2023年江苏省苏州市昆山市五校联考中考数学模拟试卷（含答案）

这是一份2023年江苏省苏州市昆山市五校联考中考数学模拟试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了我们定义等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省苏州市昆山市五校联考中考数学模拟试卷
一．选择题（每题4分，共24分）
1．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x5+x5＝x10 B．x5÷x5＝x C．x5•x5＝x10 D．（x5）5＝x10
3．（3分）对于一组数据﹣1，4，﹣1，2下列结论不正确的是（　　）
A．平均数是1 B．众数是﹣1
C．中位数是0.5 D．方差是3.5
4．（3分）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（　　）

A．25 B．22 C．19 D．18
5．（3分）已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AC＝BD D．BC＝CD
6．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，直线y＝x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y＝的图象在
第一象限交于点A，连接OA．若S△AOB：S△BOC＝1：2，则k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
8．（3分）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．根据定义：
①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°．其中，说法正确的有（　　）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④
二．填空题（每题4分，共24分）
9．（3分）用科学记数法表示0.0000308的结果是 　 　．
10．（3分）不透明的袋中装有若干个质地均匀的红球和8个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球 　 　个．
11．（3分）因式分解：x3﹣6x2+9x＝　 　．
12．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是　 　．

13．（3分）圆锥底面半径长为6，侧面展开扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是 　 　．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B、C的对应点分别为点B'、C′，AB′与BC相交于点D，当B′C′∥AB时，则CD＝　 　．

15．（3分）若x1，x2是方程x2＝2x+2023的两个实数根，则代数式﹣2+2023x2的值为 　 　．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，E为边CD的中点，若将∠ADE沿着直线AE翻折，使点D落在点F处，则tan∠ABF＝　 　．

三．解答题（共82分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组并将解集在数轴上表示出来．

19．（6分）解分式方程．
20．（6分）为阻断流感传播，某社区设置了A、B、C三个发热检测点．假定甲、乙两人去某个检测点是随机的且去每个检测点机会均等．
（1）甲在A检测点的概率为 　 　．
（2）求甲、乙两人在不同检测点的概率．（画树状图或列表）
21．（6分）如图，某大学农学院的学生为了解试验田杂交水稻秧苗的长势，从中随机抽取样本对苗高进行了测量，根据统计结果（数据四舍五入取整），绘制统计图．
（1）本次抽取的样本水稻秧苗为 　 　株；
（2）求出样本中苗高为17cm的秧苗的株数，并完成折线统计图；
（3）根据统计数据，若苗高大于或等于15cm视为优良秧苗，请你估算该试验田90000株水稻秧苗中达到优良等级的株数．

22．（8分）如图，D，E为△GCF中GF边上两点，过D作AB∥CF交CE的延长线于点A，AE＝CE．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若GB＝4，BC＝6，BD＝2，求AB的长．

23．（8分）如图是一个亭子的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是亭子的高AB所在的直线．为了测量亭子的高度，在地面上C点测得亭子顶端A的仰角为35°，此时地面上C点、亭檐上E点、亭顶上A点三点恰好共线，继续向亭子方向走3m到达点D时，又测得亭檐E点的仰角为45°，亭子的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．求亭子的高AB（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）

24．（8分）某社区利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52m，宽为28m，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为640m2．
（1）求通道的宽是多少米；
（2）该停车场共有64个车位，据调查发现：当每个车位的月租金为400元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元时，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨时，停车场的月租金收入会超过27000元吗？

25．（8分）如图，已知BC为⊙O的直径，点D为的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．

26．（10分）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
【问题探究】：
（1）如图①，已知矩形ABCD是“等邻边四边形”，则矩形ABCD　 　 　　（填“一定”或“不一定”）是正方形；
（2）如图②，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝4，动点M、N分别在AD、CD上（不含端点），若∠MBN＝60°，试判断四边形BMDN是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；并求出此时，四边形BMDN的周长的最小值；
【尝试应用】：
（3）现有一个平行四边形材料ABCD，如图③，在▱ABCD中，AB＝，BC＝6，tanB＝4，点E在BC上，且BE＝4，在▱ABCD边AD上有一点P，使四边形ABEP为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积可能为的值．

27．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
（3）如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
（4）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．


