高中数学湘教版（2019）必修 第二册4.2 平面一等奖作业ppt课件

第2课时　直线与平面垂直

必备知识基础练

1.已知直线a⊥平面α,直线b∥平面α,则a与b的关系为(　　)

A.a∥b B.a⊥b

C.a,b相交不垂直 D.a,b异面不垂直

答案B

解析由b∥α,过b作平面β,使α∩β=c(图略),则b∥c,且c⊂α.∵a⊥α,∴a⊥c.∴a⊥b.

2.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角等于(　　)

A.40° B.50° C.90° D.150°

答案B

3.下列四个说法正确的是(　　)

A.过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直

B.已知两条不重合的直线m,n和平面α,若m⊥n,m⊥α,则n∥α

C.a,b,l表示三条不同的直线,α表示平面,若a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b,则l⊥α

D.若直线a不平行于平面α,则直线a垂直于平面α

答案A

4.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是(　　)

A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直

C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交

答案C

解析取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,

故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.

又因为BD,AC异面,所以AC,BD垂直但不相交.故选C.

5.(2020甘肃天水一中高一期末)在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,BC1∩B1C=D,则AD与平面ABC所成角的大小是              (　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

答案A

解析取BC的中点E,连接AE,DE,则DE⊥底面ABC,∴∠DAE为AD与平面ABC所成的角.设三棱柱的棱长为1,则AE=,DE=,

∴tan∠DAE=,∴∠DAE=30°.故选A.

6.线段AB在平面α的同侧,A,B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的距离为　. 

答案4

解析如图,设M为AB的中点,分别过A,M,B向平面α作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,则由线面垂直的性质定理可知,AA1∥MM1∥BB1,

四边形AA1B1B为直角梯形.

∵AA1=3,BB1=5,MM1为其中位线,

∴MM1=4.

7.如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.求证:AE⊥BE.

证明∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,

∴BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE,

∴AE⊥BC.

∵BF⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,

∴AE⊥BF.

∵BF⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,BF∩BC=B,∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE,

∴AE⊥BE.

关键能力提升练

8.(2020甘肃甘谷一中高一月考)如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,PA与平面ABC垂直,则四面体P-ABC的四个面中,直角三角形有(　　)

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

答案A

解析∵AB是圆O的直径,∴∠ACB=90°,即BC⊥AC,三角形ABC是直角三角形.

又PA⊥圆O所在的平面,∴三角形PAC和三角形PAB是直角三角形,BC⊥PA.又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,∴三角形PBC是直角三角形.

综上,直角三角形有4个.故选A.

9.将图①中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体A-BCD(如图②),则在四面体A-BCD中,AD与BC的位置关系是(　　)

A.相交且垂直 B.相交但不垂直

C.异面且垂直 D.异面但不垂直

答案C

解析在图①中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是斜边上的高,则AD⊥BC,翻折后如图②,AD与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条线段BD,CD,这两条线段均与AD垂直,即AD⊥BD,AD⊥CD,故AD⊥平面BCD.所以AD⊥BC.故选C.

10.(多选题)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是(　　)

答案BD

解析对于A,由AB与CE所成角为45°,

可得直线AB与平面CDE不垂直;

对于B,由AB⊥CE,AB⊥ED,CE∩ED=E,

可得AB⊥平面CDE;

对于C,由AB与CE所成角为60°,

可得直线AB与平面CDE不垂直;

对于D,连接AC,由ED⊥平面ABC,

可得ED⊥AB,同理可得EC⊥AB,

又ED∩EC=E,所以AB⊥平面CDE.

11.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别为棱A1D1,A1A,A1B1的中点,下列结论正确的是(　　)

A.EF⊥B1C

B.BC1∥平面EFG

C.A1C⊥平面EFG

D.异面直线FG,B1C所成角的大小为

答案ABC

解析如图,连接AD1,则EF∥AD1∥BC1,

又BC1⊥B1C,

∴EF⊥B1C,故A正确;

∵BC1∥EF,EF⊂平面EFG,BC1⊄平面EFG,

∴BC1∥平面EFG,故B正确;A1C⊥EF,A1C⊥EG,EF∩EG=E,∴A1C⊥平面EFG,故C正确;

∵FG∥AB1,∴∠AB1C为异面直线FG,B1C所成角,连接AC,可得△AB1C为等边三角形,则∠AB1C=,即异面直线FG,B1C所成角的大小为,故D错误.故选ABC.

12.在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件　　　　　时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可) 

答案VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)

解析只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.

13.(2020甘肃民勤一中高一期末)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D与AD1交于点O.

(1)求证:AD1⊥平面A1CD;

(2)求直线AC与平面A1CD所成角的大小.

(1)证明因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以DC⊥平面ADD1A1.又因为AD1⊂平面ADD1A1,所以AD1⊥DC.因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D.又因为DC⊂平面A1CD,A1D⊂平面A1CD,DC∩A1D=D,

所以AD1⊥平面A1CD.

(2)解连接OC,由(1)可知AD1⊥平面A1CD,所以AC在平面A1CD上的投影是OC,所以∠ACO是直线AC与平面A1CD所成角.

设正方体的棱长为2,在直角三角形ACO中,AC=2,AO=,所以sin∠ACO=,所以∠ACO=30°,所以直线AC与平面A1CD所成的角是30°.

学科素养创新练

14.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°.G为线段PC上的点.

(1)证明:BD⊥平面APC;

(2)若G为PC的中点,求DG与平面APC所成角的正切值;

(3)若G满足PC⊥平面BGD,求的值.

(1)证明设点O为AC,BD的交点.由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分线段AC.所以O为AC的中点,BD⊥AC.又因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.

又PA∩AC=A,所以BD⊥平面APC.

(2)解连接OG.由(1)可知OD⊥平面APC,则DG在平面APC内的投影为OG,所以∠OGD是DG与平面APC所成的角.

由题意得OG=PA=.

在△ABC中,因为AB=BC,∠ABC=120°,AO=CO,所以∠ABO=∠ABC=60°,

所以AO=OC=AB·sin 60°=.

在Rt△OCD中,OD==2.

在Rt△OGD中,tan∠OGD=.所以DG与平面APC所成角的正切值为.

(3)解因为PC⊥平面BGD,OG⊂平面BGD,

所以PC⊥OG.

在Rt△PAC中,PC=.所以GC=.

从而PG=,

所以.