江西省上饶市鄱阳县鄱南六校2022-2023学年九年级下学期期中数学试卷

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2022-2023学年江西省上饶市鄱阳县鄱南六校九年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，“长征三号”运载火箭在西昌卫星发射中心点火起飞，随后将“中星号”卫星准确送入高度为千米的预定轨道，发射任务取得圆满成功该卫星主要为跨太平洋重要航线、东太平洋海域及北美西海岸等覆盖区域提供通信服务数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示的几何体的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上一点，已知点，点，连接，则下列说法正确的是(    )

A. 的值可能为
B. 点不可能在反比例函数 的图象上
C. 在反比例函数 的图象的一个分支上，可能存在随的增大而增大
D. 直线与反比例函数的图象必有一个交点

6.  如图，这是由三个全等的小正方形拼接成的图形，若只平移其中一个小正方形，与其他两个小正方形重新拼接无覆盖，有公共顶点，可以拼接成不全等的轴对称图形的方法有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  因式分解：            ．

8.  已知一元二次方程的两实数根分别为，，则的值为______ ．

9.  如图，这是某青年救援队名队员年龄的条形统计图，不小心撕掉一块，则这名队员年龄的中位数为______ 岁

10.  九章算术记载：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？大意是有一道墙，高尺，上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长寸，地上种着瓠，瓠蔓向上长，每天长尺，问瓜蔓，瓠蔓要多少天能相遇？如图，这是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度单位：尺关于生长时间单位：天的函数图象，则两图象交点的坐标为______ 注：尺寸

11.  如图，在矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，交于点，且，则的长为            ．

12.  如图，在中，，，是上的动点，是上的动点点不与点，重合当和都为直角三角形时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
计算：；
解不等式：．

14.  本小题分
课本再现：
如图，是的中位线求证：，．
小明思考了一会，觉得可以通过证∽从而得到该定理的证明．
定理证明：
请你根据小明的思路，结合图，给出该定理的证明过程．
定理运用：
如图，在菱形中，，是上一点，，分别是，的中点，且，则菱形的周长为______ ．

15.  本小题分
某同学在学习完电学知识后，用四个开关，，，，一个电源和一个灯泡设计了如图所示的电路图．
任意闭合，，，中的一个开关，则灯泡发光的概率为        ；
任意闭合，，，中的两个开关，请用画树状图或列表的方法求灯泡发光的概率．

16.  本小题分
如图，在和中，，，与相交于点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图保留作图痕迹
如图，作线段的垂直平分线；
如图，在，上分别取点，，使得．
 

17.  本小题分
如图，直线与双曲线交于点，并分别与轴、轴交于点，．
求和的值；
连接，求的值．

18.  本小题分
图是一款可折叠的带盖收纳篮实物图，当它完全展开时，收纳容量达到最大图是其侧面示意图，金属杆，在点处连接，此时，；当不用时可将它折叠，此时点与点重合，点与点重合．
求证：≌；
求收纳篮的收纳容量达到最大时的高度和收纳篮折叠起来的高度参考数据：，，，结果精确到

19.  本小题分
劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于树立正确的劳动价值观为了培养大家的劳动习惯与劳动能力，某校学生发展中心在暑假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从本校七至九年级各随机抽取名学生，对他们的每日平均家务劳动时长单位：进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述下面是其中的部分信息：

名学生每日平均家务劳动时长频数分布直方图

根据以上信息，回答下列问题：
频数分布表中的组距是______ ， ______ ；
求出频数分布表中的值并补全频数分布直方图；
学生发展中心准备将每日平均家务劳动时长不少于的学生评为“家务小能手”，如果该校七至九年级共有名学生，请估计获奖的学生人数；
该地教育部门倡议本地区中小学生暑假期间每天参加家务劳动时间不少于请针对这次调查获得的数据提出一条合理化建议．

20.  本小题分
年夏天持续的高温让人体验了一把什么叫做真正的火热市民出行纷纷撑伞防晒如图所示某商场抓住这一商机，先用元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空商场又用元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的倍，但每把太阳伞贵了元商场在销售这种太阳伞时，每把定价都是元，每天可卖出把．
求两次共购进这种太阳伞多少把；
商场为了加快资金的回笼速度，打算对第二批太阳伞进行降价销售，经市场调查，如果这种太阳伞每把降价元，则每天可多售出把则太阳伞每把降价多少元时，才能使商场每天的销售额最大？并求出销售额的最大值．

