2022年内蒙古通辽市中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2022年内蒙古通辽市中考数学一模试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年内蒙古通辽市中考数学一模试卷
一、选择题。（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑。）
1．（3分）下列四个图形中，中心对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（ns），已知1纳秒＝0.000 000 001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（　　）
A．1.5×10﹣9秒 B．15×10﹣9秒 C．1.5×10﹣8秒 D．15×10﹣8秒
3．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（　　）

A．12πcm2 B．15πcm2 C．24πcm2 D．30πcm2
4．（3分）将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，则∠CED的度数是（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
5．（3分）下列计算结果正确的是（　　）
A．（a3）2＝a5 B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
C．1+＝ D．a÷b•＝
6．（3分）从概率统计的角度解读下列诗词所描述的事件，属于确定事件的是（　　）
A．黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙
B．人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开
C．危楼高百尺，手可摘星辰
D．一夜北风紧，开门雪尚飘
7．（3分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（　　）

A． B． C． D．
8．（3分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）现有如下命题，其中是真命题的个数是（　　）
①若x2+kx+是完全平方式，则k＝1；
②若A（﹣3，y1），B（，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则y2＜y1＜y3；
③圆是轴对称图形，圆的任何一条直径都是它的对称轴；
④“正方形的对角线互相垂直平分且相等”的逆命题；
⑤一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题包括7个小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡的对应题的横线上。）
11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
12．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　 　．
13．（3分）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计，由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝41，后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，平均分不变，方差 　 　．（变大、变小或不变）
14．（3分）某校九年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为x千米/小时，则可列方程：　 　．
15．（3分）如图，把三角形纸片ABC折叠，使点B，点C都与A重合，折痕分别为DG和EF，若△ADE是等腰直角三角形，AE＝EF，那么∠BAC的大小是 　 　．

16．（3分）如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于3，则k的值为 　 　．

17．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b＞n（an+b）（n≠1）．其中正确的是 　 　（填序号）．

三、解答题（本大题包括8个小题，共69分，请在答题卡上写出各题解答的文字说明，证明过程或计算步聚。）
18．（5分）计算：（﹣）﹣1+（3.14﹣π）0+|3﹣|﹣4sin60°．
19．（6分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x满足x2﹣2x﹣5＝0．
20．（10分）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：

（1）本次参加抽样调查的居民有　 　人．
（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为　 　度．根据题中信息补全条形统计图．
（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃D种粽子的有　 　人．
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
21．（7分）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为60海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．

22．（9分）某社会团体准备购进甲、乙两种防护服捐给一线抗疫人员，经了解，购进5件甲种防护服和4件乙种防护服需要2万元，购进10件甲种防护服和3件乙种防护服需要3万元．
（1）甲种防护服和乙种防护服每件各多少元？
（2）实际购买时，发现厂家有两种优惠方案，方案一：购买甲种防护服超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，乙种防护服没有优惠；方案二：两种防护服都按原价的9折付款，该社会团体决定购买x（x＞20）件甲种防护服和30件乙种防护服．
①求两种方案的费用y与件数x的函数解析式；
②请你帮该社会团体决定选择哪种方案更合算．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）求证：DE与⊙A相切；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．

24．（12分）（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空：
①的值为 　 　；
②∠AMB的度数为 　 　．
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），（3，0），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，点B是直线AD下方抛物线上一动点，连接AB、BD，求出△ADB面积最大值．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2022年内蒙古通辽市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑。）
1．（3分）下列四个图形中，中心对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
解：选项A、B、C中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
2．（3分）某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（ns），已知1纳秒＝0.000 000 001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（　　）
A．1.5×10﹣9秒 B．15×10﹣9秒 C．1.5×10﹣8秒 D．15×10﹣8秒
解：所用时间＝15×0.000 000 001＝1.5×10﹣8．
故选：C．
3．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（　　）

A．12πcm2 B．15πcm2 C．24πcm2 D．30πcm2
解：由三视图可知，原几何体为圆锥，
∵l＝＝5（cm），
∴S侧＝•2πr•l＝×2π××5＝15π（cm2）．
故选：B．
4．（3分）将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，则∠CED的度数是（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
解：∵∠B＝90°，∠A＝45°，
∴∠ACB＝45°．
∵∠EDF＝90°，∠F＝60°，
∴∠DEF＝30°．
∵EF∥BC，
∴∠EDC＝∠DEF＝30°，
∴∠CED＝∠ACB﹣∠EDC＝45°﹣30°＝15°．
故选：A．
5．（3分）下列计算结果正确的是（　　）
A．（a3）2＝a5 B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
C．1+＝ D．a÷b•＝
解：A、原式＝a6，不符合题意；
B、原式＝（﹣bc）2＝b2c2，不符合题意；
C、原式＝，不符合题意；
D、原式＝，符合题意．
故选：D．
6．（3分）从概率统计的角度解读下列诗词所描述的事件，属于确定事件的是（　　）
A．黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙
B．人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开
C．危楼高百尺，手可摘星辰
D．一夜北风紧，开门雪尚飘
解：A、黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙是随机事件，故A不符合题意；
B、人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开是随机事件，故B不符合题意；
C、水面上秤锤浮，直待黄河彻底枯是确定事件中的不可能事件，故C符合题意；
D、一夜北风紧，开门雪尚飘是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
7．（3分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（　　）

