中考数学一轮复习培优训练：《二次函数》 (含答案)

这是一份中考数学一轮复习培优训练：《二次函数》 (含答案)，共40页。试卷主要包含了如图，直线l，如图，设运动时间为t秒等内容，欢迎下载使用。

2020年中考数学一轮复习培优训练：
《二次函数》

1．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．写出点M′的坐标．














2．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．
（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时， FC+BF的值最小．并求出这个最小值．
（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．













3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD、BD、BC、AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；
（3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
















4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点是D，对称轴交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线在第四象限内的一点，过点P作PQ∥y轴，交直线AC于点Q，设点P的横坐标是m．
①求线段PQ的长度n关于m的函数关系式；
②连接AP，CP，求当△ACP面积为时点P的坐标；
（3）若点N是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段BN的长度；若不存在，请说明理由．












5．如图（1）已知矩形AOCD在平面直角坐标系xOy中，∠CAO＝60°，OA＝2，B点的坐标为（2，0），动点M以每秒2个单位长度的速度沿A→C→B运动（M点不与点A、点B重合），设运动时间为t秒．
（1）求经过B、C、D三点的抛物线解析式；
（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为AC中点时，若△PAM≌△PDM，求点P的坐标；
（3）当点M在CB上运动时，如图（2）过点M作ME⊥AD，MF⊥x轴，垂足分别为E、F，设矩形AEMF与△ABC重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
（4）如图（3）点P在（1）中的抛物线上，Q是CA延长线上的一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，求点P的坐标．












6．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）与C（0，﹣3），与x轴负半轴的交点为B．
（1）求抛物线的解析式与点B坐标；
（2）若点D在x轴上，使△ABD是等腰三角形，求所有满足条件的点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，其中AB∥MN，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．




7．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．

（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．
（3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），点B（0，3）．点M（m，0）在线段OA上（与点A，O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结BQ．
（1）求抛物线表达式；
（2）联结OP，当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ的长度；
（3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值．

9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；
（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．

10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长．
②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．
（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．














11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C：连接BC，点P为线段BC上方抛物线上的一动点，连接OP交BC于点Q．
（1）如图1，当值最大时，点E为线段AB上一点，在线段BC上有两动点M，N（M在N上方），且MN＝1，求PM+MN+NE﹣BE的最小值；
（2）如图2，连接AC，将△AOC沿射线CB方向平移，点A，C，O平移后的对应点分别记作A1，C1，O1，当C1B＝O1B时，连接A1B、O1B，将△A1O1B绕点O1沿顺时针方向旋转90°后得△A2O1B1在直线x＝上是否存在点K，使得△A2B1K为等腰三角形？若存在，直接写出点K的坐标；不存在，请说明理由．












12．综合与探究：
如图1，Rt△AOB的直角顶点O在坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，OA＝4，OB＝2．将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥x轴于点D，抛物线y＝ax2+3x+c经过点C，与y轴交于点E（0，2），直线AC与x轴交于点H．
（1）求点C的坐标及抛物线的表达式；
（2）如图2，已知点G是线段AH上的一个动点，过点G作AH的垂线交抛物线于点F（点F在第一象限）．设点G的横坐标为m．
①点G的纵坐标用含m的代数式表示为　 　；
②如图3，当直线FG经过点B时，求点F的坐标，判断四边形ABCF的形状并证明结论；
③在②的前提下，连接FH，点N是坐标平面内的点，若以F，H，N为顶点的三角形与△FHC全等，请直接写出点N的坐标．












13．如图，已知直线y＝kx﹣6与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．




14．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），
①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；
②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标．

15．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣10a交x轴于A、B两点（A左B右），交y轴正半轴于C点，连AC，tan∠CAB＝，
（1）求抛物线解析式；
（2）点P是第三象限内抛物线上一点，过C作x轴平行线交抛物线于D，连DP、BP，分别交y轴于E、F，设P点横坐标为p，线段EF长为m，求出m与自变量p之间的函数关系式；
（3）在（2）条件下，当tan∠DPB＝时，求P点坐标．


参考答案
1．解：（1）直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（0，3），
抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B（0，3），则a+4＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）过点M作MH⊥x轴于点H，

