中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习专题17 勾股定理（教师版）

专题17  勾股定理

知识点1：勾股定理

1.直角三角形的性质（重点记住并理解的知识）：

(1)直角三角形的两个锐角互余；

(2)直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；

(3)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.

2.勾股定理：

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即

3.勾股定理的作用

（1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

（2）用于解决带有平方关系的证明问题；

（3）与勾股定理有关的面积计算；

（4）勾股定理在实际生活中的应用．

知识点2：勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。

2.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

3.勾股定理的逆定理的综合应用

综合运用勾股定理及其逆定理，将不规则图形转化为规则图形是常用的数学方法，在这里，一方面要熟记常用的勾股数；另一方面要注意到：如果一个三角形的三边长已知或具有某些比例关系，那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是否是直角三角形．

4．互逆命题的概念

　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

A.命题：判断一件事情的语句，叫做命题。

命题的定义包括两层含义：

（1）命题必须是个完整的句子；

（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

B.命题的分类（按正确、错误与否分）

真命题（正确的命题）和假命题（错误的命题）。所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

C.公理:人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

D.定理:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

E.证明:判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

证明的一般步骤

（1）根据题意，画出图形。

（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

5.直角三角形的判定方法

（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形。

（2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。

勾股定理是直角三角形具备的重要性质。本章要求学生在理解勾股定理的前提下，学会利用这个定理解决实际问题。可以通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受。

一、学会建构思维导图是理解知识的重要表现

二、理解勾股数

能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数

 (1)由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足a2＋b2＝c2；②都是正整数．两者缺一不可．

(2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2＋b2＝c2(但不一定是勾股数)，以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以0.3 cm,0.4 cm,0.5 cm为边长的三角形是直角三角形．

【例题1】（2020•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．4

【答案】B

【解析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BFCD．

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB10．

又∵CD为中线，

∴CDAB＝5．

∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，

∴BF是△CDE的中位线，则BFCD＝2.5．

【例题2】（2020•苏州）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝　　．

【答案】1

【解析】设AE＝ED＝x，CD＝y，根据勾股定理即可求出答案．

设AE＝ED＝x，CD＝y，

∴BD＝2y，

∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

在Rt△ABD中，

∴AB2＝4x2+4y2，

∴x2+y2＝1，

在Rt△CDE中，

∴EC2＝x2+y2＝1，

∴EC＝1

《勾股定理》单元精品检测试卷

本套试卷满分120分，答题时间90分钟

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（　　）

A．斜边长为5     B．三角形的周长为25

C．斜边长为25     D．三角形的面积为20

【答案】A．

解析：此题较简单关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．利用勾股定理求出后直接选取答案．

两直角边长分别为a=3和b=4，

∴斜边c==5

2.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（　　）

A．42   B．32    C．42或32    D．37或33

【答案】C．

解析：此题应分两种情况说明：

（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，

BD===9，

在Rt△ACD中，

CD===5

∴BC=5+9=14

∴△ABC的周长为：15+13+14=42；

（2）当△ABC为钝角三角形时，

在Rt△ABD中，BD===9，

在Rt△ACD中，CD===5，

∴BC=9﹣5=4．

∴△ABC的周长为：15+13+4=32

∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．

3．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是cm，则另一条直角边的长是（　　）

A．4cm  B． cm   C．6cm  D． cm

【答案】C

【解析】根据含30度角的直角三角形求出AB，根据勾股定理求出BC即可．

∵∠C=90°，∠B=30°，AC=2cm，

∴AB=2AC=4cm，

由勾股定理得：BC==6cm

4．如图，在△ABC中，三边a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c

【答案】D

【解析】先分析出a、b、c三边所在的直角三角形，再根据勾股定理求出三边的长，进行比较即可．

根据勾股定理，得a==；b==；c==．

∵5＜10＜13，∴b＜a＜c．

5．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于（　　）

A．或 B．或 C．    D．

【答案】A

【解析】因为题目没有说明哪个边为腰哪个边为底，所以需要讨论，①当4为腰时，此时等腰三角形的边长为4、4、6；②当6为腰时，此时等腰三角形的边长为4、6、6；然后根据等腰三角形的高垂直平分底边可运用解直角三角形的知识求出高．

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，

边长为4、6的等腰三角形有4、4、6与4、6、6两种情况，

①当是4、4、6时，底边上的高AD===；

②当是4、6、6时，同理求出底边上的高AD是=．

6．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（　　）

A．2倍 B．4倍 C．3倍 D．5倍

【答案】A

【解析】根据勾股定理，可知：把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．

设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c．则a2+b2=c2；

另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股定理知斜边为=2c．

即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．

7．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(    )

A．10　   B．8     C．6或10  　　D．8或10

【答案】C.

