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数学必修 第二册4.1 空间的几何体精品作业ppt课件
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这是一份数学必修 第二册4.1 空间的几何体精品作业ppt课件，文件包含411第2课时圆柱圆锥圆台球课件pptx、411第2课时圆柱圆锥圆台球作业docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共49页， 欢迎下载使用。
1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义,知道这四种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体.(逻辑推理、直观想象)2.了解柱体、锥体、台体之间的关系.(数学抽象)3.会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征.(直观想象、数学抽象)
【激趣诱思】从生活中的一些物体可以抽象出圆柱、圆锥、圆台,如图所示.观察它们的结构,总结出形成圆柱、圆锥、圆台的方式.
要点笔记 研究将矩形绕其一条直角边所在直线旋转一周所形成的圆柱时一定要明确是绕哪一条直角边所在直线旋转,若不明确,则需要分类讨论.
微思考(1)如图,将矩形ABCD绕其一条边AB所在直线旋转一周,其余三边BC,CD,DA旋转各形成什么图形?(2)如图,在圆柱中任取不重合的两条母线,如AB,CD,它们有何关系?过它们的截面是怎样的图形?连接AC,AC还是母线吗?
提示 (1)边BC,DA旋转各形成一个圆面,边CD旋转形成一个曲面.(2)AB?CD,截面ABCD是矩形,AC不是母线.
微思考(1)如图,在圆锥中任取不重合的两条母线,如AB,AD,它们之间有何关系?过它们的截面是怎样的图形?(2)将Rt△ABC(及其内部)绕其任一条边所在直线旋转一周,所形成的几何体叫作圆锥,这句话对吗?
提示 (1)AB与AD相交于顶点A,且AB=AD.截面ABD是过顶点A的等腰三角形.(2)不对.必须绕直角边所在直线旋转一周,若绕斜边所在直线旋转一周,所形成的几何体是由同底面的两个圆锥组成的.
名师点析 1.圆台的平行于底面的截面是圆面;2.圆台的过轴的截面(轴截面)是全等的等腰梯形;3.圆台的母线l,高h和上、下两底圆的半径r,R组成一个直角梯形,且有l2=h2+(R-r)2;4.圆台的侧面展开图是一个扇环;5.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.
微练习下列说法正确的是( )A.以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B.以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面D.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
答案 A解析 以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为轴,旋转一周所得的旋转体才是圆台,所以选项B不正确;圆锥仅有一个底面,所以选项C不正确;圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长,所以选项D不正确,很明显选项A正确.
微判断(1)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面.( )(2)用平面去截圆柱,会得到一个圆柱和一个圆台.( )(3)用一个平面截圆锥,截得的两部分分别是圆锥和圆台.( )答案 (1)√ (2)× (3)×
名师点析 用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的圆有以下性质:
微思考(1)在球面上任取两点A,B,线段AB一定是球的直径吗?什么时候是直径?(2)类比平面几何中圆的定义,你能给出球的另一种定义吗?提示 (1)不一定.当AB过球心时是直径.(2)空间中到定点的距离等于定长的点的集合叫作球面,球面所围成的几何体叫作球.这个定点叫球心,定长叫作球的半径.
知识点五:简单组合体1.简单组合体的定义有许多物体表示的几何体是由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成,这些几何体称为简单组合体.2.简单组合体的构成的基本形式
微练习如图,第一排中的图形绕虚线旋转一周,能形成第二排中的某个几何体,请把第一、第二排中相应的图形用线连起来.
答案 ①—C ②—B ③—D ④—A
例1(多选题)下列说法正确的是( )A.圆柱的截面都是矩形B.以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥C.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的旋转体是球D.一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台
答案 BC解析 圆柱的截面可能是一个圆,因此A不正确;直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示,因此D不正确;只有B,C正确.
反思感悟 1.判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成.(2)明确旋转轴是哪条直线.2.简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
变式训练1给出下列说法:①用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆;②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形;③圆台的任意两条母线的延长线可能相交,也可能不相交;④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.其中说法正确的是 .(填序号) 答案 ②解析 截面可能是一个三角形,因此①错误;经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形,则②正确;③不正确,圆台的母线延长相交于一点;④不正确,圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体,其他的两截面间的几何体不是旋转体.
例2描述下列几何体的结构特征.分析从简单组合体构成的两种基本形式入手分析.解 图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体;图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.
反思感悟 判断实物是由哪些简单几何体组成的技巧:(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征;(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式;(3)若用分割的方法,则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面).
变式训练2如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的?
解 旋转后的图形如图所示.其中①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O4O3组成的;②是由一个圆锥O5O4,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.
例3如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台O'O的母线长.分析过圆锥的轴作截面,利用三角形相似来解决.
解 设圆台的母线长为l cm,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO作截面,如图.则△SO'A'∽△SOA,SA'=3 cm,
反思感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构造相关几何变量的方程组求解.这种立体问题平面化的方法是解答旋转体中计算问题最常用的方法.