设点M（m，﹣m2+2m+3），
则S＝S梯形BOHM﹣S△OAB﹣S△AMH＝（﹣m2+2m+3+3）×m﹣ [3×1+（m﹣1）（﹣m2+2m+3）]＝﹣m2+m，
∵0，故S有最大值，
当m＝时，S的最大值为：；

（3）当S取得最大值时，此时，m＝，
则y＝﹣m2+2m+3＝，
故点M′的坐标为：（，）．
2．解：（1）由题可列方程组：，解得：
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；

（2）由题，∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；
当△AOC∽△AEB时

＝（）2＝（）2＝，
∵S△AOC＝1，∴S△AEB＝，
∴AB×|yE|＝，AB＝4，则yE＝﹣，
则点E（﹣，﹣）；
由△AOC∽△AEB得：
∴；

（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，

则FG＝CFsin∠FCG＝CF，
∴CF+BF＝GF+BF≥BE，
当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，
由（2）可知∠ABE＝∠ACO
∴BE＝ABcos∠ABE＝ABcos∠ACO＝4×＝，
|y|＝OBtan∠ABE＝OBtan∠ACO＝3×＝，
∴当y＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF有最小值为；

（4）①当点Q为直角顶点时（如图3）：
由（3）易得F（0，﹣），

∵C（0，﹣2）∴H（0，2）
设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．
则Rt△QHM∽Rt△FQM
∴QM2＝HM•FM，
∴12＝（2﹣m）（m+），
解得：m＝，
则点Q（1，）或（1，）
当点H为直角顶点时：
点H（0，2），则点Q（1，2）；
当点F为直角顶点时：
同理可得：点Q（1，﹣）；
综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．
3．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：，
∴抛物线解析式为；

（2）过点D作y轴平行线交BC于点E，
把x＝0代入中，得：y＝2，
∴C点坐标是（0，2），又B（3，0）
∴直线BC的解析式为，
∵
∴

∴＝，
由S△BCD＝2S△AOC得：
∴，
整理得：m2﹣3m+2＝0
解得：m1＝1，m2＝2
∵0＜m＜3
∴m的值为1或2；

（3）存在，理由：
设：点M的坐标为：（m，n），n＝﹣x2+x+2，点N（1，s），点B（3，0）、C（0，2），
①当BC是平行四边形的边时，
当点C向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B，
同样点M（N）向右平移3个单位，向下平移2个单位N（M），
故：m+3＝1，n﹣2＝s或m﹣3＝1，n+2＝s，
解得：m＝﹣2或4，
故点M坐标为：（﹣2，﹣）或（4，﹣）；
②当BC为对角线时，
由中点公式得：m+1＝3，n+3＝2，
解得：m＝2，故点M（2，2）；
综上，M的坐标为：（2，2）或（﹣2，）或（4，）．
4．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）设点P（m，m2﹣2m﹣3），
①将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AC的表达式为：y＝﹣3x﹣3，则点Q（m，﹣3m﹣3），
n＝PQ＝m2﹣2m﹣3+3m+3＝m2+m；
②连接AP交y轴于点H，

同理可得：直线AP的表达式为：y＝（m﹣3）x+m﹣3，
则OH＝3﹣m，则CH＝m，
△ACP面积＝×CH×（xP﹣xA）＝m（m+1）＝，
解得：m＝（不合题意的值已舍去），
故点P（，﹣）；

（3）点C（0，﹣3），点B（3，0），设点M（m，n），n＝m2﹣2m﹣3，点N（1，s），
①当BC是边时，
点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到B，
同样点M（N）向右平移3个单位向上平移3个单位得到N（M），
即m±3＝1，n±3＝s，
解得：m＝﹣2或4，s＝8或2，
故点N（1，2）或（1，8），则BN＝2或2；
②当BC是对角线时，
由中点公式得：3＝m+1，﹣3＝s+n，
解得：s＝0，故点N（1，0），则BN＝2，
综上，BN＝2或2或2．
5．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AO＝2，∠AOC＝90°，且∠CAO＝60°，OA＝2，
∴OC＝2，
∴点C（0，2），点D（﹣2，2），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+c，代B（2，0），C（0，2）
∴
解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+＝，
（2）∵M为AC中点，
∴MA＝MD，
∵△PAM≌△PDM，
∴PA＝PD，
∴点P在AD的垂直平分线上
∴点P纵坐标为，
∴
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣
∴点P（﹣1+，）或（﹣1﹣，）
（3）如图2，