2023年江苏省苏州市昆山市五校联考中考数学模拟试卷
（参考答案与详解）
一．选择题（每题4分，共24分）
1．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项符合题意；
B．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
故选：A．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x5+x5＝x10 B．x5÷x5＝x C．x5•x5＝x10 D．（x5）5＝x10
【解答】解：A、x5+x5＝2x5，故A不符合题意；
B、x5÷x5＝1，故B不符合题意；
C、x5•x5＝x10，故C符合题意；
D、（x5）5＝x25，故D不符合题意；
故选：C．
3．（3分）对于一组数据﹣1，4，﹣1，2下列结论不正确的是（　　）
A．平均数是1 B．众数是﹣1
C．中位数是0.5 D．方差是3.5
【解答】解：这组数据的平均数是：（﹣1﹣1+4+2）÷4＝1；
﹣1出现了2次，出现的次数最多，则众数是﹣1；
把这组数据从小到大排列为：﹣1，﹣1，2，4，最中间的数是第2、3个数的平均数，则中位数是＝0.5；
这组数据的方差是：[（﹣1﹣1）2+（﹣1﹣1）2+（4﹣1）2+（2﹣1）2]＝4.5；
则下列结论不正确的是D；
故选：D．
4．（3分）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（　　）

A．25 B．22 C．19 D．18
【解答】解：由题意可得，
MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周长是AB+BD+AD，
∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，
∵AB＝7，AC＝12，
∴AB+AC＝19，
∴△ABD的周长是19，
故选：C．
5．（3分）已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AC＝BD D．BC＝CD
【解答】解：在四边形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD为矩形，
而判断矩形是正方形的判定定理为：有一组邻边相等的矩形是正方形，
故D正确，
故选：D．
6．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，
∴x﹣y＝4.5；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴x+1＝y．
∴所列方程组为．
故选：C．
7．（3分）如图，直线y＝x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y＝的图象在
第一象限交于点A，连接OA．若S△AOB：S△BOC＝1：2，则k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：∵直线y＝x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，
∴C（0，﹣2），B（2，0），
∴S△BOC＝OB•OC＝×2×2＝2，
∵S△AOB：S△BOC＝1：2，
∴S△AOB＝S△BOC＝1，
∴×2×yA＝1，
∴yA＝1，
把y＝1代入y＝x﹣2，
得1＝x﹣2，解得x＝3，
∴A（3，1）．
∵反比例函数y＝的图象过点A，
∴k＝3×1＝3．
故选：B．
8．（3分）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．根据定义：
①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°．其中，说法正确的有（　　）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【解答】解：①设等边三角形的边长为a，
则a2+a2＝2a2，符合“奇异三角形”的定义，故①正确；
②∵∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2①，
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，
∴a2+c2＝2b2②，
由①②得：b＝a，c＝a，
∴a：b：c＝1：：，故②错误；
③∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝AB2，
∵D是半圆的中点，
∴AD＝BD，
∴2AD2＝AB2，
∵AE＝AD，CB＝CE，
∴AC2+CE2＝2AE2，
∴△ACE是奇异三角形，故③正确；
④由③得：△ACE是奇异三角形，
∴AC2+CE2＝2AE2，
当△ACE是直角三角形时，
由②得：AC：AE：CE＝1：：，或AC：AE：CE＝：：1，
当AC：AE：CE＝1：：时，
AC：CE＝1：，即AC：CB＝1：，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝60°；
当AC：AE：CE＝：：1时，
AC：CE＝：1，即AC：CB＝：1，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
综上所述，∠AOC的度数为60°或120°，故④错误；
故选：B．

二．填空题（每题4分，共24分）
9．（3分）用科学记数法表示0.0000308的结果是 　 　．
【解答】解：0.0000308＝3.08×10﹣5．
故答案为：3.08×10﹣5．
10．（3分）不透明的袋中装有若干个质地均匀的红球和8个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球 　 　个．
【解答】解：∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，口袋中有8个白球，
假设有x个红球，
则＝0.4，
解得：x＝12，
∴口袋中有红球约为12个，
故答案为：12．
11．（3分）因式分解：x3﹣6x2+9x＝　 　．
【解答】解：原式＝x（x2﹣6x+9）＝x（x﹣3）2，
故答案为：x（x﹣3）2
12．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是　 　．

【解答】解：因为五边形ABCDE是正五边形，
所以∠C＝＝108°，BC＝DC，
所以∠BDC＝＝36°，
所以∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144°．
13．（3分）圆锥底面半径长为6，侧面展开扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是 　 　．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，
根据题意得2π×6＝，
解得l＝18，
即圆锥的母线长为18．
故答案为：18．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B、C的对应点分别为点B'、C′，AB′与BC相交于点D，当B′C′∥AB时，则CD＝　 　．