延伸探究 本例中若圆台的上底面半径为1 cm,其他条件不变,试求圆台的高.
解 ∵圆台的上底面半径为1 cm,∴下底面半径为4 cm.过轴SO作截面,如图,过A'作A'H⊥AB于点H,在Rt△A'HA中,
例4(1)平面α截球O所得截面圆的半径为1,球心O到平面α的距离为 ,则此球的半径为 . (2)若球的半径为R,则球的内接正方体的棱长是 .
反思感悟 解决有关球的问题时常用到的性质(1)求解与球有关的问题,首先作出球的过球的大圆的一个截面,利用球心与截面圆的圆心垂直于截面构造直角三角形利用勾股定理求解.(2)正方体(长方体)的外接球的直径等于体对角线的长.
变式训练4用一个平面截半径为5 cm的球,球心到截面的距离为4 cm,求截面圆的半径.
转化与化归思想在求空间几何体表面上两点间最短距离中的应用典例如图,底面半径为1,高为2的圆柱,在点A处有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱侧面一周由点A爬到点B,问蚂蚁爬行的最短距离是多少?分析将圆柱的侧面沿母线剪开→侧面展开图→最短距离→计算求值
方法点睛 求旋转体侧面上两点间的最短距离,一般转化为侧面展开图上两点间的距离进行求解.
1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得几何体是( )A.圆柱B.圆锥C.圆台D.两个共底面的圆锥答案 D
2.下列说法正确的是( )A.将正方形旋转不可能形成圆柱B.以直角梯形的上底为轴旋转所得的旋转体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D.通过圆台侧面上一点,有无穷多条母线答案 C解析 将正方形绕着其任意一边旋转一周可得圆柱,故A错误;B中以直角梯形的垂直于底边的腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台,以上底为轴所得旋转体不是圆台,故B错误;圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面,显然C正确;通过圆台侧面上一点,只有1条母线,故D错误.
3.如图是由哪个平面图形旋转得到的( )答案 A解析 图中几何体由圆锥、圆台组合而成,可由A中图形绕图中旋转轴旋转一周得到.
4.关于圆台,下列说法正确的是 .(填序号) ①两个底面平行且全等;②圆台的母线有无穷多条;③圆台的母线长大于高;④两底面圆心的连线是高.答案 ②③④解析 圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆面,故①不正确,②③④正确.
5.若一个圆锥的母线长为20 cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为 cm. 答案 10解析 如图是圆锥的轴截面,则SA=20 cm,∠ASO=30°,∴AO=10 cm,SO=10 cm.
1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义,知道这四种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体.(逻辑推理、直观想象)2.了解柱体、锥体、台体之间的关系.(数学抽象)3.会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征.(直观想象、数学抽象)
【激趣诱思】从生活中的一些物体可以抽象出圆柱、圆锥、圆台,如图所示.观察它们的结构,总结出形成圆柱、圆锥、圆台的方式.
要点笔记 研究将矩形绕其一条直角边所在直线旋转一周所形成的圆柱时一定要明确是绕哪一条直角边所在直线旋转,若不明确,则需要分类讨论.
微思考(1)如图,将矩形ABCD绕其一条边AB所在直线旋转一周,其余三边BC,CD,DA旋转各形成什么图形?(2)如图,在圆柱中任取不重合的两条母线,如AB,CD,它们有何关系?过它们的截面是怎样的图形?连接AC,AC还是母线吗?
提示 (1)边BC,DA旋转各形成一个圆面,边CD旋转形成一个曲面.(2)AB?CD,截面ABCD是矩形,AC不是母线.
微思考(1)如图,在圆锥中任取不重合的两条母线,如AB,AD,它们之间有何关系?过它们的截面是怎样的图形?(2)将Rt△ABC(及其内部)绕其任一条边所在直线旋转一周,所形成的几何体叫作圆锥,这句话对吗?
提示 (1)AB与AD相交于顶点A,且AB=AD.截面ABD是过顶点A的等腰三角形.(2)不对.必须绕直角边所在直线旋转一周,若绕斜边所在直线旋转一周,所形成的几何体是由同底面的两个圆锥组成的.
名师点析 1.圆台的平行于底面的截面是圆面;2.圆台的过轴的截面(轴截面)是全等的等腰梯形;3.圆台的母线l,高h和上、下两底圆的半径r,R组成一个直角梯形,且有l2=h2+(R-r)2;4.圆台的侧面展开图是一个扇环;5.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.
微练习下列说法正确的是( )A.以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B.以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面D.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
答案 A解析 以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为轴,旋转一周所得的旋转体才是圆台,所以选项B不正确;圆锥仅有一个底面,所以选项C不正确;圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长,所以选项D不正确,很明显选项A正确.
