中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习专题06 实数（教师版）

专题06  实数

知识点1：平方根

1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。

2. 平方根：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±”（a称为被开方数）。

3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

4. 平方根和算术平方根的区别与联系：

区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。

联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。

5.平方表：（自行完成）

知识点2：立方根

1. 立方根：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“”（a称为被开方数）。

2. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

3. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

4. 立方根与平方根的区别：

一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0.

知识点3：实数

1.有理数：任何有限小数或者无限循环小数都是有理数。

2.无理数：无限不循环小数叫做无理数。

3.实数：有理数和无理数统称实数。

4.设a表示实数，则a的相反数是-a 

|a|≥0

当a>0时， |a|=a

当a=0时，|a|=0

当a<0时，|a|=-a

实数部分主要要求学生了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。重点是实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律。

一、题型规律总结

（1）平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

（2）每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

（3）本身为非负数，有非负性，即≥0；有意义的条件是a≥0。

（4）公式：⑴()2=a（a≥0）；⑵=（a取任何数）。

（5）区分()2=a（a≥0），与 =

（6）非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

二、实数分类总结

【例题1】（2020•湖州）数4的算术平方根是（　　）

A．2 B．﹣2 C．±2 D．

【答案】A

【解析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．

∵2的平方为4，

∴4的算术平方根为2．

【例题2】（2020•宁波）实数8的立方根是　    　．

【答案】2

【解析】根据立方根的性质和求法，求出实数8的立方根是多少即可．

实数8的立方根是：

2．

【例题3】（2020•连云港）计算（﹣1）2020+（）﹣1．

【答案】2

【解析】先计算乘方、负整数指数幂、立方根，再计算加减可得．

原式＝1+5﹣4＝2．

《实数》单元精品检测试卷

本套试卷满分120分，答题时间90分钟

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（2020•达州）下列各数中，比3大比4小的无理数是（　　）

A．3.14 B． C． D．

【答案】C

【解析】由于带根号的要开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可求解．

3，4，

A.3.14是有理数，故此选项不合题意；

B.是有理数，故此选项不符合题意；

C.是比3大比4小的无理数，故此选项符合题意；

D.比4大的无理数，故此选项不合题意；

2．（2020•凉山州）下列等式成立的是（　　）

A．±9 B．|2|2 

C．（）﹣1＝﹣2 D．（tan45°﹣1）0＝1

【答案】C

【解析】根据算术平方根的定义、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂的规定逐一判断即可得．

A．9，此选项计算错误；

B．|2|2，此选项错误；

C．（）﹣1＝﹣2，此选项正确；

D．（tan45°﹣1）0无意义，此选项错误；

3．（2020•黔东南州）实数2介于（　　）

A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间

【答案】C

【解析】首先化简2，再估算，由此即可判定选项．

∵2，且67，

∴6＜27．

4．（2020•台州）无理数在（　　）

A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间

【答案】B

【解析】由可以得到答案．

∵34

5．（2020•铜仁市）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b

【答案】D

【解析】根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．根据数轴可得：a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，

则a＜b，﹣a＞b，a＜﹣b，﹣a＞b．

6．（2019湖南常德）下列各数中比3大比4小的无理数是（　　）

A． B． C．3.1 D．

【答案】A．

【解析】由于带根号的要开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可求解．

∵四个选项中是无理数的只有和，而＞4，3＜＜4

∴选项中比3大比4小的无理数只有．

7.估计的值应在（   ）

A. 1和2之间      B.2和3之间      C.3和4之间      D.4和5之间

【答案】B

【解析】

，

而，在4到5之间，所以在2到3之间

【点评】此题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，属于中考当中的简单题.

8．若，则有（   ）

A．0＜m＜1 B．-1＜m＜0 C．-2＜m＜-1 D．-3＜m＜-2

【答案】C

【解析】考察实数运算与估算大小，实数估算大小往年中考较少涉及，但难度并不大。

化简得：m 2 ，因为4 2 1（A+提示：注意负数比较大小不要

弄错不等号方向），所以2 2 1。故选C。

9. 如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数的点最接近的是【    】

A. 点A           B. 点B             C. 点C           D. 点D

【答案】B.

【解析】实数和数轴；估计无理数的大小；作差法的应用.

∵，∴在.

又∵，∴.

∴，即与无理数最接近的整数是.

∴在数轴上示数的点最接近的是点B.

