中考数学一轮复习培优训练：《三角形》 (含答案)

这是一份中考数学一轮复习培优训练：《三角形》 (含答案)，共33页。试卷主要包含了探究题，综合与探究，阅读下列材料，完成题等内容，欢迎下载使用。

2020年中考数学一轮复习培优训练：
《三角形》

1．点D为△ABC外一点，∠ACB＝90°，AC＝BC．

（1）如图1，∠DCE＝90°，CD＝CE，求证：∠ADC＝∠BEC；
（2）如图2，若∠CDB＝45°，AE∥BD，CE⊥CD，求证：AE＝BD；
（3）如图3，若∠ADC＝15°，CD＝，BD＝n，请直接用含n的式子表示AD的长．





2．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．
（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．

3．如下图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．
（1）在图1中，∠ABC＝60°，AF＝3时，FC＝　 　，BH＝　 　；
（2）在图2中，∠ABC＝45°，AF＝2时，FC＝　 　，BH＝　 　；
（3）从第（1）、（2）中你发现了什么规律？在图3中，∠ABC＝30°，AF＝1时，试猜想BH等于多少？并证明你的猜想．





4．在图1、2中，已知∠ABC＝120°，BD＝2，点E为直线BC上的动点，连接DE，以DE为边向上作等边△DEF，使得点F在∠ABC内部，连接BF．
（1）如图1，当BD＝BE时，∠EBF＝　 　；
（2）如图2，当BD≠BE时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明，若不成立请说明理由；
（3）请直接写出线段BD，BE，BF之间的关系式．



5．在△ABC中，AC＝BC，点E是在AB边上一动点（不与A、B重合），连接CE，点P是直线CE上一个动点．
（1）如图1，∠ACB＝120°，AB＝16，E是AB中点，EM＝2，N是射线CB上一个动点．
试确定点P和点N的位置，使得NP+MP的值最小．
①请你在图2中画出点P和点N的位置，并简述画法：　 　．
②直接写出NP+MP的最小值　 　．
（2）如图3，∠ACB＝90°，连接BP，∠BPC＝75°且BC＝BP求证：PC＝PA．





6．探究题：
如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5cm，AB＝1cm，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．
（1）如图1，若BP＝4cm，则CD＝　 　；
（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；
（3）若△PDC是等腰三角形，则CD＝　 　cm．（请直接写出答案）


7．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A（2，0）、B（0，1）．
（1）在图①中，点C坐标为　 　；
（2）如图②，点D在线段OA上，连接BD，作等腰直角三角形BDE，∠DBE＝90°，连接CE．证明：AD＝CE；
（3）在图②的条件下，若C、D、E三点共线，求OD的长；
（4）在y轴上找一点F，使△ABF面积为2．请直接写出所有满足条件的点F的坐标．



8．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．
（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．

9．阅读下列材料，完成（1）～（3）题：
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AC的中点，经过点A、C作射线BE的垂线，垂足分别为点F、G，连接AG．探究线段DF和AG的关系．某学习小组的同学经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“经过观察和度量，发现∠ABF和∠ACG相等．”小刚：“经过观察和度量，发现有两条线段和AF相等．”
小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段DF和AG的关系．”
……
老师：“若点E不是AC的中点，其他条件不变（如图2），可以求出的值．”
（1）求证：AF＝FG；
（2）探究线段DF和AG的关系，并证明；
（3）直接写出的值．












10．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝　 　度；
（2）如图2，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝　 　度；
（3）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
①如图3，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，请直接写出α，β之样的数量关系，不用证明．












11．在平面直角坐标系中，点A（0，m）和点B（n，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，满足（m﹣n）2+|m+n﹣8|＝0，连接线段AB，点C为AB上一动点．

（1）填空：m＝　 　，n＝　 　；
（2）如图，连接OC并延长至点D，使得DC＝OC，连接AD．若△AOC的面积为2，求点D的坐标；
（3）如图，BC＝OB，∠ABO的平分线交线段AO于点E，交线段OC于点F，连接EC．求证：
①△ACE为等腰直角三角形；
②BF﹣EF＝OC．

12．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（1，0），点D为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC＝2∠BDO，BD与AC交于点F，过D作DM⊥AC于点M．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD．
（2）若点E在BA延长线上，求证：AD平分∠CAE．
（3）在线段MC上取点G，使DG＝AD，求证：AB＝CG．