∵AO＝BO＝2，CO⊥AB，
∴AC＝BC＝4，∠CAO＝60°，
∴△ACB是等边三角形，
由题意可得：CM＝2t﹣4，BF＝（8﹣2t）＝4﹣t，MF＝4﹣t，AF＝t．
∵四边形AEMF是矩形，
∴AE＝MF，EM＝AF，EM∥AB，
∴∠CMH＝∠CBA＝60°，∠CHM＝∠CAO＝60°，
∴△CMH是等边三角形，
∴CM＝MH＝2t﹣4，
∵S＝（2t﹣4+t）（4﹣t）＝﹣（t﹣）2+
当t＝时，S最大＝，

（4）∵S△ABP＝4×d＝2d，
又S△BPQ＝2d
∴S△ABP＝S△BPQ，
∴AQ∥BP
设直线AC解析式为y＝kx+b，
把A（﹣2，0），C（0，2）代入其中，得

∴
∴直线AC解析式为：y＝x+2，
设直线BP 的解析式为y＝x+n，把B（2，0）代入其中，得
0＝2+n，
∴b＝﹣2
∴直线BP解析式为：y＝x﹣2，
∴＝x﹣2，
∴x1＝2（舍去），x2＝﹣8，
∴P（﹣8，）．
6．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）与C（0，﹣3）
∴，
解得，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1
∵点B在x轴负方向，
∴点B坐标为（﹣1，0）；
（2）作AM⊥x轴于M，

∴点M（2，0），AM＝3，
∴AM＝BM＝3，
∴∠ABM＝45°
∴AB＝
当BA＝BD时，若点D在B点左侧，此时点D，
若点D在B点右侧，此时点D，
当AD＝BD时，显然点D即为点M，坐标（2，0），
当AB＝AD时，DM＝BM＝3，此时点D（5，0），
综上所述：点D坐标为，，（2，0），（5，0）；

（3）抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
∴对称轴为x＝1，即点N横坐标为1，
∵以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，其中AB∥MN，
∴xB﹣xM＝xA﹣xN或xB﹣xN＝xA﹣xM，
∴﹣1﹣xM＝2﹣1或﹣1﹣1＝2﹣xM，
∴xM＝﹣2或4，
∴M（4，5）或（﹣2，5）．
7．解：（1）c＝3，点B（3，0），
将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+2x+3并解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；

（2）如图1，过点D作DH⊥x轴于点H，交AB于点M，

S△COF：S△CDF＝3：2，则OF：FD＝3：2，
∵DH∥CO，故CO：DM＝3：2，则DM＝CO＝2，
由B、C的坐标得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点D（x，﹣x2+2x+3），则点M（x，﹣x+3），
DM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝2，
解得：x＝1或2，
故点D（1，4）或（2，3）；

（3）①当点P在x轴上方时，
取OG＝OE，连接BG，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM＝∠GBO，
则∠OBP＝2∠OBE，过点G作GH⊥BM，
设MH＝x，则MG＝，
则△OBM中，OB2+OM2＝MB2，
即（+）2+9＝（x+3）2，解得：x＝2，
故MG＝＝，则点M（0，4），
将点B、M的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BM的表达式为：y＝﹣x+4…②，
联立①②并解得：x＝3（舍去）或，
故点P（，）；
②当点P在x轴下方时，
同理可得：点P（﹣，﹣）；
综上，点P的坐标（，）或（﹣，﹣）．
8．解：（1）将A（3，0），B（0，3）分别代入抛物线解析式，得
．
解得．
故该抛物线解析式是：y＝﹣x2+2x+3；

