2023年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学第三次适应性试卷（含答案）

这是一份2023年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学第三次适应性试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学第三次适应性试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算：3×（﹣2）＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6
2．（3分）用数学的眼光观察下面的网络图标，其中可以抽象成轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）计算：（﹣2m2n3）2＝（　　）
A．4m4n5 B．﹣4m4n6 C．4m4n6 D．﹣4m4n5
4．（3分）如图，将一副直角三角板按如图所示叠放，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的大小是（　　）

A．10° B．15° C．25° D．30°
5．（3分）小青和小云是同班同学，在上网课期间，老师在电脑上出示了如图所示的任意四边形ABCD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，要求她们添加一个条件使得四边形EFGH为菱形，小青添加的条件是AC＝BD，小云添加的条件是EG⊥HF，则下列说法正确的是（　　）

A．小青和小云都正确 B．小青正确，小云错误
C．小青错误，小云正确 D．小青和小云都错误
6．（3分）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
7．（3分）如图AB为⊙O的直径，∠BED＝40°，则∠ACD＝（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
8．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a2+3（其中x是自变量且a≠0），当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，且﹣1≤x≤2时，y的最大值为7，则a的值为（　　）
A．1或﹣4 B．1 C．2或﹣2 D．2
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
9．（3分）据旅游研究院最新数据显示，2022年中秋节国庆节假期，全国实现旅游收入210500000000元，将210500000000用科学记数法表示为 　 　．
10．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 　 　．

11．（3分）我国南宋数学家杨辉曾经提出这样的一个问题，“直田积，八百六十四，只云阔不及长十二步，问阔及长各几步”．大意：矩形田地的面积为864平方步，宽比长少12步，问矩形田地的长与宽各几步？如果设矩形田地的长为x步，可列方程为 　 　．
12．（3分）如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝　 　．

13．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，点E为AD边上一点，且AE＝2，在BC边上存在一点F，CD边上存在一点G，线段EF平分菱形ABCD的面积，则△EFG周长的最小值为 　 　．

三、解答题（共13小题，共81分。解答应写出过程）
14．（5分）计算：（﹣1）2023﹣．
15．（5分）解一元一次不等式组，并把解表示在数轴上．


16．（5分）先化简，再从﹣3，0，3中给x选一个你喜欢的数代入求值．
17．（5分）如图，已知正方形ABCD，点E是AB边上的一点，连接ED．请用尺规作图的方法在线段DE上求作一点F，使得∠BEF+∠BCF＝180°（不写作法，保留作图痕迹）．

18．（5分）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE．求证：△ABC≌△ADE．

19．（5分）A、B两家旅行社推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均为每人90元，但优惠的办法不同，A旅行社的优惠办法是：全家有一人购全票，其余的人半价优惠；B旅行社的优惠办法是：全家每人均按6折票价优惠．请问当家庭的人数是多少时，两家旅行社的费用相同？
20．（5分）为弘扬中华传统文化，“诵读经典，传承文明”，我校近期举办了“国学经典诵读大赛”，诵读的篇目分成四种类型：A．蒙学今诵；B．爱国传承；C．励志劝勉；D．愚公移山，每种类型的篇目数相同，参赛者需从这四种类型中随机抽取一种诵读类型．
（1）小高参加了这次大赛，她恰好抽中“B．爱国传承”的概率是 　 　；
（2）小新和小远也参加了这次大赛，小新先抽取了一种诵读类型后不放回，小远再从剩余的诵读类型中任意抽取一种，请用画树状图或列表法求他们中有一人抽到“C．励志劝勉”的概率．
21．（6分）2022年10月，中共中央胜利召开了第二十次全国代表大会，我市组织全体学生开展了“学习二十大、争做好队员”的主题阅读活动，受到了各校的广泛关注和同学们的积极响应，某校为了解同学们的阅读情况，随机抽查了部分学生的在某一周的主题阅读文章的篇数，并制成了如图所示的统计图．
某校抽查的学生阅读篇数统计表：
文章阅读篇数
4
5
6
7
人数
8
m
20
4
请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）本次抽查的学生阅读篇数的中位数是 　 　篇，众数是 　 　篇，m＝　 　；
（2）求本次抽查的学生平均每人阅读的篇数；
（3）若该校共有学生1000人，请估计该校学生在本周内阅读篇数为4篇的人数．