13．如图（1），在四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，AB⊥AD，点E在CD的延长线上，且∠BAC＝∠DAE．

（1）求证：AC＝AE；
（2）求证：CA平分∠BCD；
（3）如图（2），设AF是△ABC的边BC上的高，试求CE与AF之间的数量关系．




14．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
（1）求证：△CAE≌△BAD；
（2）探究：当点D在BC边上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图2，若∠BAC＝90°，CE与BA的延长线交于点F．求证：EF＝DC．





15．（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：DE＝DF，AE＝AF．
（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN＝∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么AM，AN，AF有怎样的数量关系？并加以证明．
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN＝120°，ND∥AB，四边形AMDN的周长为　 　．（直接写答案）．


参考答案
1．（1）证明：∵∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
又∵AC＝BC，CE＝CD，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC．
（2）如图1，延长DC交AE于F，连BF，

∵AE∥BD，
∴∠EFC＝∠CDB＝45°．
∵EC⊥CD，∠CEF＝∠CFE＝45°，
∴EC＝CF．
∵∠ACE＝∠BCF，AC＝BC，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠BFC＝∠AEC＝45°＝∠FDB，
∴BF＝BD，
∴AE＝BD；
（3）如图2，过点C在CD上方作CE⊥CD，CE＝CD，连BE、DE．

设AD、BE交于点O，由（1）知△ACD≌△BCE（SAS），∠BEC＝∠ADC＝15°，
∴∠DOE＝∠DCE＝90°．
又∵∠CED＝∠CDE＝45°，
∴＝2，
∴∠BED＝30°，
∴OD＝DE＝×2＝1，
∴＝，OB＝＝，
∴AD＝BE＝OB+OE＝+．
2．解：（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：
如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，
∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，
∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，
∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，
∴∠CDN＝∠EDM，
∵D是BC边的中点，
∴DE＝BD＝CD，
在△CDN和△EDM中，
，
∴△CDN≌△EDM（ASA），
∴CN＝EM，
∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；
（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下：
如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴∠NCD＝120°，
∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，
∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，
∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，
∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，
∴∠CDN＝∠EDM，
∵D是BC边的中点，
∴DE＝BD＝CD，
在△CDN和△EDM中，
，
∴△CDN≌△EDM（ASA），
∴CN＝EM，
∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，
∴BM﹣CN＝BD．
3．解：（1）如图①连接CF，

∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴CF⊥AB，
∵BH⊥AB，
∴CF∥BH，
∴∠CBH＝∠BCF，
∵点M是BC的中点，
∴BM＝MC，
在△BMH和△CMF中，
，
∴△BMH≌△CMF（ASA），
∴BH＝CF，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AF＝CF，
∴BH＝AF，
∴AF＝CF＝BH＝3，
故答案为：3，3；
（2）如图②，连接CF，

∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴CF⊥AB，
∵BH⊥AB，
∴CF∥BH，
∴∠CBH＝∠BCF，
∵点M是BC的中点，
∴BM＝MC，
在△BMH和△CMF中，
，
∴△BMH≌△CMF（ASA），
∴BH＝CF，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AF＝CF，
∴BH＝AF，
∴AF＝CF＝BH＝2，
故答案为：2，2；
（3）从第（1）、（2）中发现AF＝CF＝BH；
猜想BH＝1，
理由如下：
如图③，连接CF，

∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴CF⊥AB，
∵BH⊥AB，
∴CF∥BH，
∴∠CBH＝∠BCF，
∵点M是BC的中点，
∴BM＝MC，
在△BMH和△CMF中，
，
∴△BMH≌△CMF（ASA），
∴BH＝CF，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AF＝CF，
∴BH＝AF，
∴AF＝CF＝BH＝1．
4．解：（1）∵△DEF是等边三角形，
∴DF＝EF＝DE，∠DFE＝60°，
∵BD＝BE，DF＝EF，BF＝BF，
∴△DBF≌△EBF（SSS）
∴∠DBF＝∠EBF，且∠DBF+∠EBF＝120°，
∴∠EBF＝60°，
故答案为：60°；
（2）结论仍然成立，
理由如下：如图2，过点F作FG⊥BC，FH⊥AB，

