湘教版（2019）必修 第二册4.2 平面优质作业课件ppt

4.4　平面与平面的位置关系

4.4.1　平面与平面平行

必备知识基础练

1.(多选题)(2020安徽安庆检测)设a,b是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是(　　)

A.存在一条直线a,a∥α,a∥β

B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β

C.存在一个平面γ,满足α∥γ,β∥γ

D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α

答案CD

解析对于选项A,若存在一条直线a,a∥α,a∥β,则α∥β或α与β相交.若α∥β,则存在一条直线a,使得a∥α,a∥β.所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件而不是充分条件.

对于选项B,存在一条直线a,a⊂α,a∥β,则α∥β或α与β相交.若α∥β,则存在一条直线a,a⊂α,a∥β.所以选项B的内容是α∥β的一个必要条件而不是充分条件.

对于选项C,平行于同一个平面的两个平面显然是平行的,故选项C的内容是α∥β的一个充分条件.

对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面γ中,成为相交直线,由面面平行的判定定理可知γ∥α,γ∥β,则α∥β,所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.

2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则必有(　　)

A.BD1∥GH

B.BD∥EF

C.平面EFGH∥平面ABCD

D.平面EFGH∥平面A1BCD1

答案D

解析易知GH∥D1C,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD1,GH不可能互相平行,故选项A错误;易知EF∥A1B,与选项A同理可判断选项B错误;因为EF∥A1B,而直线A1B与平面ABCD相交,故直线EF与平面ABCD也相交,所以平面EFGH与平面ABCD相交,故选项C错误;因为EF∥A1B,EH∥A1D1,所以有EF∥平面A1BCD1,EH∥平面A1BCD1,而EF∩EH=E,因此平面EFGH∥平面A1BCD1.故选项D错误.

3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是(　　)

A.矩形 B.菱形 

C.平行四边形 D.正方形

答案C

解析如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE,与平面CDD1C1交于直线D1F.由面面平行的性质定理,得BE∥D1F.同理BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形.

4.

如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则=　　　　　. 

答案

解析由平面α∥平面ABC,得AB∥A'B',BC∥B'C',AC∥A'C',则∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',从而△ABC∽△A'B'C',△PAB∽△PA'B',

.

5.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AD∥BC,平面A1DCE与B1B交于点E.求证:EC∥A1D.

证明因为BE∥AA1,AA1⊂平面AA1D,BE⊄平面AA1D,所以BE∥平面AA1D.

因为BC∥AD,AD⊂平面AA1D,BC⊄平面AA1D,所以BC∥平面AA1D.

因为BE∩BC=B,BE⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,

所以平面BCE∥平面AA1D.

又因为平面A1DCE∩平面BCE=EC,平面A1DCE∩平面AA1D=A1D,所以EC∥A1D.

关键能力提升练

6.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零,则α与β的位置关系为(　　)

A.平行 B.相交

C.平行或相交 D.重合

答案C

解析若三点分布于平面β的同侧,则α与β平行,若三点分布于平面β的两侧,则α与β相交.

7.若平面α∥平面β,直线a∥α,点B∈β,则在平面β内过点B的所有直线中(　　)

A.不一定存在与a平行的直线

B.只有两条与a平行的直线

C.存在无数条与a平行的直线

D.存在唯一一条与a平行的直线

答案A

解析当直线a⊂β,B∈a时满足条件,此时过点B不存在与a平行的直线,故选A.

8.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是(　　)

A.平面

B.直线

C.线段,但只含1个端点

D.圆

答案C

解析∵平面BDM∥平面A1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1,∴DM∥A1C1,过D作DE1∥A1C1交B1C1于E1(图略),

则点M的轨迹是线段DE1(不包括点D).

9.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A,B分别在α,β内运动时,那么所有的动点C (　　)

A.不共面

B.当且仅当AB⊥α时才共面

C.当且仅当A,B在两条给定的平行直线上移动时才共面

D.共面

答案D

解析根据平行平面的性质,不论A,B如何运动,动点C均在过点C且与α,β都平行的平面上.

10.已知平面α和β,在平面α内任取一条直线a,在β内总存在直线b∥a,则α与β的位置关系是　　　　　. 

答案平行

解析若α∩β=l,则在平面α内,与l相交的直线a,设a∩l=A,对于β内的任意直线b,若b过点A,则a与b相交,若b不过点A,则a与b异面,即β内不存在直线b∥a,矛盾.故α∥β.

11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A1D1的中点,过C1,B,M作正方体的截面,则这个截面的形状是　　　　　. 

答案等腰梯形(或梯形,答案不唯一)

解析取AA1的中点N,连接MN,NB,MC1,BC1,图略,易证MN∥BC1,所以平面MNBC1就是过正方体C1,B,M三点的截面.

因为MN=BC1,MC1==NB,

所以截面为等腰梯形(或梯形).

12.已知M,N分别是底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD的棱AB,PC的中点,平面CMN与平面PAD交于PE,求证:

(1)MN∥平面PAD;

(2)MN∥PE.

证明(1)如图,取DC中点Q,连接MQ,NQ.

∵NQ是△PDC的中位线,∴NQ∥PD.

∵NQ⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,

∴NQ∥平面PAD.

∵M是AB中点,四边形ABCD是平行四边形,∴MQ∥AD.

又MQ⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,

从而MQ∥平面PAD.

∵MQ∩NQ=Q,MQ,NQ⊂平面MNQ,

∴平面MNQ∥平面PAD.

∵MN⊂平面MNQ,∴MN∥平面PAD.

(2)∵平面MNQ∥平面PAD,

平面PEC∩平面MNQ=MN,

平面PEC∩平面PAD=PE,

∴MN∥PE.

学科素养创新练

13.

如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点,

(1)在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?请证明你的结论.

(2)在△ABC内是否能找到一点E,使DE∥平面AB1C1?点E只有一个吗?若只有一个,确定点E的位置;若不是,试写出点E的集合.

解(1)当E为棱AB的中点时,DE∥平面AB1C1.

证明如下,

如图所示,取BB1的中点F,连接EF,FD,DE,AC1.

因为D,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点,

所以EF∥AB1.因为AB1⊂平面AB1C1,EF⊄平面AB1C1,

所以EF∥平面AB1C1.

同理可证FD∥平面AB1C1.

因为EF∩FD=F,EF⊂平面EFD,FD⊂平面EFD,所以平面EFD∥平面AB1C1.

因为DE⊂平面EFD,

所以DE∥平面AB1C1.

(2)能找到.点E有无数个,点E的集合是线段PQ.如图,取棱AB的中点P,棱AC的中点Q.连接PD,PQ,QD.在△ABC中,P,Q分别是AB,AC的中点,

所以PQ∥BC.

在▱CBB1C1中,因为D,F分别为CC1,BB1的中点,所以DF∥B1C1,

所以PQ∥DF,故四边形PQDF是一个梯形.

又因为DF∥B1C1,DF⊄平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1,所以DF∥平面AB1C1.

同理,PF∥平面AB1C1.

又因为PF∩DF=F,PF⊂平面PQDF,DF⊂平面PQDF,

所以平面PQDF∥平面AB1C1.故点E的集合是线段PQ.