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中考数学二轮复习培优专题08全等三角线中的辅助线做法及常见题型之倍长中线 (含答案)
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这是一份中考数学二轮复习培优专题08全等三角线中的辅助线做法及常见题型之倍长中线 (含答案),共25页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
专题08:第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之倍长中线一、选择题1.在△ABC中,AC=6,中线AD=5,则边AB的取值范围是( )A.1<AB<11 B.4<AB<13 C.4<AB<16 D.11<AB<162.在中,,于点,点为的中点,若,则的度数是( )A. B. C. D.3.如图,在平行四边形中,,为上一点,为的中点,则下列结论中正确的是( )A. B. C. D.4.如图,在△ABC 中,AB=8,AC=5,AD是△ABC的中线,则AD的取值范围是( )A.3<AD<13 B.1.5<AD<6.5 C.2.5<AD<7.5 D.10<AD<165.如图,在等腰直角三角形中,,F为边的中点,点D,E分别在边上运动,且保持,连接.在此运动变化的过程中,下列结论:①是等腰直角三角形;②四边形的面积保持不变;③.其中正确的是( )A.①②③ B.① C.② D.①② 二、填空题6.如图,平行四边形中,于,点为边中点,,,则_________7.如图,中,为的中点,是上一点,连接并延长交于,,且,,那么的长度为__.8.如图,为AD上的中点,则BE=______.9.如图,△ABC中,D是AB的中点,CD:AC:BC=1:2:2,则∠BCD=_____.10.如图,△ABC中,AB>AC,AD是中线,AB=10,AD=7,∠CAD=45°,则BC=_____. 三、解答题11.如图,已知AD是的中线,过点B作BE⊥AD,垂足为E.若BE=6,求点C到AD的距离.12.在ABC中,∠C=90°,AC>BC,D是AB的中点,E为直线AC上一动点,连接DE,过点D作DF⊥DE,交直线BC于点F,连接EF.(1)如图1,当点E是线段AC的中点时,AE=2,BF=1,求EF的长;(2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图形2,用等式表示AE,EF,BF之间的数量关系,并证明.13.阅读材料,解答下列问题.如图1,已知△ABC中,AD 为中线.延长AD至点E,使 DE=AD.在△ADC和△EDB中,AD=DE,∠ADC=∠EDB,BD=CD,所以,△ACD≌△EBD,进一步可得到AC=BE,AC//BE等结论.在已知三角形的中线时,我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形,并进一步解决一些相关的计算或证明题.解决问题:如图2,在△ABC中,AD是三角形的中线,点F为AD上一点,且BF=AC,连结并延长BF交AC于点E,求证:AE=EF.14.如图1,在中,,,,是边的中点,交于点.将直角绕顶点旋转,使得边与线段交于点,边与线段交于点.(1)求证:与相似;(2)设的长为,的面积为,求与的函数关系式,并写出的取值范围;(3)探究、、三者之间的数量关系,并说明理由.15.如图1,已知正方形和等腰,,,是线段上一点,取中点,连接、.(1)探究与的数量与位置关系,并说明理由;(2)如图2,将图1中的等腰绕点顺时针旋转,则(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;(3)在(2)的条件下,若,求的最小值.
参考答案1.C【解析】【分析】作出图形,延长AD至E,使DE=AD,然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等,根据全等三角形对应边相等可得AB=CE,再利用三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围,即为AB的取值范围.【详解】如图,延长AD至E,使DE=AD,∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,在△ABD和△ECD中,BD=CD,∠ADB=∠EDC,AD=DE,∴△ABD≌△ECD(SAS),∴AB=CE,∵AD=5,∴AE=5+5=10,∵10+6=16,10−6=4,∴4<CE<16,即4<AB<16.故选:C.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边,“遇中线,加倍延”构造出全等三角形是解题的关键.2.D【解析】【分析】连结CE,并延长CE,交BA的延长线于点N,根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE≌△CFE,所以NE=CE,NA=CF,再由已知条件CD⊥AB于D,∠ADE=50°,即可求出∠B的度数.【详解】解:连结CE,并延长CE,交BA的延长线于点N,∵四边形ABCF是平行四边形,∴AB∥CF,AB=CF,∴∠NAE=∠F,∵点E是的AF中点,∴AE=FE,在△NAE和△CFE中, ,∴△NAE≌△CFE(ASA),∴NE=CE,NA=CF,∵AB=CF,∴NA=AB,即BN=2AB,∵BC=2AB,∴BC=BN,∠N=∠NCB,∵CD⊥AB于D,即∠NDC=90°且NE=CE,∴DE=NC=NE,∴∠N=∠NDE=50°=∠NCB,∴∠B=80°.故选:D.【点评】本题考查了平行四边形的性质,综合性较强,难度较大,解答本题的关键是正确作出辅助线,构造全等三角形,在利用等腰三角形的性质解答.3.D【解析】【分析】根据平行四边形的性质可以得到,且为的中点,所以,由此可判断选项;再结合平行线的性质可以得到,由此可判断选项;同时延长和交于点, 可以证得,所以,由此可以判断选项;由于,所以,由此可以判断选项;【详解】四边形是平行四边形 由于条件不足,所以无法证明,故选项错误; 故选项错误;同时延长和交于点 在和 中: 由于条件不足,并不能证明,故选项错误; 为的中点 故选项正确;故选:D.【点评】本题主要考查平行四边形的性质,以及全等三角形的判定,根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键.4.B【解析】【分析】延长AD到E,使AD=DE,连结BE,证明△ADC≌△EDB就可以得出BE=AC,根据三角形的三边关系就可以得出结论.【详解】解:延长AD到E,使AD=DE,连结BE.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
在△ADC和△EDB中, ∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴AC=BE.
