专题05+解三角形范围与最值问题-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

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专题05 解三角形范围与最值问题
【考点预测】
1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：
（1）利用基本不等式求范围或最值；
（2）利用三角函数求范围或最值；
（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；
（4）根据三角形解的个数求范围或最值；
（5）利用二次函数求范围或最值．
要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．
2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：
（1）求角的最值；
（2）求边和周长的最值及范围；
（3）求面积的最值和范围．
【典型例题】
例1．（2023春·辽宁·高一校联考期末）在中，角所对的边分别为，且的面积.若，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
因为，
所以，
由余弦定理，即，
当且仅当时，等号成立，
所以.
故选：D
例2．（2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则的最大值为（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，，所以，又，整理得：，
又，得到，因为角A、B、C为锐角，故、、均为正数，
故整理得，当且仅当时等号成立，
此时，
当取最小值时，取最大值，取最小值，故的最大值为，
即当时，的最大值为．
故选：C．
例3．（2023·高一单元测试）在中，若，，则的周长的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可得，
两边同乘得，
两边同加得，
即，又，
则，设角对应的边分别为，
由正弦定理得其中，
不妨设，易得当时，取得最大值，此时周长最大值为.
故选：A.
例4．（2023春·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）已知锐角中，，，则的范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正弦定理得即，
所以，即，
又是锐角三角形，
所以，即，所以，
所以，
故选：D.
例5．（2023春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）在中，角所对的边分别为，若，则角的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
整理可得：，
由余弦定理可得：，
由为三角形内角，即，可得：.
故选：C．
例6．（2023春·浙江·高一期中）已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，故三角形外接圆直径为，
故



，
因为三角形为锐角三角形，故，故，
故，故，
故，
故选：D
例7．（多选题）（2023春·吉林长春·高一校考期中）已知的内角的对边分别为，若，且，延长至.则下面结论正确的是（    ）
A．
B．
C．若，则周长的最大值为
D．若，则面积的最大值为
【答案】ACD
【解析】，
，解得：，
由得：，
，
，解得：（舍）或，
，，A正确；
，，，即，
为等边三角形，，B错误；

，，
在中，由余弦定理得：，
（当且仅当时取等号），
解得：，周长的最大值为，C正确；
设，则，
，
则当时，取得最大值，D正确.
故选：ACD.
例8．（多选题）（2023春·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（    ）
A． B．向量，夹角的最小值为
C．内角A的最大值为 D．面积的最小值为
【答案】AC
【解析】，，故A对；
，，当且仅当时取等，，，即，故B错，C对；
，故D错.
故选：AC
例9．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）在锐角三角形中，内角所对的边满足，若存在最大值，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由余弦定理可得，则，
由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，则，所以，
又因为函数在内单调递增，所以，可得，
由于为锐角三角形，则，即，解得，
则
，
因为，所以，则，
因为存在最大值，则，解得．
故答案为：．
例10．（2023春·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考阶段练习）在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为___________
【答案】
【解析】由余弦定理，，
∵，∴.
由余弦定理及基本不等式，，
∴，当且仅当时取等号，
∴当且仅当时，的面积的最大值为.
故答案为：.
例11．（2023春·天津河东·高一天津市第四十五中学校考阶段练习）如图，在中，，为中点，为上一点，且满足，的面积为，

(1)求的值；
(2)求的最小值.
【解析】（1）在中，D为中点，则三点共线，
设,
故 ，
又 ，故，
解得，即.
（2）由（1）知，
所以

，当且仅当时取等号，
又，则,
即，
故，
即的最小值为，当且仅当时取等号.
例12．（2023春·云南·高一校联考阶段练习）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)若，求的值；
(2)求的最小值．
【解析】（1）因为，
所以，
所以，
则；
（2）由，
得，
因为，所以，
所以，当且仅当时，取等号，
，
，
令，则，
则，
因为，所以，
所以的最小值为．
例13．（2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）已知向量，函数.
(1)求函数的最大值及相应自变量的取值；
(2)在中，角的对边分别为，若，求的取值范围.
【解析】（1）由题知，

，
所以当，
即时，最大，且最大值为；
（2）由(1)知，，
则，
解得或，
所以中，，又，
则，
整理得，
则，
当且仅当时，等号成立，
整理可得，
又在中，所以，
即的取值范围为.
例14．（2023春·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在锐角中，分别是角所对的边，，且.
(1)求；
(2)若周长的范围
【解析】（1）由得：，
由正弦定理知：，又，，
，又，，，
，，，则，，解得：.
（2）由正弦定理得：，，，
；
为锐角三角形，，解得：，
，，，
即周长的取值范围为.