微判断(1)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面.( )(2)用平面去截圆柱,会得到一个圆柱和一个圆台.( )(3)用一个平面截圆锥,截得的两部分分别是圆锥和圆台.( )答案 (1)√ (2)× (3)×
名师点析 用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的圆有以下性质:
微思考(1)在球面上任取两点A,B,线段AB一定是球的直径吗?什么时候是直径?(2)类比平面几何中圆的定义,你能给出球的另一种定义吗?提示 (1)不一定.当AB过球心时是直径.(2)空间中到定点的距离等于定长的点的集合叫作球面,球面所围成的几何体叫作球.这个定点叫球心,定长叫作球的半径.
知识点五:简单组合体1.简单组合体的定义有许多物体表示的几何体是由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成,这些几何体称为简单组合体.2.简单组合体的构成的基本形式
微练习如图,第一排中的图形绕虚线旋转一周,能形成第二排中的某个几何体,请把第一、第二排中相应的图形用线连起来.
答案 ①—C ②—B ③—D ④—A
例1(多选题)下列说法正确的是( )A.圆柱的截面都是矩形B.以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥C.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的旋转体是球D.一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台
答案 BC解析 圆柱的截面可能是一个圆,因此A不正确;直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示,因此D不正确;只有B,C正确.
反思感悟 1.判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成.(2)明确旋转轴是哪条直线.2.简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
变式训练1给出下列说法:①用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆;②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形;③圆台的任意两条母线的延长线可能相交,也可能不相交;④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.其中说法正确的是 .(填序号) 答案 ②解析 截面可能是一个三角形,因此①错误;经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形,则②正确;③不正确,圆台的母线延长相交于一点;④不正确,圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体,其他的两截面间的几何体不是旋转体.
例2描述下列几何体的结构特征.分析从简单组合体构成的两种基本形式入手分析.解 图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体;图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.
反思感悟 判断实物是由哪些简单几何体组成的技巧:(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征;(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式;(3)若用分割的方法,则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面).
变式训练2如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的?
解 旋转后的图形如图所示.其中①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O4O3组成的;②是由一个圆锥O5O4,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.
例3如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台O'O的母线长.分析过圆锥的轴作截面,利用三角形相似来解决.
解 设圆台的母线长为l cm,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO作截面,如图.则△SO'A'∽△SOA,SA'=3 cm,
反思感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构造相关几何变量的方程组求解.这种立体问题平面化的方法是解答旋转体中计算问题最常用的方法.
延伸探究 本例中若圆台的上底面半径为1 cm,其他条件不变,试求圆台的高.
解 ∵圆台的上底面半径为1 cm,∴下底面半径为4 cm.过轴SO作截面,如图,过A'作A'H⊥AB于点H,在Rt△A'HA中,
例4(1)平面α截球O所得截面圆的半径为1,球心O到平面α的距离为 ,则此球的半径为 . (2)若球的半径为R,则球的内接正方体的棱长是 .
反思感悟 解决有关球的问题时常用到的性质(1)求解与球有关的问题,首先作出球的过球的大圆的一个截面,利用球心与截面圆的圆心垂直于截面构造直角三角形利用勾股定理求解.(2)正方体(长方体)的外接球的直径等于体对角线的长.
变式训练4用一个平面截半径为5 cm的球,球心到截面的距离为4 cm,求截面圆的半径.
转化与化归思想在求空间几何体表面上两点间最短距离中的应用典例如图,底面半径为1,高为2的圆柱,在点A处有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱侧面一周由点A爬到点B,问蚂蚁爬行的最短距离是多少?分析将圆柱的侧面沿母线剪开→侧面展开图→最短距离→计算求值
方法点睛 求旋转体侧面上两点间的最短距离,一般转化为侧面展开图上两点间的距离进行求解.
1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得几何体是( )A.圆柱B.圆锥C.圆台D.两个共底面的圆锥答案 D
2.下列说法正确的是( )A.将正方形旋转不可能形成圆柱B.以直角梯形的上底为轴旋转所得的旋转体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D.通过圆台侧面上一点,有无穷多条母线答案 C解析 将正方形绕着其任意一边旋转一周可得圆柱,故A错误;B中以直角梯形的垂直于底边的腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台,以上底为轴所得旋转体不是圆台,故B错误;圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面,显然C正确;通过圆台侧面上一点,只有1条母线,故D错误.
3.如图是由哪个平面图形旋转得到的( )答案 A解析 图中几何体由圆锥、圆台组合而成,可由A中图形绕图中旋转轴旋转一周得到.
4.关于圆台,下列说法正确的是 .(填序号) ①两个底面平行且全等;②圆台的母线有无穷多条;③圆台的母线长大于高;④两底面圆心的连线是高.答案 ②③④解析 圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆面,故①不正确,②③④正确.
5.若一个圆锥的母线长为20 cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为 cm. 答案 10解析 如图是圆锥的轴截面,则SA=20 cm,∠ASO=30°,∴AO=10 cm,SO=10 cm.
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