【解析】本题考查分类思想和勾股定理，要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出BD和CD，从而可求出BC的长.

在图①中，由勾股定理，得BD＝＝＝8

CD＝＝＝2

∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.

在图②中，由勾股定理，得BD＝＝＝8

CD＝＝＝2

∴BC＝BD―CD＝8―2＝6

8.△ABC中，a、b、c是三角形的三条边，若（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形应是（　　）

A．锐角三角形  B．直角三角形   C．钝角三角形  D．等腰三角形

【答案】B

【解析】先对已知进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．

∵（a+b）2﹣c2=2ab，

∴a2+b2=c2，

∴△ABC是直角三角形．

9.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（    ）

A．8，15，17 B．4，5，6 

C．5，8，10  D．8，39，40

【答案】A

【解析】此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2－a2=（c－a）（c+a）来判断。例如：对于选择支D，∵82≠（40+39）×（40－39），∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。

10.（1）7,24,25；（2）8,15,19；（3）0.6,0.8,1.0；(4)3n,4n,5n(n＞1，且为自然数)．上面各组数中，勾股数有（    ）组．

A. 2        B.3           C.4          D.5

【答案】A

【解析】判断勾股数要看两个条件，一看能否满足a2＋b2＝c2，二看是否都是正整数．这两者缺一不可．

（1）∵72＋242＝252，且7,24,25都是正整数，∴7,24,25是勾股数．

（2）∵82＋152≠192，∴8,15,19不是勾股数．

（3）∵0.6,0.8,1.0不是正整数，∴0.6，0.8，1.0不是勾股数．

（4）∵(3n)2＋(4n)2＝25n2＝(5n)2 (n＞1，且为自然数)，且它们都是正整数，∴3n,4n,5n(n＞1，且为自然数)是勾股数.

二、填空题（每空3分，共15分）

11.在Rt△ABC中，∠C=90°，b=6，c=10，则a=　　．

【答案】8

【解析】由题意知道c为斜边，已知两边根据勾股定理即可求得第三边的长．

∵Rt△ABC中，∠C=90°，b=6，c=10

∴a==8．

12.如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=　　．

【答案】．

【解析】利用三角形中线定义得到BD=2，AE=，且可判定点O为△ABC的重心，所以AO=2OD，OB=2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2=4，OE2+AO2=，等量代换得到BO2+AO2=4， BO2+AO2=，把两式相加得到BO2+AO2=5，然后再利用勾股定理可计算出AB的长．

∵AD、BE为AC，BC边上的中线，

∴BD=BC=2，AE=AC=，点O为△ABC的重心，

∴AO=2OD，OB=2OE，

∵BE⊥AD，

∴BO2+OD2=BD2=4，OE2+AO2=AE2=，

∴BO2+AO2=4， BO2+AO2=，

∴BO2+AO2=，

∴BO2+AO2=5，

∴AB==．

13．直角三角形的两条直角边长为5和12，则斜边上的高是　  　．

【答案】．

【解析】在直角三角形中，已知两直角边长为5，12，根据勾股定理可以计算斜边的长，根据三角形面积的不同方法计算可以求得斜边的高的长度．

在直角三角形中，已知两直角边为5，12，

则斜边长为=13，

根据面积法，直角三角形面积可以根据两直角边求值，也可以根据斜边和斜边上的高求值，

即可求得两直角边的乘积=斜边长×斜边上高线长，

斜边上的高线长==

14．（2020•安顺）如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为　   　．

【答案】4

【解析】延长BD到F，使得DF＝BD，根据等腰三角形的性质与判定，勾股定理即可求出答案．

延长BD到F，使得DF＝BD，

∵CD⊥BF，

∴△BCF是等腰三角形，

∴BC＝CF，

过点C点作CH∥AB，交BF于点H

∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，

∴HF＝HC，

∵BD＝8，AC＝11，

∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝3，

∴HF＝HC＝8﹣3＝5，

在Rt△CDH，

∴由勾股定理可知：CD＝4，

在Rt△BCD中，

∴BC4

15.如图，在△ABC中，D为BC边上的点，已知：AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则DC=_____.