【过关测试】
一、单选题
1．（2023·高一单元测试）在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
当时，取最小值，则，
所以，又为锐角，
故，
因为，所以，
所以，得，
所以．
故选：D
2．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．若D是BC边的中点，且，则面积的最大值为（  ）
A．16 B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，由正弦定理得，
所以，，
因为，所以.
因为是边BC的中点，所以，.
因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立.
所以，即面积最大为．
故选：B
3．（2023春·河南·高一校联考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正弦定理得：
由余弦定理得：，即

当且仅当时，即，，时取等号，
,
则，所以面积的最大值.
故选：B
4．（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若且，则的周长的最大值为（    ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】A
【解析】由已知及正弦定理得，
∴，
所以，因为，
所以，即，因为，
所以，从而，
由余弦定理得，即，
又，
∴，即，
∴，当且仅当时等号成立，从而，
∴的周长的最大值为15.
故选：A.
5．（2023·高一单元测试）已知中，a、b、c为角A、B、C的对边，，若与的内角平分线交于点I，的外接圆半径为，则面积的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，由正弦定理得：
∵，∴，
∵，
∴，为直角三角形且外接圆半径为，
∴，
∴，
设内切圆半径为，则．
其中，
因为，所以，
故，当且仅当时，等号成立，
∴，
当且仅当时等号成立，
故选：A
6．（2023·高一单元测试）已知锐角中，内角、、的对边分别为、、，，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由余弦定理可得，则，
由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，则，，所以，，
又因为函数在内单调递增，所以，，可得，
由于为锐角三角形，则，即，解得，

，
因为，则，
因为存在最大值，则，解得.
故选：C.
7．（2023春·北京·高一校考期末）已知在中，， 则 的大小随三角形形状而变化时（    ）
A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值
C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，也无最小值
【答案】A
【解析】由正弦定理可得，
所以，
又，，，，
所以，又，
所以，即有最大值，无最小值.
故选：A.
8．（2023春·河南洛阳·高一统考期末）在中，A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，若，且，则的最大值是（    ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】得，又，所以.
在中，由正弦定理得：

所以，所以.
故当，即时，取得最大值
故选：D
二、多选题
9．（2023春·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）在中，记角所对的边分别为，若，则（    ）
A．
B．
C．内角的最大值为
D．面积的最小值为
【答案】BC
【解析】，故A选项错误；
因为，所以，故B选项正确；
因为，所以，所以，故C选项正确；
因为，所以，故D选项错误.
故选：BC.
10．（2023春·山西·高一统考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列选项正确的是（    ）
A．若，则有两解
B．若，则无解
C．若为锐角三角形，且，则
D．若，则的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，所以，则有两解，A正确．
对于B，因为，所以有且仅有一解，B错误．
对于C，由得，则，
因为，所以，C正确．
对于D．因为，所以，又因为，
所以，则
，由，得，
所以当，即时，取得最大值，D正确．
故选：ACD
11．（2023·高一单元测试）在中，所对的边为，，边上的高为，则下列说法中正确的是（    ）
A． B． C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】ABD
【解析】设边上的高为，则
，，
，即，A正确；
由余弦定理得：，
又，，
，B正确；
，，，，
；
，，，
，C错误，D正确.
故选：ABD.
12．（2023秋·山东聊城·高一聊城二中校考阶段练习）已知的斜边长为2．则下列关于的说法中，错误的是（    ）
A．周长的最大值为 B．周长的最小值为
C．面积的最大值为2 D．面积的最小值为1
【答案】BCD
【解析】由题知，设斜边为，则，．
先研究面积：，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值是1．
C、D选项都是错误的；
再研究周长：，，
，，，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最大值为，周长的最大值为，故B选项错误.
综上，选BCD．
故选：BCD
三、填空题
13．（2023·高一单元测试）在中，，D为BC的中点，则的最大值为______．
【答案】
【解析】设，则，
因为为的中点，，所以，
由三角形三边关系，可知且，解得，
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
因为，所以,
所以，解得，
则，，
令，则，，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，此时，解得，
因为，所以．
因为在上单调递减，在单调递增，
所以当取得最小值时，取得最大值，
此时，则，
所以的最大值为.
故答案为：.