22．（7分）甲、乙两人相约周末沿同一条路线登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题．
（1）乙到达A地后决定提速，提速后乙的速度是甲登山速度的3倍，求乙提速后在登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数解析式；
（2）在（1）的条件下，甲、乙登山过程中，当x＝　 　时，甲、乙两人距地面的高度差为85米．

23．（7分）无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以5m/s的速度飞行18s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行72s到达点E，测得点B的俯角为37°．求AB的长度（结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）．

24．（8分）如图，已知△ABC的边AB所在的直线是⊙O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与圆交于点D、C，E为AB延长线上一点，连接CE交⊙O于点F，且∠BCE＝∠ACB．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）若⊙O的半径是6，AB＝8，求EF的长．

25．（8分）如图，抛物线l1：y＝ax2+2x+6（a≠0）与y轴交于点C（0，6），与x轴交于点A和点B，抛物线的对称轴x＝2与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．抛物线l2与抛物线l1关于原点O中心对称．
（1）求抛物线l1顶点D的坐标及抛物线l2的解析式；
（2）若点P是抛物线l2上位于y轴左侧的一个动点，点Q是坐标平面内一点，是否存在点Q，使得以点P、Q、D、E为顶点的四边形是面积为36的平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（10分）（1）如图1，在△ABC中，点D为AC边上一点，AD＝CD，连接BD，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E，若S△ABC＝24，则S△ABE＝　 　；
（2）如图2，在△ABC中，AC＝8，∠B＝60°，求△ABC面积的最大值；
（3）公园作为城市生态环节的重要组成部分，从来都是衡量一座城市的生态底蕴和宜居指数的重要指标．西安高新区建区以来，始终坚持生态优先的绿色发展之路，高度重视公园、绿地建设，先后建成了新纪元公园、唐城墙遗址公园等一批综合性公园．近年来，进入发展“快车道”的西安高新区，更是把公园建设当做提升区域生态环境和城市品质的重要任务，近期高新区管委会拟在一片空地上修建一座矩形城市公园ABCD，如图3，按照规划，在这个矩形公园里要修建一个三角形活动中心△AEC，点E在AD边上，且DE：CD＝1：，活动中心△AEC被景观大道EF（宽度不计）分割为△AEF和△ECF两块区域，已知EF＝200米，且S△AEF＝；求当△AEC面积最大时矩形ABCD的面积．



2023年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学第三次适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】根据有理数乘法法则进行运算．
【解答】解：3×（﹣2）＝﹣6．
故选：D．
【点评】本题考查有理数的乘法，熟练掌握有理数乘法法则是解题关键．
2．【分析】利用轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
【解答】解：（﹣2m2n3）2＝4m4n6，
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，能熟记幂的乘方与积的乘方是解此题的关键，（ab）n＝anbn，（am）n＝amn．
4．【分析】根据直角三角形的性质可得∠BAC＝45°，根据邻补角互补可得∠EAF＝135°，然后再利用三角形的外角的性质可得∠AFD＝135°+30°＝165°．即可．
【解答】解：∵∠B＝45°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝135°，
∴∠AFD＝135°+30°＝165°，
∴∠BFD＝180°﹣∠AFD＝15°
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和，三角形的外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
5．【分析】连接AC、BD，由三角形中位线定理知HG∥AC，HG＝AC，EF∥AC，EF＝AC，则EF＝HG，EF∥GH，得四边形HGFE是平行四边形，再证明▱HGFE是菱形即可．
【解答】解：连接AC、BD，
∵H、G是AD、CD的中点，
∴HG是△ACD的中位线，
∴HG∥AC，HG＝AC，
同理EF∥AC，EF＝AC，
∴EF＝HG，EF∥GH，