∵∠DFE＝60°，∠ABC＝120°，
∴∠FDB+∠FEB＝180°，且∠FEB+∠FEG＝180°，
∴∠FDB＝∠FEG，且∠FHD＝∠FGE＝90°，FD＝EF，
∴△FDH≌△FEG（AAS）
∴FH＝FG，且FG⊥BC，FH⊥AB，
∴∠ABF＝∠FBE＝60°；
（3）由（2）可知：△FDH≌△FEG，
∴DH＝EG，
∴BD+BE＝BH+DH+BE＝BH+BG，
∵∠ABF＝∠FBE＝60°，FG⊥BC，FH⊥AB，
∴∠BFH＝∠BFG＝30°，
∴BF＝2BH＝2BG，
∴BF＝BH+BG＝BD+BE．
5．解：（1）①如图2所示：作点M关于CE的对称点M'，过点M'作M'N⊥BC，垂足为N，交EC于点P，

∵点M与点M'关于EC对称，
∴MP＝M'P，
∴NP+MP＝NP+M'P，
∴点N，点P，点M'三点共线，且M'N⊥BC时，NP+MP的值最小；
故答案为：作点M关于CE的对称点M'，过点M'作M'N⊥BC，垂足为N，交EC于点P；
②∵∠ACB＝120°，BC＝CA，AB＝16，E是AB中点，
∴∠B＝30°，BE＝AE＝8，且EM＝2，
∴BM'＝10，
∵∠B＝30°，M'N⊥BC，
∴MN'＝5，
∴NP+MP的最小值为5，
故答案为：5；
（2）如图3，在BE上截取EF＝PE，

∵∠BPC＝75°，BC＝BP，
∴∠BCP＝∠BPC＝75°，
∴∠CBP＝30°，
∵∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∴∠ABP＝15°，
∵∠BPC＝∠PBE+∠BEP＝75°，
∴∠BEP＝60°，且EF＝PE，
∴△PEF是等边三角形，
∴PE＝PF＝EF，∠FPE＝60°＝∠PFE，
∵∠PFE＝∠PBE+∠BPF，∠PEF＝∠BAC+∠ACE，
∴∠BPF＝∠BAC＝45°，∠ACE＝∠PBF＝15°，且BP＝BC＝AC，
∴△BPF≌△CAP（ASA）
∴PF＝AE，
∴PE＝AE，∠PEA＝180°﹣∠BEP＝120°，
∴∠EPA＝∠PAE＝30°，
∵∠EPA＝∠PCA+∠PAC＝30°，
∴∠PCA＝∠PAC＝15°，
∴PC＝PA．
6．解：（1）∵BC＝5cm，BP＝4cm，
∴PC＝1cm，
∴AB＝PC，
∵DP⊥AP，
∴∠APD＝90°，
∴∠APB+∠CPD＝90°，
∵∠APB+∠CPD＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠CPD，
在△ABP和△PCD中，
，
∴△ABP≌△PCD，
∴BP＝CD＝4cm；
（2）PB＝PC，
理由：如图2，延长线段AP、DC交于点E，

∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠EDP．
∵DP⊥AP，
∴∠DPA＝∠DPE＝90°，
在△DPA和△DPE中，
，
∴△DPA≌△DPE（ASA），
∴PA＝PE．
∵AB⊥BP，CM⊥CP，
∴∠ABP＝∠ECP＝Rt∠．
在△APB和△EPC中，
，
∴△APB≌△EPC（AAS），
∴PB＝PC；
（3）∵△PDC是等腰三角形，
∴△PCD为等腰直角三角形，即∠DPC＝45°，
又∵DP⊥AP，
∴∠APB＝45°，
∴BP＝AB＝1cm，
∴PC＝BC﹣BP＝4cm，
∴CD＝CP＝4cm，
故答案为：4．
7．（1）解：如图①中，作CH⊥y轴于H．

∵A（2，0），B（0，1），
∴OA＝2，OB＝1，
∵∠CHB＝∠AOB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠OAB＝90°，∠ABO+∠CBH＝90°，
∴∠CBH＝∠OAB，
∵AB＝BC，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴CH＝OB＝1，OA＝BH＝2，
∴OH＝OB+BH＝3，
∴C（1，3）．
故答案为（1，3）．

（2）证明：如图②中，

∵△DBE，△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠DBE＝∠ABC＝90°，BD＝BE，BA＝BC，
∴∠DBA＝∠EBC，
∴△DBA≌△EBC（SAS），
∴EC＝AD．