【解答】解：设CD＝x，
∵B′C′∥AB，
∴∠BAD＝∠B′，
由旋转的性质得：∠B＝∠B′，AC＝AC′＝6，
∴∠BAD＝∠B，
∴AD＝BD＝8﹣x，
∴（8﹣x）2＝x2+62，
∴x＝，
∴CD＝，
故答案为：．
15．（3分）若x1，x2是方程x2＝2x+2023的两个实数根，则代数式﹣2+2023x2的值为 　 　．
【解答】解：x2＝2x+2023整理得：x2﹣2x﹣2023＝0，
∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣2023＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，﹣2x1＝2023，
∴﹣2+2023x2
＝x1（﹣2x1）+2023x2
＝2023x1+2023x2
＝2023（x1+x2）
＝2023×2
＝4046．
故答案为：4046．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，E为边CD的中点，若将∠ADE沿着直线AE翻折，使点D落在点F处，则tan∠ABF＝　 　．

【解答】过点F作BC的平行线，分别交AB，CD于点H，G，

则四边形BCGH为矩形，
∴AD＝BC＝GH＝8，BH＝CG，
由翻折可得DE＝EF＝6，AD＝AF＝8，∠AFE＝∠D＝90°，
设FH＝x，则FG＝8﹣x，
∵∠EFG+∠AFH＝90°，∠EFG+∠FEG＝90°，
∴∠AFH＝∠FEG，
∵∠AHF＝∠EGF＝90°，
∴△AFH∽△FEG，
∴，
即，
∴EG＝x，
在Rt△EFG中，由勾股定理可得，
（x）2+（8﹣x）2＝62，
解得x＝或x＝8（舍去），
∴EG＝，
∴CG＝BH＝CD﹣DE﹣EG＝，
∴tan∠ABF＝．
故答案为：．
三．解答题（共82分）
17．（5分）计算：．
【解答】解：原式＝3+2﹣3×﹣（2﹣）
＝3+2﹣3﹣2+
＝．
18．（5分）解不等式组并将解集在数轴上表示出来．

【解答】解：解不等式x+1≥0，得x≥﹣1，
解不等式﹣1＜，得x＜3，
∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
∴将不等式组的解集在数轴上表示出来：

19．（6分）解分式方程．
【解答】解：，
﹣＝1，
方程两边都乘（x+11）（x﹣1），得2（x﹣1）2﹣8＝（x+1）（x﹣1），
解得：x1＝5，x2＝﹣1，
经检验x＝5是分式方程的解，x＝﹣1是增根，
即分式方程的解是x＝5．
20．（6分）为阻断流感传播，某社区设置了A、B、C三个发热检测点．假定甲、乙两人去某个检测点是随机的且去每个检测点机会均等．
（1）甲在A检测点的概率为 　 　．
（2）求甲、乙两人在不同检测点的概率．（画树状图或列表）
【解答】解：（1）甲在A检测点做核酸的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人在不同检测点做核酸有6种结果，
∴甲、乙两人在不同检测点做核酸的的概率为＝．
21．（6分）如图，某大学农学院的学生为了解试验田杂交水稻秧苗的长势，从中随机抽取样本对苗高进行了测量，根据统计结果（数据四舍五入取整），绘制统计图．
（1）本次抽取的样本水稻秧苗为 　 　株；
（2）求出样本中苗高为17cm的秧苗的株数，并完成折线统计图；
（3）根据统计数据，若苗高大于或等于15cm视为优良秧苗，请你估算该试验田90000株水稻秧苗中达到优良等级的株数．

【解答】解：（1）本次抽取的样本水稻秧苗为：80÷16%＝500（株）；
故答案为：500；

（2）苗高为14cm的秧苗的株数有500×20%＝100（株），
苗高为17cm的秧苗的株数有500﹣40﹣100﹣80﹣160＝120（株），
补全统计图如下：


（3）90000×＝64800（株），
答：估算该试验田90000株水稻秧苗中达到优良等级的株数有64800株．
22．（8分）如图，D，E为△GCF中GF边上两点，过D作AB∥CF交CE的延长线于点A，AE＝CE．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若GB＝4，BC＝6，BD＝2，求AB的长．