∴四边形HGFE是平行四边形，
当AC＝BD时，由三角形中位线定理得，HG＝EH，
∴▱HGFE是菱形，
当EG⊥HF时，▱HGFE是菱形，
故选：A．
【点评】本题主要考查了中点四边形，三角形中位线定理，菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
6．【分析】根据平移的规律得到平移后直线的解析式为y＝2（x+3）+m﹣1，然后把原点的坐标代入求值即可．
【解答】解：将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到y＝2（x+3）+m﹣1，
把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣1，
解得m＝﹣5．
故选：A．
【点评】主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．
7．【分析】连接OD，如图，先利用圆周角定理得到∠BOD＝80°，再利用邻补角得到∠AOD＝100°，然后根据圆周角定理得到∠ACD的度数．
【解答】解：连接OD，如图，
∵∠BOD＝2∠BED＝2×40°＝80°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣80°＝100°，
∴∠ACD＝∠AOD＝×100°＝50°．
故选：C．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．【分析】由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，由x≤﹣2时，y随x的增大而减小，可得抛物线开口方向，进而求解．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+a2+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向上，a＞0，
∵1﹣（﹣1）＞2﹣1，
∴x＝﹣1时，y＝a+2a+a2+3＝7，
解得a＝﹣4（舍）或a＝1，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：210500000000＝2.105×1011．
故答案为：2.105×1011．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．【分析】先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵正六边形的外角和为360°，
∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°，
∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°，
∵正六边形的边长为6，
∴S阴影＝＝12π，
故答案为：12π．
【点评】考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．
11．【分析】根据矩形田地长与宽之间的关系，可得出矩形田地的宽为（x﹣12）步，结合矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵宽比长少12步，且矩形田地的长为x步，
∴矩形田地的宽为（x﹣12）步．
根据题意得：x（x﹣12）＝864．
故答案为：x（x﹣12）＝864．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD＝3AD，
∴D（，b），
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴＝k，∴E（a，），
∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣•﹣•﹣••（b﹣）＝9，
∴ab﹣﹣+＝9，
∴ab+k＝24，
∵＝k，
∴k＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，利用了：①过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；②所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．
13．【分析】作E关于CD的对称点M，过M作KT⊥BC交BC延长线于T，交AD延长线于K，连接FM交DC于G，过A作AH⊥BC于H，由∠ABC＝60°，AB＝8，得BH＝4，AH＝4，而AE＝2，有DE＝6，可得DN＝3，EN＝3，EM＝2EN＝6，在Rt△EMK中，KM＝EM＝3，EK＝KE＝9，故MT＝KT﹣KM＝AH﹣KM＝，根据线段EF平分菱形ABCD的面积和菱形的对称性知CF＝AE＝2，可证∠EFH＝∠EFT＝90°，即可得FM＝＝2，又EF+CG+EG＝EF+CG+GM，知当M，G，F共线时，EF+CG+EG，即△EFG周长的最小，从而可得△EFG周长的最小值为4+2．
【解答】解：作E关于CD的对称点M，过M作KT⊥BC交BC延长线于T，交AD延长线于K，连接FM交DC于G，过A作AH⊥BC于H，如图：

∵∠ABC＝60°，AB＝8，
∴BH＝4，AH＝4，
∵AE＝2，
∴DE＝6，
∵∠EDN＝60°，∠END＝90°，
∴∠DEN＝30°，DN＝3，EN＝3，
∴EM＝2EN＝6，
在Rt△EMK中，
KM＝EM＝3，EK＝KE＝9，
∴MT＝KT﹣KM＝AH﹣KM＝，
∵线段EF平分菱形ABCD的面积，
∴EF过对称中心，
由菱形的对称性知CF＝AE＝2，
∴HF＝BC﹣BH﹣CF＝8﹣4﹣2＝2，
∴HF＝AE，
∵HF∥AE，∠EHF＝90°，
∴四边形HFEA是矩形，EF＝AH＝4，
∴∠EFH＝∠EFT＝90°，
∴四边形EFTK是矩形，
∴FT＝EK＝9，
∴FM＝＝2，
∵EF+CG+EG＝EF+CG+GM，
∴当M，G，F共线时，EF+CG+EG，即△EFG周长的最小，
此时△EFG周长的最小值即为EF+FM，
∴△EFG周长的最小值为4+2．
故答案为：4+2．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，矩形的性质，中心对称的性质，勾股定理的应用，确定△PEF周长取值最小时，M，G，F共线是解题的关键．
三、解答题（共13小题，共81分。解答应写出过程）
14．【分析】先计算乘方、开立方、负整数指数幂和绝对值，再计算加减．
【解答】解：（﹣1）2023﹣
＝﹣1﹣2+3+﹣1
＝﹣1．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法．
15．【分析】分别解两个不等式得到x≤3和x＞﹣3，再利用大小小大中间找确定不等式组的解集，然后利用数轴表示它的解集．
【解答】解：，
解①得x≤3，
解②得x＞﹣3，
所以不等式组的解集为﹣3＜x≤3．
解集在数轴上表示为：