∵AB-BE<AE<AB+BE,
∴AB-AC<2AD<AB+AC.
∵AB=8,AC=5,
∴1.5<AD<6.5.故选:B【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用,三角形的中线的性质的运用,三角形三边关系的性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.5.A【解析】【分析】连接,利用SAS可证,从而得出,从而求出,即可判断①;根据全等三角形的性质可得,从而得出四边形的面积为,从而判断②;延长到G使,连接,证出和,最后根据三角形的三边关系即可判断③.【详解】解:如图,连接.∵,F为的中点,∴,.∵,∴,∴.又∵,∴.∴,∵,∴,∴,∴是等腰直角三角形.①正确.∵,∴,∴四边形的面积为.∵,∴四边形的面积为16,为定值.②正确.延长到G使,连接.∵,,,∴,∴.∵,∴,∴.在中,∵,∴.③正确.①②③均正确,故选A.【点评】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系,掌握构造全等三角形的方法是解决的关键.6.【解析】【分析】延长、交于点,连接FC,先依据全等的判定和性质得到,依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到,依据平行四边形的对边相等及等量代换得到,依据三角形等边对等角得到、,依据三角形内角和得到,通过作差即得所求.【详解】解:延长、交于点,连接FC,∵平行四边形中,∴,,,∴,,,又∵点为边中点,得,∴≌(ASA),,∴,∴,∴,∴,∵,,,,∴,∴,∴,∴,故答案为:.【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形等边对等角、三角形内角和,解题的关键是构造直角三角形.7.;【解析】【分析】延长至使,连接,得出,得出,所以得出是等腰三角形,根据已知线段长度建立等量关系计算.【详解】如图:延长至使,连接在和中: ∴∴ ∵∴∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即∴【点评】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键.8.【解析】【分析】延长BE交CD于点F,证,则BE=EF=BF,故再在直角三角形BCF中运用勾股定理求出BF长即可.【详解】解:延长BE交CD于点F,∵AB平行CD,则∠A=∠EDC,∠ABE=∠DFE,又E为AD上的中点,∴BE=EF,所以.∴∴在直角三角形BCF中,BF==.∴.【点评】本题的关键是作辅助线,构造三角形全等,找到线段的关系,然后运用勾股定理求解.9.30°【解析】【分析】利用“中线倍长法”构造全等三角形,进而得出等腰三角形,再通过作等腰三角形的高,依据锐角三角函数可求出答案.【详解】解:延长CD到E,使DE=CD,连接BE,过E点作EF⊥BC,垂足为F,∵D是AB的中点,∴AD=BD,又∵∠ADC=∠BDE,DE=DC,∴△ADC≌△BDE(SAS),∴AC=BE,∵CD:AC:BC=1:2:2,设CD=m,则AC=2m=BE=CE,∴FC=FB=BC=m,在Rt△CEF中,cos∠FCE===,∴∠FCE=30°,即∠BCD=30°,故答案为:30°.【点评】本题考查全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质以及锐角三角函数等知识,理解直角三角形的边角关系是正确计算的前提.10.【解析】【分析】延长AD到E使DE=AD=7,连接CE,作EF⊥AC于F,作CH⊥AD于H,如图,先证明△ADB≌△EDC得到EC=AB=10,再利用△AEF为等腰直角三角形计算出AF=EF=7,则根据勾股定理可计算出CF,从而得到AC=6,接着利用△ACH为等腰直角三角形得到AH=CH=6,然后利用勾股定理计算出CD,从而得到BC的长.【详解】延长AD到E使DE=AD=7,连接CE,作EF⊥AC于F,作CH⊥AD于H,如图,∵AD是中线,∴BD=CD.在△ADB和△EDC中,∵,∴△ADB≌△EDC(SAS),∴EC=AB=10.在Rt△AEF中,∵∠DAC=45°,AE=14,∴AF=EFAE=7.在Rt△CEF中,CF,∴AC=AF﹣CF=6.在Rt△ACH中,∵∠HAC=45°,∴AH=CHAC=6,∴DH=AD﹣AH=1.在Rt△CDH中,CD,∴BC=2CD=.故答案为.【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高:熟练掌握三角形高、中线的定义;构造等腰直角三角形是解答此题的关键.11.6【解析】【分析】延长AD,过点C作于点F,证明,再根据全等三角形的性质得到.