【解答】（1）证明：∵AB∥CF，
∴∠A＝∠ECF，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（ASA）；
（2）解：∵DB∥CF，
∴△GBD∽△GCF，
∴，
∵GB＝4，BC＝6，BD＝2，
∴GC＝GB+BC＝10，
∴，
∴CF＝5，
∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝5，
∴AB＝AD+BD＝5+2＝7．
23．（8分）如图是一个亭子的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是亭子的高AB所在的直线．为了测量亭子的高度，在地面上C点测得亭子顶端A的仰角为35°，此时地面上C点、亭檐上E点、亭顶上A点三点恰好共线，继续向亭子方向走3m到达点D时，又测得亭檐E点的仰角为45°，亭子的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．求亭子的高AB（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）

【解答】解：∵亭子的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是亭子的高AB所在的直线，EF∥BC，
∴AG⊥EF，EG＝EF，∠AEG＝∠ACB＝35°，
在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°，
∵tan∠AEG＝tan35°＝，EG＝6，
∴AG≈6×0.7＝4.2（m），
过E作EH⊥CB于H，
设EH＝x，
在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝45°，
∵tan∠EDH＝＝1，
∴DH＝x，
在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°，
∵tan∠ECH＝，
∴CH＝，
∵CH﹣DH＝CD＝3m，
∴﹣x＝3，
解得：x≈7，
∴AB＝AG+BG＝11.2（m），
答：亭子的高AB约为11.2m．

24．（8分）某社区利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52m，宽为28m，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为640m2．
（1）求通道的宽是多少米；
（2）该停车场共有64个车位，据调查发现：当每个车位的月租金为400元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元时，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨时，停车场的月租金收入会超过27000元吗？

【解答】解：（1）设通道的宽是x m，则阴影部分可合成长为（52﹣2x）米，宽为（28﹣2x）米的长方形，
依题意得：（28﹣2x）（52﹣2x）＝640，
整理得：x2﹣40x+204＝0，
解得：x1＝6，x2＝34．
又∵28﹣2x＞0，
∴x＜14，
∴x＝6．
答：通道的宽是6米．
（2）设当每个车位的月租金上涨y元时，停车场的月租金收入为w元，则可租出（64﹣）个车位，
依题意得：w＝（400+y）（64﹣）＝﹣y2+24y+25600＝﹣（y﹣120）2+27040，
∵﹣＜0，
∴当y＝120时，w取得最大值，最大值为27040．
又∵27040＞27000，
∴停车场的月租金收入会超过27000元．
25．（8分）如图，已知BC为⊙O的直径，点D为的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．

【解答】（1）证明：如图，连接OD，BE，

∵点D为的中点，
∴＝，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠EBD，
∴OD∥BE，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∴OD⊥CE，
∵AD∥CE，
∴AD⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵DG∥CE，
∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，
∵tan∠GDB＝2，
∴tan∠BFE＝2，
在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE＝，
∴BE＝6，
∵EF＝3，CF＝5，
∴CE＝EF+CF＝8，
∴BC＝＝10，
∴OD＝OC＝5，
在Rt△BCE中，sin∠ECB＝＝＝，
∴sinA＝sin∠ECB＝，
在Rt△AOD中，sinA＝＝，OD＝5，
∴OA＝，
∴AC＝OA﹣OC＝．
26．（10分）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
【问题探究】：
（1）如图①，已知矩形ABCD是“等邻边四边形”，则矩形ABCD　 　 　　（填“一定”或“不一定”）是正方形；
（2）如图②，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝4，动点M、N分别在AD、CD上（不含端点），若∠MBN＝60°，试判断四边形BMDN是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；并求出此时，四边形BMDN的周长的最小值；
【尝试应用】：
（3）现有一个平行四边形材料ABCD，如图③，在▱ABCD中，AB＝，BC＝6，tanB＝4，点E在BC上，且BE＝4，在▱ABCD边AD上有一点P，使四边形ABEP为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积可能为的值．