21.  本小题分
如图，内接于，为优弧上的点，弦与相交于点，且，延长到点，使得．
求证：是的切线；
若是的中点，，求的长．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线：与直线：．
求证：抛物线与直线一定会相交．
若，且将抛物线进行平移，使平移后的图象经过原点设平移后的图象对应的函数表达式为，且当时，随的增大而减小，求的取值范围．
抛物线与直线相交于、两点点在点的左侧，若为抛物线的对称轴上的一点，其纵坐标为，且使得抛物线的对称轴平分，求的值．

23.  本小题分
问题发现：
如图，在中，，为的中点，以为直角边，在下方作等腰直角，其中以为直角边，在上方作等腰直角，其中，与交于点求证：．
类比探究：
如图，若将绕点顺时针旋转，则中的结论是否仍然成立？请说明理由；
拓展延伸：
如图，在的条件下，再将等腰直角沿直线向右平移个单位长度，得到，若，试求的值用含，的式子表示

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据负有理数的绝对值是它的相反数，求出的绝对值即可．
此题主要考查了绝对值的含义和求法，解答此题的关键是要明确：当是正有理数时，的绝对值是它本身；当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；当是零时，的绝对值是零．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示是．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故选项符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、和不能合并，故选项不符合题意；
D、和不能合并，故选项不符合题意．
故选：．
根据同底数幂乘法、幂的乘方以及合并同类项的运算法则计算分析即可．
本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方以及合并同类项的运算法则，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则并灵活运用．
 

4.【答案】 

【解析】解：从上往下看，可得图形如下：
．
故选：．
根据俯视图是从上往下看得到的图形解答即可．
此题主要考查了简单组合体的三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：是上一点，
，
，
故A选项不符合题意，
点是反比例函数的图象上一点，
，且，
当点在反比例函数的图象上时，可得，
，
，
，点的坐标为，
点可能在反比例函数 的图象上，
故B选项不符合题意；
当时，，
在反比例函数的图象上的一个分支上，随的增大而增大，
故C选项符合题意；
当时，直线在轴上，
直线与反比例函数的图象没有交点，
故D选项不符合题意；
故选：．
根据反比例函数的图象与性质即可进行判断．
本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，共有四种可能．

故选：．
根据题意，画出图形，可得结论．
本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，学会用图象法解决问题．
 

7.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
提取公因式即可．
本题考查了分解因式，能熟练掌握分解因式的方法是解此题的关键，分解因式的方法有提取公因式法，公式法，十字相乘法等．
 

8.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两实数根分别为，，
，
故答案为：．
根据根与系数的关系求得即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

9.【答案】 

【解析】解：由统计图可知，年龄是岁的人数比大，
所以把名队员年龄从小到大排列，第、个数据均为，
即中位数为．
故答案为：．
根据中位数的定义求解可得．
本题主要考查条形统计图和中位数，根据条形图得出解题所需数据及中位数的定义是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设两图象交点的横坐标是，则：
，
解得，
两图象交点的横坐标是，
，
两图象交点的纵坐标是，
故答案为：
根据题意和图象可知，当它们相遇时，它们生长的长度之和为，然后列出相应的方程，求解即可．
本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
 

11.【答案】 

【解析】解：将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，
，
，
，
设，
，
，
，
即，
解得：，
即的长为，
故答案为：．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质及勾股定理解直角三角形是解题的关键．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：，，
，，
如图，当时，

，
，
，
；
如图，当时，

，
，
，
；
如图，当时，

，
，
；
故答案为：或或．
分三种情况分别求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，含度角的直角三角形和解直角三角形，分三种情况讨论是解题的关键．
 

13.【答案】解：原式；
，
，
，
，
． 

【解析】计算零指数幂、化简根式，最后计算加减即可；
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查实数的运算和解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

14.【答案】 

【解析】证明：是的中位线，
点、分别是、的中点，
，，
，
又，
∽，
，，
，；
解：如图，连接，
、分别是、的中点，
是的中位线，
，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
菱形的周长为，
故答案为：．
根据两边成比例且夹角相等可得∽，则，，即可证明结论；
连接，由三角形中位线定理得，再证明是等边三角形，即可得出答案．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，菱形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
 

15.【答案】解：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中闭合两个开关灯泡发光的有：，，，，，，共种结果，
任意闭合，，，中的两个开关，灯泡发光的概率为． 

【解析】由电路图可知，只有闭合开关时灯泡发光，任意闭合，，，中的一个开关，则灯泡发光的概率为．
画树状图得出所有等可能的结果数和闭合两个开关灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

16.【答案】解：如图，延长、，它们相交于点，
则直线为所作；
如图，的垂直平分线交于点，连接交于点，连接交于点，
则为所作．
 

【解析】先证明≌得到，，所以，延长、，它们相交于点，则，所以垂直平分；
的垂直平分线交于点，连接交于点，连接交于点，先证明，则可判断≌，所以，由于，则可证明，所以．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和线段垂直平分线的性质．
 