【点评】本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
16．【分析】先利用分式的相应的法则对分式进行化简，再结合分式有意义的条件选取合适的数代入运算即可．
【解答】解：
＝
＝﹣2（x+3）
＝﹣2x﹣6，
∵9﹣x2≠0，
∴x≠±3，
∴当x＝0时，
原式＝﹣2×0﹣6＝﹣6．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17．【分析】过点C作DE的垂线交DE即为点F．
【解答】解：如下图：

点D即为所求．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握正方形的性质是解题的关键．
18．【分析】先根据：∠1＝∠2＝∠3得出∠BAC＝∠DAE，再由∠ADC＝∠B+∠1得出∠ADE+∠3＝∠B+∠1，由“AAS”可证△ABC≌△ADE．
【解答】证明：∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠ADC＝∠B+∠1，
∴∠ADE+∠3＝∠B+∠1，
∴∠B＝∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是本题的关键．
19．【分析】根据两家旅行社，优惠后的费用相同，可列出相应的方程，然后求解即可．
【解答】解：设当家庭的人数是x时，两家旅行社的费用相同，
由题意可得：90+（x﹣1）×90×0.5＝90x×0.6，
解得x＝5，
答：当家庭的人数是5时，两家旅行社的费用相同．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
20．【分析】（1）直接根据概率求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合题意的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵诵读的篇目分成四种类型：A．蒙学吟诵；B．爱国传承；C．励志劝勉；D．愚公移山，
∴恰好抽中“B．爱国传承”的概率是，
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：

共有12种等可能的情况数，其中他们抽中同一种类型篇目的有6种，
则他们抽中同一种类型篇目的概率是＝．
【点评】本题考查用列表法或树状图法求概率，解题的关键是能够通过列表或画树状图不重复不遗漏的列出所有等可能的结果．
21．【分析】（1）根据众数、中位数的意义，分别求出即可；
（2）根据平均数的求法计算即可；
（3）先计算阅读4篇的学生人数占抽查学生的百分比，利用学生总数×该项占的百分比计算即可．
【解答】解：（1）20÷40%＝50人，
m＝50﹣8﹣20﹣4＝18，
将学生阅读篇数从小到大排列处在第25、26位都是5篇，因此中位数是5篇，
学生阅读文章篇数出现次数最多的是6篇，出现20次，因此众数是6篇，
故答案为：5，6，18；
（2）×（8×4+5×18+6×20+7×4）＝5.4（篇），
答：本次抽查的学生平均每人阅读的篇数为5.4篇；
（3）抽查学生中阅读4篇的有8人，占抽查学生的16%，
所以1000×16%＝160（人），
答：估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为4篇的人数有160人．
【点评】本题考查了扇形统计图、中位数和众数、用样本估计总体等知识点．理解和应用图表是解决本题的关键．
22．【分析】（1）由时间，速度，路程的基本关系式求出甲和乙的速度，再利用待定系数法来求解即可；
（2）求出甲的函数解析式和乙在0≤x≤2时的解析式，分0≤x≤2时，2＜x≤11时，11＜x≤20时来讨论即可求解．
【解答】解：（1）甲登山的速度为：（300﹣100）÷20＝10（米/分），
∵乙提速后的速度是甲登山速度的3倍，
∴V乙＝3V甲＝30米/分，
∴t＝2+（300﹣30）÷30＝11（分钟），
设乙提速后的函数解析式为y＝kx+b，
∵直线经过A（2，30），（11，300），
∴，
解得，
∴乙提速后在登山时距地面的高度y与登山时间x之间的函数解析式为y＝30x﹣30；
（2）设甲的函数解析式为：y＝mx+100，
将（20，300）代入得：300＝20m+100，
解得m＝10，
∴y＝10x+100；
设当0≤x≤2时，乙的函数关系式为y＝ax，
∵直线经过A（2，30），
∴30＝2a，
解得a＝15，
∴当0≤x≤2时，y＝15x；
∴当0≤x≤2时，由（10x+100）﹣15x＝85，
解得x＝3＞2矛盾，故此时没有符合题意的解；
当2＜x≤11时，由|（10x+100）﹣（30x﹣30）|＝85得，
|130﹣20x|＝85，
∴x＝2.25或x＝10.75，
当11＜x≤20时，由300﹣（10x+100）＝85得x＝11.5，
∴x＝2.25或10.75或11.5．
∴故答案为：x＝2.25或10.75或11.5．
【点评】本题考查了一次函数的应用，正确记忆行程问题中路程＝速度×时间的关系变化的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，图象的交点坐标的求法是解题关键．
23．【分析】过点B作BF⊥DE于点F，在Rt△ACD中，tan60°＝，解得AC＝，则BF＝m，在Rt△BEF中，tan37°＝≈0.75，求出EF，根据AB＝CF＝CD+DE﹣EF可得答案．
【解答】解：过点B作BF⊥DE于点F，
由题意得，CD＝5×18＝90（m），DE＝5×72＝360（m），AC＝BF，AB＝CF，∠CDA＝60°，∠BEF＝37°，
在Rt△ACD中，tan60°＝，
解得AC＝，
∴BF＝m，
在Rt△BEF中，tan37°＝≈0.75，
解得EF≈207.6，
经检验，EF≈207.6是原方程的解且符合题意，
∴AB＝CF＝CD+DE﹣EF≈242m．
∴AB的长度约为242m．