【解答】解：（1）∵矩形ABCD是“等邻边四边形”，
∴四边形ABCD的邻边相等，
∴矩形ABCD 一定是正方形；
故答案为：一定；
（2）如图②中，结论：四边形BMDN是等邻四边形．
理由：连接BD．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，
∴△ABD，△BDC都是等边三角形，
∴∠BDM＝∠BCN＝60°，DB＝CB，
∵∠MBN＝∠DBC＝60°，
∴∠DBM＝∠CBN，
∴△DBM≌△CBN（ASA），
∴BM＝BN，DM＝CN，
∴四边形BMDN是等邻四边形，
∴DM+DN＝DN+NC＝CD＝4，
∵BM+DM+DN+BN＝BM+BN+4，
∴BM+BN的值最小时，四边形BMDN的周长最小，
根据垂线段最短可知，当BM⊥AD时，BM的值最小，此时BM＝BN＝AB•sin60°＝2，
∴四边形BMDN的周长的最小值为4+4．
（3）如图③中，过点A作AH⊥BC于H，3点E作EN⊥AD于N，则四边形AHEN是矩形．

∵tanB＝＝4，AB＝，
∴BH＝1，AH＝EN＝4，
∵BE＝4，
∴AN＝HE＝4﹣1＝3，
①当AP＝AB＝时，S四边形ABEP＝•（BE+AP）•AH＝×（+4）×4＝2+8．
②当PA＝PE时，设PA＝PE＝x，
在Rt△PEN中，PE2＝NE2+PN2，
∴x2＝42+（x﹣3）2，
∴x＝，
∴S四边形ABEP＝•（BE+AP）•AH＝×（+4）×4＝．
③当PE＝BE时，点P与N重合，
∴S四边形ABEP＝•（BE+AP）•AH＝×（3+4）×4＝14．
综上：四边形ABEP的面积为2+8或或14．
故答案为：2+8或或14．
27．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
（3）如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
（4）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2+x+3；
（2）∵抛物线y＝x2+x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（6，0）、C（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴h＝m2+m+3﹣（﹣m+3）＝m2+m，
∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点，
∴0＜m＜6，
∴h＝m2+m（0＜m＜6）；
（3）如图，过点E、F分别作EH⊥y轴于点H，FG⊥y轴于点G，

∵P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴PE＝m2+m，
∵PF⊥CE，
∴∠EPF+∠PEF＝90°，
∵PD⊥x轴，
∴∠EBD+∠BED＝90°，
又∵∠PEF＝∠BED，
∴∠EPF＝∠EBD，
∵∠BOC＝∠PFE＝90°，
∴△BOC∽△PFE，
∴＝，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝3，
∴EF＝×PE＝（m2+m）＝（m2+m），
∵EH⊥y轴，PD⊥x轴，
∴∠EHO＝∠EDO＝∠DOH＝90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴EH＝OD＝m，
∵EH∥x轴，
∴△CEH∽△CBO，
∴＝，即＝，
∴CE＝m，
∵CF＝EF，
∴EF＝CE＝m，
∴m＝（m2+m），
解得：m＝0或m＝1，
∵0＜m＜6，
∴m＝1；
（4）∵抛物线y＝x2+x+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴设Q（2，t），设抛物线对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，
则GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，
①当点O′恰好落在该矩形对角线OP所在的直线上时，如图，

则CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OP，
∴∠COP+∠OCQ＝90°，
又∵四边形OCPD是矩形，
∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，
∴∠PCQ+∠OCQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠COP，
∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝＝，
∴＝tan∠PCQ＝，
∴＝，
解得：t＝，
∴Q（2，）；
②当点O′恰好落在该矩形对角线CD上时，如图，连接CD交GH于点K，

∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCQ＝∠DCQ，
∵GH∥OC，
∴∠CQG＝∠OCQ，
∴∠DCQ＝∠CQG，
∴CK＝KQ，
∵C、P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，GH∥OC∥PD，
∴点K是CD的中点，
∴K（2，），
∴GK＝，
∴CK＝KQ＝﹣t，
在Rt△CKG中，CG2+GK2＝CK2，
∴22+（）2＝（﹣t）2，
解得：t1＝4（舍去），t2＝﹣1，
∴Q（2，﹣1）；
③当点O′恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，如图，过点O′作O′K⊥y轴于点K，连接OO′交CQ于点M，

∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，
∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，
∴△O′CK∽△DCO，
∴＝＝，即＝＝，
∴O′K＝，CK＝，
∴OK＝OC+CK＝3+＝，
∴O′（﹣，），
∵点M是OO′的中点，
∴M（﹣，），
设直线CQ的解析式为y＝k′x+b′，
则，
解得：，
∴直线CQ的解析式为y＝x+3，
当x＝2时，y＝×2+3＝4，
∴Q（2，4）；
综上所述，点Q的坐标为（2，）或（2，﹣1）或（2，4）．