【详解】解:如图,延长AD,过点C作于点F,∵AD是的中线,∴,∵,,∴,在和中,,∴,∴,即点C到AD的距离是6.【点评】本题考查全等三角形的性质和判定,解题的关键是利用倍长中线的方法做辅助线构造全等三角形,利用全等三角形的性质求解.12.(1);(2)AE2+BF2=EF2,证明见解析【解析】【分析】(1)由三角形的中位线定理得DE∥BC,DE=BC,进而证明四边形CEDF是矩形得DE=CF,得出CF,再根据勾股定理得结果;(2)过点B作BM∥AC,与ED的延长线交于点M,连接MF,证明△ADE≌△BDM得AE=BM,DE=DM,由垂直平分线的判定定理得EF=MF,进而根据勾股定理得结论.【详解】解:(1)∵D是AB的中点,E是线段AC的中点,∴DE∥BC,DE=BC,∵∠ACB=90°,∴∠DEC=90°,∵DF⊥DE,∴∠EDF=90°,∴四边形CEDF是矩形,∴DE=CF=BC,∴CF=BF=1,∵CE=AE=2,∴EF=;(2)AE2+BF2=EF2.证明:过点B作BM∥AC,与ED的延长线交于点M,连接MF,则∠AED=∠BMD,∠CBM=∠ACB=90°,∵D点是AB的中点,∴AD=BD,在△ADE和△BDM中,,∴△ADE≌△BDM(AAS),∴AE=BM,DE=DM,∵DF⊥DE,∴EF=MF,∵BM2+BF2=MF2,∴AE2+BF2=EF2.【点评】本题主要考查了直角三角形的性质,全等三角形的性质与判定,勾股定理,垂直平分线的判定,关键在于构造全等三角形.13.详见解析【解析】【分析】延长AD到M,使DM=AD,连接BM,根据SAS推出△BDM≌△CDA,根据全等三角形的性质得出BM=AC,∠CAD=∠M,根据BF=AC可得BF=BM,推出∠BFM=∠M,求出∠AFE=∠EAF即可.【详解】如图,延长至点,使得,并连结,∵是三角形的中线,∴,在和中,∴,∴,,∵,∴,∴,∵,,∴,即.【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定的应用,主要考查学生的运用性质进行推理的能力,关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形.14.(1);(2)(3)【解析】【分析】(1)由同角的余角相等证得及即可得出结论;(2)先由特殊角的三角函数值求出、,再由相似比求出,并进一步得出,最后由面积公式得出与的函数关系式;(3)利用是边的中点构造三角形全等,再由勾股定理探究、、三者之间的数量关系.【详解】(1).证明:∵,,∴,,∴.∵,,∴,∴.(2)在中,,,,∴,,.∵是边的中点,∴.在中,,,,∴,,∴.又∵,∴.由(1)得;∴,即,∴,∴,∴.(3).理由如下:如图2,延长,使.∴是的中点,∴.∵,∴,∴,.∵,∴,∴,则.∵,,∴,∴.【点评】本题以直角三角形为载体,以旋转变换为切入点考查相似三角形的判定与性质、三角形全等的判断与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等核心知识,渗透数形结合、运动变化、函数方程等数学思想,检测探究、推理、运算等能力.15.(1)且.理由见解析;(2)成立,理由见解析;(3)【解析】【分析】(1)首先根据正方形和等腰直角三角形的性质得出、、三点共线,然后利用直角三角形斜边中线的性质即可证明,然后利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出,从而证明;(2)延长至,使,连接交于,连接、,首先通过SAS证明,从而利用全等三角形的性质及平行线的判定证明,进而可利用正方形和等腰直角三角形的性质证明,从而可证明结论仍然成立;(3)连接,首先根据题意确定当、、,在同一直线上时,有最小值,此时在上,然后根据平行四边形的判定及性质得出有最小值就是的长,最后利用勾股定理求解即可.【详解】解:(1)且.理由如下:如图1,连接.∵正方形和等腰,∴,∴、、三点共线.∵,为的中点,,∴.∴,.∴,即,∴.(2)仍然成立.理由如下:如图2,延长至,使,连接交于,连接、.∵,,,∴,∴,,∴.∵是正方形,∴,.∵是等腰直角三角形,∴,,∴,∴,,∴,∴为等腰直角三角形.又∵,∴且.(3)如下图,连接,当、、,在同一直线上时,有最小值,此时在上,∵,,∴四边形是平行四边形,∴,由(2)知,∴,即有最小值,就是的长,由勾股定理得.【点评】本题主要考查四边形综合,掌握平行四边形的判定及性质,等腰三角形的性质,正方形的性质,全等三角形的判定及性质是解题的关键.
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