专题06+复数的综合运用-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题06 复数的综合运用  

【考点预测】

一、基本概念

（1）叫虚数单位，满足 ，当时，．

（2）形如的数叫复数，记作．

①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．

②两个复数相等（两复数对应同一点）

③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．

二、基本性质

1、复数运算

（1）

（2）

其中，叫z的模；是的共轭复数．

（3）．

实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．

2、复数的几何意义

（1）复数对应平面内的点；

（2）复数对应平面向量；

（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．

（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．

【典型例题】

例1．（2023春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）复数满足，则的范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，则.

则.

则.

故选：C

例2．（2023春·安徽芜湖·高一校考期中）复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】由题意得，

所以z在复平面内对应的点为(3,1)，位于第一象限.

故选：A

例3．（2023春·河南·高一校联考期中）欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，.得.根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】由题意 ，显然 ，所以在复平面中对应的点在第一象限；

故选：A.

例4．（2023春·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）已知复数z满足，且，则的值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【解析】设，则，，

，解得，

则，又，

，

故.

故选：B.

例5．（2023春·山西·高一统考期中）已知复数，当时，不等式恒成立，则实数t的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，又，所以，

由时，不等式恒成立，

则恒成立，即恒成立，

令，因为时，单调递增，

所以，所以实数t的取值范围是．

故选：B

例6．（多选题）（2023春·广西桂林·高一校考期中）已知，则下列说法正确的是（    ）

A．在复平面内对应的点在第一象限

B．

C．的虚部是

D．的实部是1

【答案】ABD

【解析】由题得.

所以复数在复平面内对应的点在第一象限，所以选项A正确；

，所以选项B正确；

的虚部是1，所以选项C错误；

的实部是1，所以选项D正确.

故选：ABD

例7．（多选题）（2023春·福建三明·高一校联考期中）下列有关复数的叙述正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则的虚部为

C．若，则不可能为纯虚数 ． D．若，则  ．

【答案】ACD

【解析】，所以，A正确；

，虚部是，B错误；

，若，则是实数，若，则是虚数，不是纯虚数，C正确；

，则复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值为0，最大值为2，所以，D正确．

故选：ACD．

例8．（2023春·浙江·高一期中）已知，关于x的一元二次方程的一个根z是纯虚数，则________．

【答案】

【解析】设，则，

因为，故 ，解得，

故，故，

故答案为：

例9．（2023春·河南濮阳·高一统考期中）已知复数，则复数___________.

【答案】

【解析】

.

因为，而，

所以，所以.

故答案为：

例10．（2023春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）已知复数满足，求的最小值______．

【答案】10

【解析】复数，由，即，

于是得，整理得，，即，

表示点与点、距离的和，

显然点P在x轴上，而线段AB与x轴相交，因此，，

当且仅当点P为线段AB与x轴的交点时取“=”，

所以的最小值是10.

故答案为：10

例11．（2023春·河南·高一校联考期中）设.

(1)证明：；

(2)在复数范围内，利用公式解方程.

【解析】（1），

故.

（2），即，即

则或，

当，，

当，或

故方程的根为1或或.

例12．（2023春·浙江金华·高一统考期中）已知复数是虚数单位.

(1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；

(2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值.

【解析】（1）由已知得到，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以，

解得，所以

（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以是方程的另一个根，所以，所以，

所以，

所以，所以.

【过关测试】

一、单选题

1．（2023春·山西吕梁·高一校联考期中）设，则复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意可得：.

故选：A.

2．（2023春·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）下列命题一定成立的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则是纯虚数

D．若且，则且

【答案】D

【解析】对于，当时，，故选项错误；

对于，当时，，但并不相等，故选项错误；

对于，若，则并不是纯虚数，故选项错误；

对于，因为且，所以为正实数，则且，故选项正确，

故选：.

3．（2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）复数在复平面内对应向量的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，

所以，

故选：B.

4．（2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知复数是纯虚数，则实数（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】B

【解析】，因为复数是纯虚数，所以，且，解得.

故选：B

5．（2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知是虚数单位，复数，下列说法正确的是（    ）

A．的虚部为 B．的共轭复数对应的点在第三象限

C．的实部为1 D．的共轭复数的模为1

【答案】D

【解析】因为，所以，

所以的虚部为，故A错误；

的共轭复数为，其对应的点是，在第一象限，故B错误；

的实部为，故C错误；

的共轭复数为，则模长为，故D正确，

故选：D.

6．（2023春·浙江·高一期中）任何一个复数（其中a、，为虚数单位）都可以表示成三角形式，其中．法国数学家棣莫佛发现：

，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，下列说法正确的是（    ）

A．

B．当，时，

C．

D．当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数

【答案】A

【解析】对于A，因为，所以，

，，所以，故A正确；

对于B，时，

根据棣莫弗定理，，所以B不正确；

对于C，因为，所以，所以，所以C不正确；

对于D，时，，n为偶数时，

设, ，

k为偶数时，为实数，选项D错误.

故选：A.

7．（2023春·河南濮阳·高一统考期中）设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，

所以.

故选：A.

8．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期中）已知，，，，，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【解析】设，，

所以，，

因为，所以，

即，所以

.

故选：D.