（2）设直线AB的解析式是：y＝kx+t（k≠0），
把A（3，0），B（0，3）分别代入，得
．
解得k＝﹣1，t＝3．
则该直线方程为：y＝﹣x+3．
故设P（m，﹣m+3），Q（m，﹣m2+2m+3）．
则BP＝m，PQ＝﹣m2+3m．
∵OB＝OA＝3，
∴∠BAO＝45°．
∵QM⊥OA，
∴∠PMA＝90°．
∴∠AMP＝45°．
∴∠BPQ＝∠AMP＝∠BAO＝45°．
又∵∠BOP＝∠QBP，
∴△POB∽△QBP．
于是＝，即＝．
解得m1＝，m2＝0（舍去）．
∴PQ＝﹣m2+3m＝；

（3）由两点间的距离公式知，BP2＝2m2，PQ2＝（﹣m2+3m）2，BQ2＝m2+（﹣m2+2m）2．
①若BP＝BQ，2m2＝m2+（﹣m2+2m）2，
解得m1＝1，m2＝3（舍去）．
即m＝1符合题意．
②若BP＝PQ，2m2＝（﹣m2+3m）2，
解得m1＝3﹣，m2＝3+（舍去）．
即m＝3﹣符合题意．
③若PQ＝BQ，（﹣m2+3m）2＝m2+（﹣m2+2m）2，
解得m＝2．
综上所述，m的值为1或3﹣或2．

9．解：（1）由题意得：
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵抛物线与x轴交于B（﹣1，0），C（3，0），
∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，
由翻折得C′B＝CB＝4，
在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H＝＝＝2，
∴点C′的坐标为（1，2），tan，
∴∠C′BH＝60°，
由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，
在Rt△BHD中，DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30°＝，
∴点D的坐标为（1，）．
（3）解：取（2）中的点C′，D，连接CC′，

∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，
∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：
①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．
∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，
∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，
∴∠BCQ＝∠C′CP，
∴△BCQ≌△C′CP（SAS），
∴BQ＝C′P．
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴BQ＝CQ，
∴C′P＝CQ＝CP，
又∵BC′＝BC，
∴BP垂直平分CC′，
由翻折可知BD垂直平分CC′，
∴点D在直线BP上，
设直线BP的函数表达式为y＝kx+b，
则，解得，
∴直线BP的函数表达式为y＝．
②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．

∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，
∴CP＝CQ，BC＝CC′，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB＝60°．
∴∠BCP＝∠C′CQ，
∴△BCP≌△C′CQ（SAS），
∴∠CBP＝∠CC′Q，
∵BC′＝CC′，C′H⊥BC，
∴．
∴∠CBP＝30°，
设BP与y轴相交于点E，
在Rt△BOE中，OE＝OB•tan∠CBP＝OB•tan30°＝1×，
∴点E的坐标为（0，﹣）．
设直线BP的函数表达式为y＝mx+n，
则，解得，
∴直线BP的函数表达式为y＝﹣．
综上所述，直线BP的函数表达式为或．
10．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）如图：