.
14．（2023春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）平面四边形ABCD中，，，则边AB长度的取值范围是________．
【答案】
【解析】如图所示，

因为，所以，
当点D与点C重合时，，
由正弦定理可得，
而，
所以，
当点D与点A重合时，，
由正弦定理可得，
所以
因为ABCD平面四边形，所以，
故答案为：
15．（2023·高一单元测试）已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足，且，则周长的取值范围为______________．
【答案】
【解析】在中，由及正弦定理得：，而，
于是，有，
而，，因此，由余弦定理得，
即有，当且仅当时取等号，
从而，而，则，
所以周长的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
16．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，求的取值范围；
(3)若为的外接圆，若、分别切于点、，求的最小值.
【解析】（1）已知，由正弦定理，
得，又，
所以，即，
可得或，因为，，
所以，则，即.
（2）由（1）可知为直角三角形，若，
则，
所以，即，则，
在中，，，，
所以，
令，
又因为，
所以，所以，
令，因为在上单调递增，
所以在上单调递减，所以，
所以的取值范围为.
（3）的外接圆的半径，设，
则，，
所以，
而，
，
令，则
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
17．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，满足
(1)求角；
(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.
【解析】（1）由可得：，
由余弦定理知，，
又因此.
（2）在中，由，得，
在中，由，可得，
所以；
在中，由，得，
解得，，
所以，
因为，，
所以，
当且仅当时取等号，
因此的最小值为.
18．（2023·高一单元测试）已知中，a，b，c是角A，B，C所对的边，，且.

(1)求角B；
(2)若，在的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿线段DE折叠到平面BCE后，顶点A正好落在边BC（设为点P）上，求AD的最小值.
【解析】（1）因为，所以由正弦定理边角互化得，
因为，所以，即，所以，
因为，所以，所以，
所以，即.
（2）因为，所以为等边三角形，即，
设，则，
所以在中，由余弦定理得，整理得，
设，所以，
由于，故，
所以，当且仅当时等号成立，此时，
所以AD的最小值为．
19．（2023春·浙江杭州·高一校联考阶段练习）在中，，，分别是角所对的边，．
(1)求；
(2)若，，求的最小值．
【解析】（1）由已知及正弦定理得
，所以，
又因为，所以，即；
（2）因为，所以，
因为，所以，
所以
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值是．
20．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）如图，在中，已知边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），相交于点.

(1)求；
(2)当点为中点时，求：的余弦值；
(3)求：的最小值；当取得最小值时设，求的值.
【解析】（1），由余弦定理知：
，
.
（2）设，
分别为的中点，
，

，
，
又.
.
（3）设
，
当即时，取最小值，
，
，
，
三点共线，
，
.
21．（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________．在
①；
②；
③.
这三个条件中任选一个填在横线上，补充完整上面的问题，并进行解答．
(1)求角B的大小；
(2)若角B的内角平分线交AC于D，且，求的最小值．
【解析】（1）若选条件①，由得：，
，即，
则，又，.
若选条件②，由得：，
，则，又，.
若选条件③，，则，
由正弦定理得：，
，，，则，
又，.
（2）

，，
即，，，
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
22．（2023·高一单元测试）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．
【解析】（1）由正弦定理，得，即，
故，
因为，所以，
所以；
（2）由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
在中，由正弦定理，得，
在中，由正弦定理，得，
因为AD为角A的角平分线，所以，
又，所以，所以，
不妨设，，则，故，
延长至点E，使得，连接，
则，又，
所以，故，，
则，，
则，，
在中，由余弦定理，得，
即，
因为，所以，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，故.

所以长的最大值为.