10．估算﹣2的值（　　）

A． 在1到2之间 B． 在2到3之间 C． 在3到4之间 D． 在4到5之间

【答案】C

【解析】 先估计的整数部分，然后即可判断﹣2的近似值．

∵5＜＜6，

∴3＜﹣2＜4．

【点拨】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

二、填空题（每空3分，共30分）

11．（2020•河南）请你写出一个大于1，且小于3的无理数是　　   ．

【答案】（本题答案不唯一）．

【解析】根据算术平方根的性质可以把1和3写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方数介于两者之间的数即可．

∵1，3，

∴写出一个大于1且小于3的无理数是．

12．（2020•南充）计算：|1|+20＝　　   ．

【答案】．

【解析】原式利用绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值．

原式1+1．

13．（2020•自贡）与2最接近的自然数是　　    ．

【答案】2

【解析】根据3.54，可求1.52＜2，依此可得与2最接近的自然数．

∵3.54，

∴1.52＜2，

∴与2最接近的自然数是2．

14．（2020•重庆）计算：（）﹣1　　  ．

【答案】3

【解析】先计算负整数指数幂和算术平方根，再计算加减可得．

原式＝5﹣2＝3

15．（2020•遂宁）下列各数3.1415926，，1.212212221…，，2﹣π，﹣2020，中，无理数的个数有　   　个．

【答案】3

【解析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．在所列实数中，无理数有1.212212221…，2﹣π，这3个。

16．（2020•凤山县一模）计算：1＝　   　．

【答案】2

【解析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．

原式＝3﹣1＝2．

17．（2020•泰州）9的平方根等于　  　．

【答案】±3．

【解析】直接根据平方根的定义进行解答即可．

∵（±3）2＝9，

∴9的平方根是±3．

18．（2020•河南）请写出一个大于1且小于2的无理数　　    ．

【答案】．

【解析】由于所求无理数大于1且小于2，两数平方大于2小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．

大于1且小于2的无理数是，答案不唯一．

19．（2020•遵义）计算：的结果是　　．

【答案】．

【解析】首先化简，然后根据实数的运算法则计算．

2．

20．（2020•苏州）计算：（﹣2）2﹣（π﹣3）0=_______.

【答案】见解析。

【解析】根据实数的计算法则进行计算即可，如何不为0的0次幂为1

【解析】（﹣2）2﹣（π﹣3）0．

4﹣1，

3．

三、解答题（共12小题，每题5分，共60分）

21．（2020•达州）计算：﹣22+（）﹣2+（π）0．

【答案】1

【解析】直接利用零指数幂的性质和立方根的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．

原式＝﹣4+9+1﹣5＝1．

22．（2020•泸州）计算：|﹣5|﹣（π﹣2020）0+2cos60°+（）﹣1．

【答案】8

【解析】直接利用绝对值以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．

原式＝5﹣1+23

＝5﹣1+1+3

＝8．

23．（2020•连云港）计算（﹣1）2020+（）﹣1．

【答案】2

【解析】先计算乘方、负整数指数幂、立方根，再计算加减可得．

原式＝1+5﹣4＝2．

24．（2020•乐山）计算：|﹣2|﹣2cos60°+（π﹣2020）0．

【答案】2

【解析】直接利用绝对值的性质和零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．

原式＝2．

25．（2020•自贡）计算：|﹣2|﹣（π）0+（）﹣1．

【答案】-5

【解析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．

原式＝2﹣1+（﹣6）

＝1+（﹣6）

＝﹣5．

26．（2020•遂宁）计算：2sin30°﹣|1|+（）﹣2﹣（π﹣2020）0．

【答案】见解析。

【解析】先化简二次根式、代入三角函数值、去绝对值符号、计算负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得．

原式＝22（1）+4﹣1

＝211+4﹣1

3．

27．（2020•上海）计算：（）﹣2+|3|．

【答案】0

【解析】利用分数的指数幂的意义，分母有理化，负指数幂的意义，绝对值的性质计算后合并即可．

原式＝（33）2﹣4+3

＝32﹣4+3

＝0．

28．（2020•常德）计算：20+（）﹣1•4tan45°．

【答案】3

【解析】先计算20、、（）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．

原式＝1+3×2﹣4×1

＝1+6﹣4＝3．

29．（2020•衢州）计算：|﹣2|+（）02sin30°．

【答案】1

【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．

原式＝2+1﹣3+2

＝2+1﹣3+1＝1．

30．（2020•台州）计算：|﹣3|．

【答案】3．

【解析】直接利用绝对值的性质和二次根式的性质化简得出答案．

原式＝3+2＝3．

31．（2020•金华）计算：（﹣2020）0tan45°+|﹣3|．

【答案】5

【解析】利用零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算，再算加减即可．原式＝1+2﹣1+3＝5．

32. 是非负实数，并且满足。设，记为m的最小值，y为m的最大值。求xy的值。

【答案】5/77

【解析】由得

解得

由是非负实数，得

。

又，