①设P（m，m2﹣4m+3），
将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为yBC＝﹣x+3．
∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，
∴D（m，﹣m+3），
∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．
答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m．
②S△PBC＝S△CPD+S△BPD
＝OB•PD＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+．
∴当m＝时，S有最大值．
当m＝时，m2﹣4m+3＝﹣．
∴P（，﹣）．
答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）．
（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．
根据题意，点E（2，1），
∴EF＝CF＝2，
∴EC＝2，
根据菱形的四条边相等，
∴ME＝EC＝2，
∴M（2，1﹣2）或（2，1+2）
当EM＝EF＝2时，M（2，3）
答：点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．
11．解：（1）在抛物线y＝﹣x2+x+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3）；
令y＝0，得﹣x2+x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴B（4，0）
设直线BC解析式为y＝kx+b，将B（4，0），C（0，3）；代入并解得：k＝，b＝3
∴直线BC解析式为y＝x+3；
过P作PT∥y轴交BC于T，设P（t， ++3），则T（t， +3）
∴PT＝（++3）﹣（+3）＝+3t，OC＝3；
∵PT∥y轴
∴△PTQ∽△ACQ
∴＝＝+t＝
∴当t＝2时，值最大；此时，P（2，），PT＝3；
在Rt△BOC中，BC＝＝5，
∴当NE⊥BC时，NE＝BE，此时，NE﹣BE＝0最小，
∵MN＝1，∴PM+MN的最小值即PM最小值
∴PM⊥BC时，PM最小
过P作PM⊥BC于M，∴∠PMT＝∠BOC＝90°
∵∠PTM＝∠BCO
∴＝
∴PM＝PT＝，
故PM+MN+NE﹣BE的最小值＝；
（2）存在．在△AOC中，∠AOC＝90°，OA＝1，OC＝3，∴AC＝
如图2，由平移得：C1O1＝OC＝3，A1O1＝OA＝1，A1C1＝AC＝，
∵C1B＝O1B，C1O1⊥OB
∴C1G＝C1O1＝
∴BG＝2，OG＝2
∴C1（2，），O1（2，），A1（1，）；
∴C1B＝O1B＝，A1B＝＝；
∵△A1O1B绕点O1沿顺时针方向旋转90°后得△A2O1B1，
∴A2O1＝1，O1B1＝，A2B1＝；
∴A2（2，），B1（，）
∵△A2B1K为等腰三角形，
∴A2K＝B1K或A2B1＝B1K或A2K＝A2B1，
设K（，m）
①当A2K＝B1K时，则： +＝+，解得：m＝﹣，∴K1 （，），
②当A2B1＝B1K时，则： +＝，解得：m1＝﹣2，m2＝﹣5，∴K2（，﹣2），K3（，﹣5），
③当A2K＝A2B1时，则： +＝，解得：m1＝（舍），m2＝，∴K4（，）；
综上所述，点K的坐标为：K1 （，），K2（，﹣2），K3（，﹣5），K4（，）．


12．解：（1）∵OA＝4，OB＝2
∴A（0，4），B（2，0）
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC
∴AB＝BC，∠ABC＝90°
∴∠ABO+∠DBC＝∠ABO+∠OAB＝90°
∴∠DBC＝∠OAB
∵CD⊥x轴于点D
∴∠BDC＝∠AOB＝90°
在△BDC与△AOB中

∴△BDC≌△AOB（AAS）
∴BD＝OA＝4，CD＝OB＝2
∴OD＝OB+BD＝6
∴C（6，2）
∵抛物线y＝ax2+3x+c经过点C、点E（0，2）
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+2

（2）①∵A（0，4）
∴设直线AC解析式为y＝kx+4
把点C代入得：6k+4＝2，解得：k＝﹣
∴直线AC：y＝﹣x+4
∵点G在直线AC上，横坐标为m
∴yG＝﹣m+4
故答案为：﹣m+4．
②∵AB＝BC，BG⊥AC
∴AG＝CG，即G为AC中点
∴G（3，3）
设直线BG解析式为y＝gx+b
∴ 解得：
∴直线BG：y＝3x﹣6
∵直线BG与抛物线交点为F，且点F在第一象限
∴ 解得： （舍去）
∴F（4，6）
判断四边形ABCF是正方形，理由如下：
如图1，过点F作FP⊥y轴于点P，PF延长线与DC延长线交于点Q
∴PF＝4，OP＝DQ＝6，PQ＝OD＝6
∴AP＝OP﹣OA＝6﹣4＝2，FQ＝PQ﹣PF＝6﹣4＝2，CQ＝DQ﹣CD＝6﹣2＝4
∴AF＝，FC＝
∵BC＝AB＝
∴AB＝BC＝CF＝AF
∴四边形ABCF是菱形
∵∠ABC＝90°
∴菱形ABCF是正方形
③∵直线AC：y＝﹣x+4与x轴交于点H
∴﹣x+4＝0，解得：x＝12
∴H（12，0）
∴FC2＝（6﹣4）2+（2﹣6）2＝20，CH2＝（12﹣6）2+（0﹣2）2＝40
设点N坐标为（s，t）
∴FN2＝（s﹣4）2+（t﹣6）2，NH2＝（s﹣12）2+（t﹣0）2
i）如图2，若△FHC≌△FHN，则FN＝FC，NH＝CH
∴ 解得： （即点C）
∴N（，）
ii）如图3，4，若△FHC≌△HFN，则FN＝CH，NH＝FC
∴ 解得：
∴N（，）或（10，4）
综上所述，以F，H，N为顶点的三角形与△FHC全等时，点N坐标为（，）或（，）或（10，4）．