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
24．【分析】（1）连接OB，根据切线的性质得到OB⊥AE，根据等腰三角形的性质得到∠OBC＝∠OCB，求得∠OBC＝∠BCE，根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AO＝＝10，过O作OH⊥CF于H，根据矩形的性质得到EH＝OB＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵AB所在的直线是⊙O的切线，
∴OB⊥AE，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠ACB＝∠ECB，
∴∠OBC＝∠BCE，
∴OB∥CE，
∴CE⊥AB；
（2）解：∵OB⊥AE，OB＝6，AB＝8，
∴AO＝＝10，
过O作OH⊥CF于H，
则CH＝FH，∠OBE＝∠OHE＝∠E＝90°，
∴四边形BEHO是矩形，
∴EH＝OB＝6，
∴OH∥AE，
∴∠COH＝∠A，
∵∠ABO＝∠OHC＝90°，
∴△AOB∽△OCH，
∴，
∴＝，
∴CH＝3.6，
∴HF＝CH＝3.6，
∴EF＝6﹣3.6＝2.4．

【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．【分析】（1）用待定系数法求出抛物线l1的表达式，进而求解；
（2）当DE是平行四边形的边时，则平行四边形的面积＝DE×（xE﹣xP）＝4×（2﹣xP）＝36，得到xP＝﹣7，进而求解；当DE是平行四边形的对角线时，则S△PDE＝36＝4×（2﹣xP），求出xP＝﹣7，进而求解．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴x＝2＝﹣，
解得：a＝﹣，
则抛物线l1的解析式为：y＝﹣x2+2x+6，
当x＝2时，y＝﹣x2+2x+6＝8，即点D（2，8）；
∵抛物线l2与抛物线l1关于原点O中心对称，
则抛物线l2的解析式为：y＝x2+2x﹣6；

（2）设点P（x，x2+2x﹣6），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+6，
当x＝2时，y＝﹣x+6＝4，即点D（2，4），
则ED＝8﹣4＝4，
当DE是平行四边形的边时，


则平行四边形的面积＝DE×（xE﹣xP）＝4×（2﹣xP）＝36，
解得：xP＝﹣7，
当x＝﹣7时，y＝x2+2x﹣6＝，
则点P（﹣7，），
则点Q在点P的正上（下）方距离为4个单位处，则点Q（﹣7，）或（﹣7，）；
当DE是平行四边形的对角线时，