二、多选题

9．（2023春·江苏苏州·高一统考期中）已知复数，，是的共轭复数，则以下结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则，且

C．若是实数，则 D．若，则

【答案】BD

【解析】对于A，若，则，而此时，所以A错误，

对于B，因为，，所以，所以，且，所以B正确，

对于C，若，则，而此时，所以C错误，

对于D，设，则

，

所以，

因为，

所以，所以D正确，

故选：BD

10．（2023春·湖南邵阳·高一统考期中）已知a，，，，则下列说法正确的是（    ）

A．z的虚部是 B．

C． D．z对应的点在第二象限

【答案】BC

【解析】由复数相等可得解得所以，

对于A，的虚部是2，故A错误；

对于B，，故B正确；

对于C，，故C正确；

对于D，对应的点在虚轴上，故D错误.

故选：BC

11．（2023春·福建泉州·高一泉州五中校考期中）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（    ）

A．点在复平面上的坐标为 B．

C．的最大值为 D．的最小值为1

【答案】ABC

【解析】复数在复平面内对应的点为，则，．

复数满足，则对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆．

∴的最大值为；

的最小值为．

综上可得：ABC正确，D不正确．

故选：ABC．

12．（2023春·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C． D．若，则

【答案】AD

【解析】选项A：若，则，所以，故A正确，

选项B：设，，则，

但是，故B错误，

选项C：设，则，，

所以，故，故C错误；

选项D：设，，，，，则，

则，，所以，故D正确，

故选：AD．

三、填空题

13．（2023春·山西吕梁·高一校联考期中）在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，则的值为_________.

【答案】

【解析】因为，，，

所以，，

，

所以，

所以.

故答案为：.

14．（2023春·山东青岛·高一山东省青岛第十九中学校考期中）若复数满足，则=_________

【答案】

【解析】依题意，，

所以.

故答案为：

15．（2023春·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）复数、满足，，则______．

【答案】

【解析】原题等价于，，求.

，，

，

.

故答案为：.

16．（2023春·广东广州·高一校考期中）已知是实系数方程在复数集内的一个根，则___________．

【答案】14

【解析】因为是实系数方程在复数集内的一个根，

所以也是实系数方程的一个根.

由根与系数的关系可得：

解得：，

所以.

故答案为：14.

17．（2023春·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期中）已知复数，满足，，则的最小值为______．

【答案】1

【解析】根据复数的几何意义可得，，则在复平面内是以为圆心，为半径的圆上，，则在复平面内是以为圆心，8为半径的圆上，又两圆心间的距离为，

故的最小值为

故答案为：1

18．（2023春·吉林·高一吉化第一高级中学校校考期中）在复平面内，若复数z满足，则z在复平面内对应点满足的方程为______．

【答案】

【解析】由题意，，

，，

则，化简得，

所以z在复平面内对应点满足的方程为.

故答案为：

四、解答题

19．（2023春·浙江·高一期中）已知复数使得，，其中是虚数单位．

(1)求复数的模；

(2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．

【解析】（1）设复数，，

根据题意，，

所以，即；

又，

所以，即，

所以，则；

（2）由（1）可知，

所以。

在复平面内对应的点为，位于第一象限，

所以且，解得，即的取值范围为．

20．（2023春·江苏苏州·高一统考期中）已知复数（，是虚数单位）.

(1)若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围；

(2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值.

【解析】（1），

，

因为在复平面内对应的点落在第一象限，

所以，解得；

（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，

所以虚数也是一元二次方程的根，

则，

所以.

21．（2023春·江苏苏州·高一统考期中）已知复数z满足，为虚数单位.

(1)求复数z；

(2)若复数z，在复平面内对应的点为A，B，O为坐标原点，求OAB的面积.

【解析】（1）设复数，由题意，

得 ，解得，

所以.

（2）由（1）可得，

所点，，，.

因为，所以，

所以

22．（2023春·山东·高一统考期中）设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限.

(1)若复数为纯虚数，求实数m的值；

(2)若，且是关于x的方程的一个复数根，求.

【解析】(1)由题可知，其中，

∵复数为纯虚数，∴，且，

∴.

(2)∵，∴，∴，

∴关于的方程的两根分别为，，

∵对应的点在第一象限，∴，且 ，

∵，∴，

∴，或，

∵，∴，∴，∴，

∴.

23．（2023春·河南·高一河南省实验中学校考期中）已知复数，，其中a是正实数．

(1)若，求实数a的值；

(2)若是纯虚数，求a的值．

【解析】（1）∵，，，

∴，从而，解得，

所以实数a的值为2．

（2）依题意得：，

因为是纯虚数，所以：，解得：或；

又因为a是正实数，所以a＝2．

24．（2023春·山东菏泽·高一统考期中）已知复数满足，为纯虚数．

(1)求复数z；

(2)设z，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．

【解析】(1)设（a，），则，

依题意，且，而，解得a=1，b=-1或a=-1，b=1，

所以或.

(2)当时，，，则，，，

，点B到边AC距离为1，则，

当时，，，则，，，

，点B到边AC距离为1，，

所以△ABC的面积是1.

25．（2023春·山东临沂·高一统考期中）已知复数，i为虚数单位.

(1)求和；

(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值.

【解析】(1)

所以，

(2)因为复数是关于的方程的一个根，

所以，，即，

所以，，即.

所以，.