13．解：（1）把A（1，﹣4）代入y＝kx﹣6，得k＝2，
∴y＝2x﹣6，
令y＝0，解得：x＝3，
∴B的坐标是（3，0）．
∵A为顶点，
∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．

（2）存在．∵OB＝OC＝3，OP＝OP，∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，
此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．
设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝（m＝＞0，舍），
∴P（，）．

（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，
∴＝，即＝，∴DQ1＝，
∴OQ1＝，即Q1（0，）；
②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，
∴＝，即＝，
∴OQ2＝，即Q2（0，）；
③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，
则△BOQ3∽△Q3EA，
∴＝，即＝，
∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3，
即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．
综上，Q点坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．

14．解：（1）直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，
当x＝0时，y＝4，x＝﹣4时，y＝0，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
把A，B两点的坐标代入解析式得，，解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，作PF∥BO交AB于点F，
∴△PFD∽△OBD，
∴，
∵OB为定值，
∴当PF取最大值时，有最大值，
设P（x，），其中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），
∴PF＝＝，
∵且对称轴是直线x＝﹣2，
∴当x＝﹣2时，PF有最大值，
此时PF＝2，；
（3）∵点C（2，0），
∴CO＝2，
（i）如图2，点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，
在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，
∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，
∴∠HPC＝∠OCF，
在△CPH和△FCO中，，
∴△CPH≌△FCO（AAS），
∴PH＝CO＝2，
∴点P的纵坐标为2，
∴，
解得，，
∴，，
（ii）如图3，点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，
同理可证得△EPS≌△CPK，
∴PS＝PK，
∴P点的横纵坐标互为相反数，
∴，
解得x＝2（舍去），x＝﹣2，
∴，
如图4，点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，
同理可证得△PEN≌△PCM，
∴PN＝PM，
∴P点的横纵坐标相等，
∴，
解得，（舍去），
∴，
综合以上可得P点坐标为，，．
15．解：（1）∵y＝ax2﹣3ax﹣10a＝a（x﹣5）（x+2），
令y＝0，即a（x﹣5）（x+2）＝0，
解得x＝﹣2，x＝5，
∴A（﹣2，0），B（5，0），
∴OA＝2，OB＝5，
令x＝0，则y＝﹣10a，
∴C（0，﹣10a），
∵tan∠CAB＝＝，
∴OC＝2×tan∠CAB＝5，
∴﹣10a＝5，
∴a＝﹣，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+5；
（2）∵点P是第三象限内抛物线上一点，P点横坐标为p，
∴P（p，﹣p2+p+5），
∵CD∥x轴，
∴D（3，5），
如图3，过P作PK⊥y轴于K，过D作DL⊥PK交PK的延长线于L，过B作BH⊥PK交PK的延长线于H，
∴tan∠DPL＝＝＝﹣p，
tan∠BPH＝＝＝﹣p﹣1，
∴EK＝PK•tan∠DPL＝﹣p•（﹣p）＝p2，FK＝PK•tan∠BPH＝（﹣p﹣1）（﹣p）＝p+p2，
∴EF＝EK﹣FK＝p2﹣p2﹣p＝﹣p，
∴m与自变量p之间的函数关系式为：m＝﹣p；
（3）∵P（p，﹣p2+p+5），
如图3，过F作PD的垂线，垂足为N，交PK于T，
则∠PEK＝∠FTK，
∴tan∠PEK＝tan∠FTK，
∴，
∴TK＝＝＝﹣（p+p2），
∴PT＝﹣p+[﹣（p+p2）]＝﹣p（1+p+p2），
∵sin∠PEK＝sin∠NTP，
∴，∴，
∵tan∠DPB＝＝，
∴＝，即＝，
解得：p＝﹣3，p＝1（舍去），
∴P（﹣3，﹣4）．