【答案】9

【解析】先用勾股定理的逆定理判定形状，然后用勾股定理求数据．

∵AD2＋BD2＝122＋52＝132＝AB2，

∴由勾股定理的逆定理知△ADB为直角三角形．∴AD⊥BC.

在Rt△ADC中，由勾股定理，得DC2＝AC2－AD2＝152－122＝92.∴DC＝9.

三、解答题（6个小题，共75分）

16.（10分）如图，AD⊥AB，BD⊥BC，AB=3，AD=4，CD=13，求BC的大小？

【答案】12

【解析】AD⊥AB，BD⊥BC，在Rt△ABD和Rt△DBC中，利用勾股定理先求出BD的长，然后求出BC的长．

∵AD⊥AB，

∴△ABD是直角三角形．

根据勾股定理得：AD2+AB2=BD2，即32+42=BD2，

∴BD=5；

同理在△DBC中，∵BD⊥BC，

∴CD2=BD2+BC2，

即：BC2=132﹣52=144，

∴BC=12．

17.（10分）如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再转向北走到4.5km处往东一拐，仅走0.5km就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？

【答案】6.5km

【解析】本题需要把实际问题转化为数学模型，过点B作过点A的直线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理完成．

过点B作BC⊥AD于C，则AC=4﹣2+0.5=2.5km，BC=6km，

在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB===6.5（km）．

所以登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5km．

18.（15分）四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

【答案】见解析。

【解析】本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。连结AC

∵∠B=90°，AB=3，BC=4

∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）

∴AC=5

∵AC2+CD2=169，AD2=169

∴AC2+CD2=AD2

∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36

19.（15分）如果△ABC的三边长分别为 a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数），则△ABC是直角三角形吗？

【答案】见解析。

【解析】

先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.

则a=9,b=40,c=41,c最大。

∵（m2-n2）2+（2mn）2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=（m2+n2）2，

∴a2+b2=c2，

∴能成为直角三角形的三边长．

20.（15分）在△ABC中，AB=13,AC=15,高AD=12,则△ABC的周长为多少.

【答案】见解析。

【解析】对三角形的形状进行分类,不同的形状高线的位置不同:锐角三角形的高线在三角形的内部，钝角三角形的高线在三角形的外部，而BC求解随高线位置的不同而不同.所以必须分类来讨论三角形的形状.

(1)如图甲，如果该三角形是锐角三角形时当BC边上的高线在△ABC内部时，如图所示：

∵AD⊥BC

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴△ADB与△ADC为直角三角形.

在Rt△ADB中,AB=13,AD=12，根据勾股定理得                         

∴BD==5

在Rt△ADC中，AC=13,AD=12,根据勾股定理得    

∴DC==9

∴BC=BD+DC=5+9=14.

△ABC的周长=AB+BC+CA=13+15+14=42

（2）如图乙，如果该三角形是钝角三角形时,

BC边上的高线在△ABC外部时，同理可得：

BC=BD－DC=9－5=4

△     ABC的周长=AB+BC+CA=13+15+4=32.

21.（10分）如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试说明这个三角形是直角三角形．

【答案】见解析。

【解析】

本题需要将已知等式进行变形，配成完全平方式，求出a，b，c的值，然后再说明．

将式子变形，得

a2＋b2＋c2＋338－10a－24b－26c＝0，

即a2－10a＋25＋b2－24b＋144＋c2－26c＋169＝0.

整理，得(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0.

因此a－5＝0，b－12＝0，c－13＝0，

∴a＝5，b＝12，c＝13.

∵a2＋b2＝52＋122＝132＝c2，

这个三角形是直角三角形．