆的切线；
（2）连接AF，
∵BF是⊙A的切线，
∴∠BFA=90°
∵BC=5，
∴AF=5，
∵AB=10，
∴∠ABF=30°，
∴∠BAF=60°，
∴BF=AF=5，
∴图中阴影部分的面积=直角三角形ABF的面积-扇形MAF的面积
=×5×5-=．
【点评】本题考查矩形的性质；切线的判定与性质；扇形面积的计算．
4．（1）见解析；（2）.
【分析】（1）连接OD，设OC交BD于K．想办法证明△ODC≌△OBC（SSS）即可解决问题．
（2）由CD=AD，可以假设AD=a，CD=a，设KC=b．由△CDK∽△COD，推出＝，推出＝整理得：2（）2+（）-4=0，解得＝．
【解析】（1）证明：连接OD，设OC交BD于K．

∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∵OC∥AD，
∴OC⊥BD，
∴DK＝KB，
∴CD＝CB，
∵OD＝OB，OC＝OC，CD＝CB，
∴△ODC≌△OBC（SSS），
∴∠ODC＝∠OBC，
∵CB⊥AB，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）∵CD＝AD，
∴可以假设AD＝a，CD＝a，设KC＝b．
∵DK＝KB，AO＝OB，
∴OK＝AD＝a，
∵∠DCK＝∠DCO，∠CKD＝∠CDO＝90°，
∴△CDK∽△COD，
∴＝，
∴＝
整理得：2（）2+（）﹣4＝0，
解得＝或（舍弃），
∵CK∥AD，
∴＝＝＝．
【点评】本题考查切线的判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，题目有一定难度．
5．（1）见解析；（2）.
【分析】（1）根据已知条件推出，根据相似三角形的性质得到，过作于，根据全等三角形的性质得到，于是得到是半圆的切线；
（2）根据切割线定理得到，求得，根据勾股定理得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论.
【解析】（1）证明：∵在矩形中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
过作于，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴是半圆的切线；

（2）解：∵是的切线，是的割线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【点评】本题考查了切线的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.
6．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，∠OBD=∠D，证出∠OBD+∠ABC=90°，得出AB⊥OB，即可得出结论；
（2）由勾股定理得出，得出OC=OA-AC=8，再由三角函数定义即可得出结果．
【解析】（1）证明：连接，如图所示：

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
∵点在圆上，
∴直线与相切；
（2），
，
，
，
；
故答案为．
【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握切线的判定方法和等腰三角形的性质是解题的关键
7．（1）证明见解析    （2）．
【分析】（1）连接OD、CD，根据圆周角定理得出，根据平行线的性质得出，根据垂径定理得出OA垂直平分CD，根据垂直平分线的性质得出，然后根据等腰三角形的三线合一的性质得出，进而证得，得到，即可证得结论；
（2）易证△BED∽△BDC，求得BE，得到BC，然后根据切线长定理和勾股定理列出关于y的方程，解方程即可．
【解析】证明：连接OD、CD，

∵CE是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴OA垂直平分CD，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵AC是切线，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵OD是半径，
∴AB是的切线；
（2）解：∵BD是切线，易证△BED∽△BDC，
∴，
设，∵
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∵AD、AC是的切线，
∴，
设，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故AC的长为6．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，垂径定理，切线长定理，切割线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
8．(1)证明见解析；(2)阴影部分面积为．
【分析】(1)如图，连接BC，OC，OE，证明，可得，进而根据BD是的切线，得到，继而得到，即可求得结论；
(2)先求出四边形OBEC的面积，继而根据阴影部分面积为进行求解即可得.
【解析】(1)如图，连接BC，OC，OE，
AB为的直径，
，

在中，，
，
，，
，
，
BD是的切线，
，
，
OC为半径，
EC是的切线；
(2)，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
四边形OBEC的面积为，
阴影部分面积为．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键.
9．（1）切，理由见解析；（2）
【分析】如图，连接，根据直角三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，推出，于是得到结论；
连接，根据勾股定理得到，根据圆周角定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解析】（1）相切，
理由：如图，连接，

为的中点，










与相切；
连接，



为的直径，





即，

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
10．(1)证明见解析；(2) .
【分析】(1)连接OC，证明△PAO≌△PCO，得到对应角相等，以及切线的性质定理得到∠PCO=90°，即可得证；
（2）先证三角形OBC是等边三角形，得到∠COB=60°，根据（1）中∠OCF=90°，结合半径OC即可得到答案.
【解析】(1)连接，
∵，经过圆心，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴
∵是的切线，
∴．
∴，
即
∴是的切线．
(2)∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
由(1)知，
∴．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的综合应用.解决本题的关键是证切线转化成证垂直.
11．（1）相切，理由见解析；（2）AB=15．
【分析】（1）连接OD，通过计算得到∠ODB=90°，证明BD与⊙O相切．
（2）△OCD是边长为5的等边三角形，得到圆的半径的长，然后求出AB的长
【解析】解：（1）直线BD与⊙O相切．