A． B． C． D．
解：如图，连接AC、BC．
∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理的推论知，∠ADC＝∠ABC．
在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，
sin∠ABC＝，
∵AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝，
∴sin∠ABC＝＝，
∴sin∠ADC＝．
故选：A．

8．（3分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（　　）

A． B． C． D．
解：正方形ABCD中，∵BC＝4，
∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵AF＝DE＝1，
∴DF＝CE＝3，
∴BE＝CF＝5，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE＝∠DCF，
∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，
cos∠CBE＝cos∠ECG＝，
∴，CG＝，
∴GF＝CF﹣CG＝5﹣＝，
故选：A．
9．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（　　）
A． B．
C． D．
解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线．
故选：B．
10．（3分）现有如下命题，其中是真命题的个数是（　　）
①若x2+kx+是完全平方式，则k＝1；
②若A（﹣3，y1），B（，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则y2＜y1＜y3；
③圆是轴对称图形，圆的任何一条直径都是它的对称轴；
④“正方形的对角线互相垂直平分且相等”的逆命题；
⑤一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①若x2+kx+是完全平方式，则k＝±1，原命题是假命题；
②若A（﹣3，y1），B（，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则y2＜y1＜y3，原命题是真命题；
③圆是轴对称图形，圆的任何一条直径都是它的对称轴，是真命题；
④“正方形的对角线互相垂直平分且相等”的逆命题是对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，逆命题是真命题；
⑤一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形，是真命题；
故选：D．
二、填空题（本大题包括7个小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡的对应题的横线上。）
11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
解：由题意得，x+2≥0且x≠0，
解得x≥﹣2且x≠0．
故答案为：x≥﹣2且x≠0．
12．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　 　．
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，
故答案为：k＞﹣1且k≠0．
13．（3分）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计，由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝41，后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，平均分不变，方差 　 　．（变大、变小或不变）
解：∵小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，
∴该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小．
故答案为：变小．
14．（3分）某校九年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为x千米/小时，则可列方程：　 　．
解：设骑车学生的速度为x千米/小时，根据题意，有：
﹣＝．
故答案为：﹣＝．
15．（3分）如图，把三角形纸片ABC折叠，使点B，点C都与A重合，折痕分别为DG和EF，若△ADE是等腰直角三角形，AE＝EF，那么∠BAC的大小是 　 　．

解：∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠AED＝45°，
由折叠可得，∠B＝∠DAE＝45°，
设∠C＝x，则∠GAF＝x，
∴∠AFE＝2x，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝2x，
在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C＝45°+45°+2x+x+x＝180°，
解得：x＝22.5，
∴∠BAC＝45°+2×22.5°+22.5°＝112.5°，
故答案为：112.5°．
16．（3分）如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于3，则k的值为 　 　．

解：根据题意可知：S△PMO＝|k|＝3，即k＝±6．
又∵反比例函数的图象位于第二象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
17．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b＞n（an+b）（n≠1）．其中正确的是 　 　（填序号）．

解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴b﹣2a＞0，②错误．
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①错误．
由图象可得x＝﹣1是，y＝a﹣b+c＜0，
∴③错误．
由图象可得x＝1时，y＝a+b+c为最大值，
∴a+b+c＞an2+bn+c（n≠1），即a+b≥n（an+b）（n≠1），④正确．
故答案为：④．
三、解答题（本大题包括8个小题，共69分，请在答题卡上写出各题解答的文字说明，证明过程或计算步聚。）
18．（5分）计算：（﹣）﹣1+（3.14﹣π）0+|3﹣|﹣4sin60°．
解：（﹣）﹣1+（3.14﹣π）0+|3﹣|﹣4sin60°．
＝﹣2+1+﹣3﹣4×
＝﹣2+1+2﹣3﹣2
＝﹣4．
19．（6分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x满足x2﹣2x﹣5＝0．
解：原式＝•＝•＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，
由x2﹣2x﹣5＝0，得到x2﹣2x＝5，
则原式＝5．
20．（10分）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：

（1）本次参加抽样调查的居民有　 　人．
（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为　 　度．根据题中信息补全条形统计图．
（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃D种粽子的有　 　人．
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
解：（1）240÷40%＝600（人），
所以本次参加抽样调查的居民有600人；
（2）喜欢B种口味粽子的人数为600×10%＝60（人），
喜欢C种口味粽子的人数为600﹣180﹣60﹣240＝120（人），
所以喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角的度数为360°×＝72°；
补全条形统计图为：

（3）6000×40%＝2400，
所以估计爱吃D种粽子的有2400人；
故答案为600；72；2400；
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果数为3，
所以他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率＝＝．
21．（7分）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为60海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．