则S△PDE＝36＝18＝×DE×（xE﹣xP）＝4×（2﹣xP），
解得：xP＝﹣7，
设点Q的坐标为（s，t），
由中点坐标公式得：2+2＝s﹣7且8+4＝+t，
解得：，
即点Q（11，），
综上，点Q的坐标为：（﹣7，）或（﹣7，）或（11，）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，掌握运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，四边形的面积，平行四边形的性质等知识，其中（2），分类求解是解题的关键．
26．【分析】（1）由三角形面积关系得S△ABD＝8，则S△CBD＝16，再证△ADE∽△CDB，得S△ADE＝S△CDB＝4，即可得出结论；
（2）作△ABC的外接圆O，过圆心O作OD⊥AC于点D，连接OA、OB、OC，当点B、O、D共线，且点O在B、D之间时，△ABC的面积最大，求出OD、BD的长，即可解决问题；
（3）过点A作AG∥CE交EF延长线于点G，作△AEG的外接圆O，过圆心O作ON⊥GE于点N，延长NO交⊙O于点M，当点A与点M重合时，△AGE的面积最大，连接OG、OM、OE、MG、ME，过点F作FH⊥AE于点H，证△AGF∽△CEF，得＝＝，＝，再证S△AEC＝2S△AGE，得当△AGE的面积最大时，△AGE的面积最大，此时，AE＝ME，∠AEF＝∠MEF，然后证△MGE是等边三角形，得ME＝GE＝AE＝300米，∠AEF＝∠MEF＝60°，进而证△AFH∽△ACD，得AD＝600米，CD＝300米，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵S△ABC＝24，AD＝CD，
∴S△ABD＝S△ABC＝×24＝8，
∴S△CBD＝S△ABC﹣S△ABD＝24﹣8＝16，
∵AE∥BC，
∴△ADE∽△CDB，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△ADE＝S△CDB＝×16＝4，
∴S△ABE＝S△ABD+S△ADE＝8+4＝12，
故答案为：12；
（2）如图2，作△ABC的外接圆O，过圆心O作OD⊥AC于点D，连接OA、OB、OC，

当点B、O、D共线，且点O在B、D之间时，△ABC的面积最大，
∵∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵OD⊥AC，OA＝OC，
∴∠AOD＝∠AOC＝×120°＝60°，AD＝AC＝×8＝4，
∴OD＝＝＝，AO＝＝＝，
∴BO＝AO＝，
∴BD＝BO+OD＝+＝4，
∴S△ABC＝AC•BD＝×8×4＝16，
即△ABC面积的最大值为16；
（3）如图3，过点A作AG∥CE交EF延长线于点G，作△AEG的外接圆O，过圆心O作ON⊥GE于点N，延长NO交⊙O于点M，

则当点A与点M重合时，△AGE的面积最大，
连接OG、OM、OE、MG、ME，过点F作FH⊥AE于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴tan∠DCE＝＝，
∴∠DCE＝30°，
∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝90°﹣30°＝60°，
∵AG∥CE，
∴∠GAE＝∠DEC＝60°，
∴∠GOE＝2∠GAD＝2×60°＝120°，
∵OG＝OE，ON⊥EG，
∴∠GON＝∠GOE＝×120°＝60°，GN＝EN＝EG，
∵S△AEF＝S△AEC，
∴AF＝AC，
∴＝，
∵AG∥CE，
∴△AGF∽△CEF，
∴＝＝，＝（）2＝（）2＝，
∵EF＝200米，
∴GF＝EF＝×200＝100（米），
∴EG＝EF+GF＝200+100＝300（米），
∵S△AEF＝S△AEC，＝，
∴S△AGE＝S△AEF+S△AGF＝S△AEC+×S△AEC＝S△AEC，
∴S△AEC＝2S△AGE，
∴当△AGE的面积最大时，△AGE的面积最大，
此时，AE＝ME，∠AEF＝∠MEF，
∵MN⊥EG，GN＝EN，
∴MG＝ME，
又∵∠GME＝∠GAE＝60°，
∴△MGE是等边三角形，
∴ME＝GE＝AE＝300米，∠AEF＝∠MEF＝60°，
在Rt△EHF中，FH＝EF•sin∠HEF＝200•sin60°＝200×＝100（米），
EH＝EF•cos∠HEF＝200•cos60°＝200×＝100（米），
∴AH＝AE﹣EH＝300﹣100＝200（米），
∵FH⊥AD，∠D＝90°，
∴FH∥CD，
∴△AFH∽△ACD，
∴＝＝，
即＝＝，
∴AD＝200×3＝600（米），CD＝100×3＝300（米），
∴S矩形ABCD＝AD•CD＝600×300＝180000（米2），
即当△AEC面积最大时矩形ABCD的面积为180000米2．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外接圆、圆周角定理、锐角三角函数定义、矩形的性质、平行线的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，难度较大，熟练掌握等边三角形的判定与性质和锐角三角函数定义，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
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