如图
连接OD，CD，
∵∠DAB=∠B=30°，
∴∠ADB=120°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=30°，
∴∠ODB=∠ADB﹣∠ODA=120°﹣30°=90°．
所以直线BD与⊙O相切；
（2）连接CD，
∠COD=∠OAD+∠ODA=30°+30°=60°，
又OC=OD
∴△OCD是等边三角形，
即：OC=OD=CD=5=OA，
∵∠ODB=90°，∠B=30°，
∴OB=10，
∴AB=AO+OB=5+10=15．
12．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可．
（2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和△ODP面积，即可求出答案．
【解析】解：（1）证明：连接OD，

∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．
∴∠DOP=180°﹣120°=60°．
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°．
∴OD⊥DP．
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线．
（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm，
∴OP=6cm，
由勾股定理得：DP=3cm．
∴图中阴影部分的面积
13．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，根据垂径定理，利用等角代换可证明∠FAC=∠FCA，然后根据切线的性质得出∠FAO=90°，然后即可证明结论．
（2）先证明△PAF∽△PCO，利用相似三角形的性质得出PC与PA的关系，在Rt△PCO中，利用勾股定理可得出x的值，从而也可得出PC得长．
【解析】解：（1）证明：连结OC，

∵OE⊥AC，∴AE=CE．
∴FA=FC．
∴∠FAC=∠FCA．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．
∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA，即∠FAO=∠FCO．
∵FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，
∴FA⊥AB．
∴∠FCO=∠FAO=90°．
又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．
（2）∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°．
而∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，
∴△PAF∽△PCO ．∴．
∵CO=OA=，AF=1，
∴PC=PA ．
设PA=x，则
在Rt△PCO中，由勾股定理得， ，
解得：．
∴．
14．（1）见解析（2）2
【解析】解：（1）证明：连接OA，
∵∠B=600，∴∠AOC=2∠B=1200．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=300．
又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=300．
∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=900．∴OA⊥PA．
∵OA是⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线．

（2）在Rt△OAP中，∵∠P=300，
∴PO=2OA=OD+PD．
又∵OA=OD，∴PD=OA．
∵PD=，∴2OA=2PD=2．
∴⊙O的直径为2．．
（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=300，再由AP=AC得出
∠P=300，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论．
（2）利用含300的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP﹣PD=OD，再由PD=，可得出⊙O的直径．
15．（1）S扇形OBC=；（2）证明见解析.
【分析】（1）由扇形的面积公式即可求出答案．
（2）易证∠FAC=∠ACO，从而可知AD∥OC，由于CD⊥AF，所以CD⊥OC，所以CD是⊙O的切线．
【解析】解：（1）∵AB=4，
∴OB=2
∵∠COB=60°，
∴S扇形OBC=.
（2）∵AC平分∠FAB，
∴∠FAC=∠CAO，
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠CAO
∴∠FAC=∠ACO
∴AD∥OC，
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC
∵C在圆上，
∴CD是⊙O的切线
【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用扇形面积公式以及切线的判定方法，本题属于中等题型．
16．（1）证明见解析；（2）
【解析】分析：（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OB，证明OB⊥PE即可．
（2）要求sinE，首先应找出∠E所在的直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性质求出EP或EO的长即可解决问题
解析：（1）证明：连接OB

∵PO⊥AB，
∴AC=BC，
∴PA=PB,
在△PAO和△PBO中
,
∴△PAO和≌△PBO，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴PB是⊙O的切线．
（2）连接BD，则BD∥PO，且BD=2OC=6

在Rt△ACO中，OC=3，AC=4
∴AO=5
在Rt△ACO与Rt△PAO中，
∠APO=∠APO，
∠PAO=∠ACO=90°
∴△ACO∼△PAO
∴
∴PO=，PA=
∴PB=PA=
在△EPO与△EBD中，
BD∥PO
∴△EPO∽△EBD
∴，
解得EB=，PE=，
∴sinE=.
点评：本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质．能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．
17．（1）证明见解析；（2）AD=2．
【分析】（1）如图，连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE=∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，可得结论；
（2）先证明OA⊥BC，由垂径定理得：，FB=BC，根据勾股定理计算AF、OB、AD的长即可．
【解析】（1）如图，连接OA，交BC于F，

则OA=OB，
∴∠D=∠DAO，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠DAO，
∵∠BAE=∠C，
∴∠BAE=∠DAO，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
即∠DAO+∠BAO=90°，
∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，
∴AE⊥OA，
∴AE与⊙O相切于点A；
（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，
∴，FB=BC，
∴AB=AC，
∵BC=2，AC=2，
∴BF=，AB=2，
在Rt△ABF中，AF==1，
在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB﹣AF）2，
∴OB=4，
∴BD=8，
∴在Rt△ABD中，AD=．
【点评】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．
18．（1）证明见解析；（2）半圆所在圆的半径是.
【解析】分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得OA，根据角平分线的性质，可得OE，根据切线的判定，可得答案；
（2）根据余弦，可得OB的长，根据勾股定理，可得OA的长，根据三角形的面积，可得OE的长．
解析：（1）如图1，作于，连接、，

∵，为的中点，
∴.
∵与半圆相切于点，
∴，
∵，
∴，
∵经过圆半径的外端，∴是半圆所在圆的切线；
（2）∵，是的中点，∴，
由，，得∴.
由勾股定理，得.
由三角形的面积，得，
，半圆所在圆的半径是.
点评：本题考查了切线的判定与性质，利用切线的判定是解题关键，利用面积相等得出关于OE的长是解题关键．