解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，

根据题意可知：∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25海里，
∴AE＝CE＝25（海里），
∵∠CBE＝30°，
∴BE＝25（海里），
∴BC＝2CE＝50（海里）．
答：观测点B与C点之间的距离为50海里；
（2）如图，作CF⊥DB于点F，
∵CF⊥DB，FB⊥EB，CE⊥AB，
∴四边形CEBF是矩形，
∴FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25（海里），
∴DF＝BD+BF＝30+25＝55（海里），
在Rt△DCF中，根据勾股定理，得
CD＝＝＝70（海里），
∴70÷60＝（小时）．
答：救援船到达C点需要的最少时间是小时．
22．（9分）某社会团体准备购进甲、乙两种防护服捐给一线抗疫人员，经了解，购进5件甲种防护服和4件乙种防护服需要2万元，购进10件甲种防护服和3件乙种防护服需要3万元．
（1）甲种防护服和乙种防护服每件各多少元？
（2）实际购买时，发现厂家有两种优惠方案，方案一：购买甲种防护服超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，乙种防护服没有优惠；方案二：两种防护服都按原价的9折付款，该社会团体决定购买x（x＞20）件甲种防护服和30件乙种防护服．
①求两种方案的费用y与件数x的函数解析式；
②请你帮该社会团体决定选择哪种方案更合算．
解：（1）设甲种防护服每件x元，乙种防护服每件y元，
根据题意得：，解得，
答：甲种防护服每件2400元，乙种防护服每件2000元；

（2）①方案一：y1＝2400×20+2400×0.8×（x﹣20）+2000×30＝1920x+69600；
方案二：y2＝（2400x+2000×30）×0.9＝2160x+54000．
②当y1＝y2时，1920x+69600＝2160x+54000，
解得x＝65；
当y1＞y2时，即1920x+69600＞2160x+54000，
解得：x＜65；
当y1＜y2时，即1920x+69600＜2160x+54000，
解得x＞65．
∴当购买甲种防护服65件时，两种方案一样；
当购买甲种防护服的件数超过20件而少于65件时，选择方案二更合算；
当购买甲种防护服多于65件时，选择方案一更合算．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）求证：DE与⊙A相切；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．

（1）证明：连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴△AED≌△BAC（SAS），
∴∠DEA＝∠CAB，
∵∠CAB＝90°，
∴∠DEA＝90°，
∴DE⊥AE，
∵AE是⊙A的半径，
∴DE与⊙A相切；
（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE，∠EAB＝60°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴AE＝CE，
∴CE＝BE，
∴S△ABC＝AB•AC＝＝8，
∴S△ACE＝S△ABC＝＝4，
∵∠CAE＝30°，AE＝4，
∴S扇形AEF＝＝＝，
∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝4﹣．

24．（12分）（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空：
①的值为 　 　；
②∠AMB的度数为 　 　．
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

解：（1）问题发现
①如图1，∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠COA＝∠DOB，
∵OC＝OD，OA＝OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC＝BD，
∴＝1，
②∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO＝∠DBO，
∵∠AOB＝40°，
∴∠OAB+∠ABO＝140°，
在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣140°＝40°，
故答案为：①1；②40°；
（2）类比探究
如图2，＝，∠AMB＝90°，理由是：
Rt△COD中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°，
∴，
同理得：，
∴，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴＝，∠CAO＝∠DBO，
在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠ABM）＝180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）＝90°；
（3）拓展延伸
①点C与点M重合时，如图3，同理得：△AOC∽△BOD，
∴∠AMB＝90°，，
设BD＝x，则AC＝x，
Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1，
∴CD＝2，BC＝x﹣2，
Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝，
∴AB＝2OB＝2，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
，
x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，
x1＝3，x2＝﹣2，
∴AC＝3；
②点C与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB＝90°，，
设BD＝x，则AC＝x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
+（x+2）2＝
x2+x﹣6＝0，
（x+3）（x﹣2）＝0，
x1＝﹣3，x2＝2，
∴AC＝2；
综上所述，AC的长为3或2．


25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），（3，0），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，点B是直线AD下方抛物线上一动点，连接AB、BD，求出△ADB面积最大值．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3①，
则点M的坐标为：（2，﹣1）；

（2）∵M与对称轴l上的点N关于x轴对称，则点N（2，1），
由点A、N的坐标得，直线AN的表达式为：y＝x﹣1②，
联立①②并整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝4或1，
故点D（4，3），

过点B作BH∥y轴交AD于点H，
设点B（x，x2﹣4x+3），点H（x，x﹣1），
设△ADB面积为S，
则S＝S△BHD+S△BHA＝×BH×（xD﹣xA）＝（x﹣1﹣x2+4x﹣3）×4＝﹣2（x﹣2.5）2+4.5≤4.5，
即△ADB面积的最大值为4.5；

（3）存在，理由：
设点P（m，m2﹣4m+3），点Q（2，t），
当AD是对角线时，由中点坐标公式得：1+4＝m+2，
解得：m＝3，
则点P（3，0）；
当AD或AQ是对角线时，由中点坐标公式得：m+1＝4+2或2+1＝m+4，
解得：m＝5或﹣1，
则点P（5，8）或（﹣1，8），
综上，点P的坐标为：（3，0）或（5，8）或（﹣1，8）．
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