（3）解：如图②中，设CD交AB于J．
∵△DBA≌△EBC，C，E，D共线，
∴∠BCD＝∠BAD，
∵∠BCD+∠CJB＝90°，∠CJB＝∠AJD，
∴∠BAD+∠AJD＝90°，
∴∠ADJ＝90°，
∴CD⊥OA，
∵C（1，3），
∴OD＝1．

（4）解：设F（0，m）．
由题意： •|m﹣1|•2＝2，
∴m＝3或﹣1，
∴F（0，3）或（0，﹣1）
8．解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．
理由：如图1中，

∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，
∴△MBP≌△ANP（SAS），
∴MB＝AN．
延长MB交AN于点C．
∵△MBP≌△ANP，
∴∠PAN＝∠PMB，
∵∠PAN+∠PNA＝90°，
∴∠PMB+∠PNA＝90°，
∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，
∴BM⊥AN．

（Ⅱ）结论成立
理由：如图2中，

∵△APM，△BPN，都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°
∴∠MPB＝∠APN＝120°，
又∵PM＝PA，PB＝PN，
∴△MPB≌△APN（SAS）
∴MB＝AN．

（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．

∵△APM，△PBN都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN
∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，
∴PC＝PA＝PM＝PB＝PN，
∵∠APC＝60°，
∴△APC为等边三角形，
∴∠PAC＝∠PCA＝60°，
又∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．
9．（1）证明：如图1中，作AH⊥AG交BG于H．

∵∠BAC＝∠HAG＝90°，
∴∠BAH＝∠CAG，
∵BG⊥CG，
∴∠EAB＝∠EGC＝90°，
∵∠AEB＝∠CEG，
∴∠ABH＝∠ACG，
∵AB＝AC，
∴△ABH≌△ACG（ASA），
∴AH＝AG，
∵AF⊥FG，∠HAG＝90°，
∴FH＝FG，
∴AF＝FG＝FH．

（2）解：结论：AG＝2DF，DF⊥AG．
理由：如图2中，连接AD，DG，作DK⊥BG于K．

∵∠BAC＝∠BGC＝90°，BD＝CD，
∴DA＝DG＝BC，
∵DF＝DF，AF＝FG，
∴△DFA≌△DFG（SSS），
∴∠ADF＝∠GDF，
∴DF⊥AG，
∵DK∥CG，BD＝DC，
∴BK＝KG，
∴DK＝CG，
∵AE＝CE，∠AFE＝∠CGE，∠AEF＝∠CEG，
∴△AEF≌△CGE（AAS），
∴AF＝CG＝2DK，
∵△ADF≌△GDF，
∴∠AFD＝∠GFD＝135°，
∵∠AFK＝90°，
∴∠DFK＝45°，
∴DF＝DK
∵AG＝AF，
∴AG＝2DF．

（3）由（2）可知：CG＝2DK，DF＝DK，
∴＝＝
10．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
故答案为：90；
（2）∵∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABD＝∠ACB＝60°，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∵∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°，
故答案为：120．
（3）①α+β＝180°，
理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．
∵∠ACE+∠ACB＝β，
∴∠B+∠ACB＝β，
∵α+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°．
②如图1：当点D在射线BC上时，α+β＝180°，
连接CE，

∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，
即：∠BCE+∠BAC＝180°，
∴α+β＝180°，
如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．
连接BE，

∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，
∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE．
∴α＝β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．
11．解：（1）∵（m﹣n）2+|m+n﹣8|＝0，
∴m＝n＝4，
故答案为：4，4；
（2）如图1，过点C作CH⊥OA，CG⊥OB，

∵点A（0，4）和点B（4，0），
∴OA＝OB＝4，
∴S△ABO＝×4×4＝8，
∵△AOC的面积为2，
∴AO×CH＝×4×CH＝2，S△BOC＝6＝×OB×CG＝×4×CG，
∴CH＝1，CG＝3，
∴点C（1，3），
∵DC＝OC，
∴点D（2，6）
（3）①∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵BE平分∠ABO，
∴∠EBO＝∠EBC，且BE＝BE，OB＝OC，
∴△OBE≌△CBE（SAS）
∴∠EOB＝∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝90°，且∠OAB＝45°，
∴∠CAE＝∠AEC＝45°，
∴AC＝CE，且∠ACE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形；
②如图2，作OM平分∠AOB，交BE于点M，

∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM＝∠BOM＝45°，
∴∠AOM＝∠BOM＝∠OAB＝∠OBA，
∵OB＝OC，BE平分∠ABO，∠ABO＝45°，
∴∠OBE＝22.5°，BE⊥OC，∠COB＝∠OCB＝67.5°，
∴∠AOC＝22.5°＝∠COM，
∴∠AOC＝∠BOM，且OB＝OA，∠OAB＝∠OBM，
∴△ACO≌△OMB（ASA）
∴BM＝OC，
∵∠EFO＝∠MFO＝90°，OF＝OF，∠AOC＝∠COM，
∴△EFO≌△MFO（ASA）
∴EF＝FM，
∴BF﹣EF＝BF﹣FM＝BM＝OC．
12．（1）证明：∵B（﹣1，0），C（1，0），
∴OB＝OC＝1，
∵OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠BDC＝2∠BDO，
∵∠BAC＝2∠BDO，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BAC+∠ABD＝∠AFD＝∠BDC+∠ACD，
∴∠ABD＝∠ACD．

（2）作DN⊥AE，垂足为N．
∵DM⊥AC于点M，
∴∠DNB＝∠DMC＝90°，
在△DNB和△DMC中，
，
∴△DNB≌△DMC（AAS），
∴DN＝DM，
又∵DN⊥AE于N，DM⊥AC于点M，
∴AD平分∠CAE．

（3）∵DG＝AD，
∴∠DAG＝∠DGA，
∵AD平分∠CAE，
∴∠DAG＝∠DAE．
∴∠DGA＝∠DAE．
∵∠DAE+∠DAB＝∠DGA+∠DGC＝180°，
∴∠DAB＝∠DGC，
在△DAB和△DGC中，
，
∴△DAB≌△DGC（AAS）
∴AB＝CG．

13．（1）证明：如图（1），∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，

∴∠ABC＝∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）
∴AC＝AE．

（2）证明：如图（1），∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，∠BCA＝∠E，
∴∠ACD＝∠E，
∴∠BCA＝∠E＝∠ACD，
即CA平分∠BCD；

（3）解：EC＝2AF．证明如下：
如图（2），过点A作AM⊥CE，垂足为M，

∵AM⊥CD，AF⊥CF，∠BCA＝∠ACD，
∴AF＝AM，
又∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°，
∵AC＝AE，∠CAE＝90°，
∴∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵AM⊥CE，
∴∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°，
∴CM＝AM＝ME，
又∵AF＝AM，
∴EC＝2AF．
14．（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，
∴∠CAE＝∠BAD．
∵AD＝AE，AC＝AB，
∴△CAE≌△BAD（SAS）．
（2）解：α+β＝180°，
理由如下：
由△CAE≌△BAD，
∴∠ACE＝∠B．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB．
∴∠ACE＝∠B＝∠ACB．
∴∠BCE＝β＝2∠B，
在△ABC中，∠BAC＝α＝180°﹣2∠B．
∴α+β＝180°．
（3）证明：由（1）知，△CAE≌△BAD，
∴CE＝BD．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
由（2）得，∠BCF+∠BAC＝180°．
∴∠BCF＝90°．
∴∠F＝∠B＝45°，
∴CF＝CB．
∴CF﹣CE＝CB﹣BD．
∴EF＝DC．
15．（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴DE＝DF，AE＝AF；

（2）解：AM+AN＝2AF；
证明如下：由（1）得DE＝DF，
∵∠MDN＝∠EDF，
∴∠MDE＝∠NDF，
在△MDE和△NDF中，
，
∴△MDE≌△NDF（ASA），
∴ME＝NF，
∴AM+AN＝（AE+ME）+（AF﹣NF）＝AE+AF＝2AF；

（3）解：过点D作DE⊥AB于E，

由（2）可知AM+AN＝2AC＝2×6＝12，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于D，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵ND∥AB，
∴∠ADN＝∠BAD＝30°，
∴∠CAD＝∠ADN，
∴AN＝DN，
在Rt△CDN中，DN＝2CN，
∵AC＝6，
∴DN＝AN＝×6＝4，
∵∠BAC＝60°，∠MDN＝120°，
∴∠CDE＝∠MDN，
∴DM＝DN＝4，
∴四边形AMDN的周长＝12+4×2＝20．
故答案为：20．