17.【答案】解：将代入直线中，得：，即，
将代入双曲线解析式得：，即；
故，；

过作，垂足为，
对于直线，令求出，即，令求出，即，
，即为等腰直角三角形，
，
，
由点，，得：，
在中，． 

【解析】将坐标代入直线方程，求出的值，将坐标代入双曲线解析式中，求出的值即可；
过作，对于直线，分别令与等于，求出与的坐标，得到，且与垂直，得到三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再由与的坐标，求出的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义即可求出的正弦值．
此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，待定系数法确定函数解析式，以及锐角三角函数，利用了数形结合的思想，是一道综合性较强的试题．
 

18.【答案】证明：由题意得：，
，，
在和中，
，
≌；
解：过点作，垂足为，延长交于点，

由题意得：，，
，，
，，
在中，，
，
≌；
，，
收纳篮的收纳容量达到最大时的高度，收纳篮折叠起来的高度，
收纳篮的收纳容量达到最大时的高度约为，收纳篮折叠起来的高度约为． 

【解析】根据题意可得：，从而利用平行线的性质可得，，然后利用证明≌，即可解答；
过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再利用的结论可得，，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质，翻折变换折叠问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：由频数分布表可得组距是，
由频数分布直方图知，
故答案为：，；
，
补全频数分布直方图如下：

人．
答：估计获奖的学生人数为人；
由统计图可知，该地区中小学生暑假期间每天参加家务劳动时间大多数都小于分钟，建议学校多开展劳动教育，养成劳动的好习惯．答案不唯一．
由频数分布表可得组距，由频数分布直方图可得的值；
由各组人数之和等于总人数可得的值，即可补全图形；
用总人数乘以样本中第、组人数所占比例即可；
该地区中小学生暑假期间每天参加家务劳动时间大多数都小于分钟，建议学校多开展劳动教育，养成劳动的好习惯．答案不唯一．
本题主要考查频数分布直方图及样本估计总体，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

20.【答案】解：设商场第一批购进把这种太阳伞，则第二批购进把这种太阳伞，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
两次共购进这种太阳伞把；
设太阳伞每把降价元，商场每天的销售额为元，
根据题意得：，
，
当时，有最大值，最大值为元，
答：太阳伞每把降价元时，才能使商场每天的销售额最大，销售额的最大值元． 

【解析】设商场第一批购进把这种太阳伞，则第二批购进把这种太阳伞，利用单价总价数量，结合第二批的购进单价比第一批贵元，可得出关于的分式方程，解之经检验后可得出的值，再将其代入中，即可求出结论；
设太阳伞每把降价元，商场每天的销售额为元，根据销售额每把伞的销售额销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
本题考查了二次函数和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出函数解析式和分式方程是解题的关键．
 

21.【答案】证明：连接，，与交与点，如图，

，
，
，
∽，
，
，
．
．
，
，
，
．
，
，
，
．
．
为的半径，
是的切线．
解：延长交于点，连接，

是的直径，
，
．
，
．
，
．
．
，
∽．
．
．
是的中点，，
，
．
，
． 

【解析】连接，，与交与点，利用相似三角形的判定与性质得到，利用圆周角定理和垂径定理得到，利用直角三角形的性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
通过延长交于点，连接、，可判断出∽。根据是的中点，，即可求出答案．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆的切线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

22.【答案】证明：联立和并解得：或，
抛物线与直线一定会相交；

解：当时，平移后抛物线的表达式为：，
将点代入上式得：，
解得：，
当时，随的增大而减小，
故，
；

解：如下图，故点、分别向抛物线对称轴作垂线，垂足分别为点、，

，则点
由知，点、，
抛物线的对称轴平分，即，
即，则，
解得：． 

【解析】联立和并解得：或，即可求解；
当时，随的增大而减小，则，进而求解；
证明，得到，则，即可求解．
本题考查二次函数图象的综合运用，涉及到几何变换，直线和抛物线的交点，判别式与方程根的关系，解直角三角形等，关键是掌握平移的性质．
 

23.【答案】证明：由题意可得点、、三点共线，且，，
，
，
≌，
；
解：中的结论仍然成立，理由如下：
如图，连接，，

由题意得，，，，点为的中点，
，
，
≌，
，，
，
又，，
≌，
；
解：由题意得，，，
则，
如图，连接，
由同理得≌，
，，
又，，
∽，
． 

【解析】利用证明≌，可得结论；
连接，，首先利用证明≌，得，，再利用证明≌，得；
连接，由同理得≌，再说明∽，得．
本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转和平移的性质等知识，熟练掌握旋转相似的基本模型是解题的关键．