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    中考数学二轮复习培优专题08全等三角线中的辅助线做法及常见题型之倍长中线 (含答案)

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    这是一份中考数学二轮复习培优专题08全等三角线中的辅助线做法及常见题型之倍长中线 (含答案),共25页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    专题08第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之倍长中线一、选择题1.在ABC中,AC6,中线AD5,则边AB的取值范围是(  )A1AB11 B4AB13 C4AB16 D11AB162.在中,于点,点的中点,若,则的度数是(    A B C D3.如图,在平行四边形中,上一点,的中点,则下列结论中正确的是(    A B C D4.如图,在△ABC    中,AB=8AC=5AD△ABC的中线,则AD的取值范围是(      A3<AD<13 B1.5<AD<6.5 C2.5<AD<7.5 D10<AD<165.如图,在等腰直角三角形中,F边的中点,点DE分别在边上运动,且保持,连接.在此运动变化的过程中,下列结论:是等腰直角三角形;四边形的面积保持不变;.其中正确的是(    A①②③ B C D①②  二、填空题6.如图,平行四边形中,,点为边中点,,则_________7.如图,中,的中点,上一点,连接并延长交,且,那么的长度为__8.如图,AD上的中点,则BE______9.如图,ABC中,DAB的中点,CDACBC122,则BCD_____10.如图,ABC中,ABACAD是中线,AB10AD7CAD45°,则BC_____. 三、解答题11.如图,已知AD的中线,过点BBE⊥AD,垂足为E.若BE=6,求点CAD的距离.12.在ABC中,∠C90°ACBCDAB的中点,E为直线AC上一动点,连接DE,过点DDF⊥DE,交直线BC于点F,连接EF1)如图1,当点E是线段AC的中点时,AE2BF1,求EF的长;2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图形2,用等式表示AEEFBF之间的数量关系,并证明.13.阅读材料,解答下列问题.如图1,已知ABC中,AD 为中线.延长AD至点E,使 DE=AD.在ADCEDB中,AD=DEADC=∠EDBBD=CD,所以,ACD≌△EBD,进一步可得到AC=BEAC//BE等结论.在已知三角形的中线时,我们经常用倍长中线的辅助线来构造全等三角形,并进一步解决一些相关的计算或证明题.解决问题:如图2,在ABC中,AD是三角形的中线,点FAD上一点,且BF=AC,连结并延长BFAC于点E,求证:AE=EF14.如图1,在中,边的中点,于点.将直角绕顶点旋转,使得边与线段交于点,边与线段交于点.1)求证:相似;2)设的长为的面积为,求的函数关系式,并写出的取值范围;3)探究三者之间的数量关系,并说明理由.15.如图1,已知正方形和等腰是线段上一点,取中点,连接1)探究的数量与位置关系,并说明理由;2)如图2,将图1中的等腰绕点顺时针旋转,则(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;3)在(2)的条件下,若,求的最小值.
    参考答案1C【解析】【分析】作出图形,延长ADE,使DEAD,然后利用边角边证明△ABD△ECD全等,根据全等三角形对应边相等可得ABCE,再利用三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围,即为AB的取值范围.【详解】如图,延长ADE,使DEAD∵AD△ABC的中线,∴BDCD△ABD△ECD中,BDCD∠ADB∠EDCADDE∴△ABD≌△ECDSAS),∴ABCE∵AD5∴AE5510∵1061610−64∴4CE164AB16故选:C点评本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边,遇中线,加倍延构造出全等三角形是解题的关键.2D【解析】【分析】连结CE,并延长CE,交BA的延长线于点N,根据已知条件和平行四边形的性质可证明NAE≌△CFE,所以NECENACF,再由已知条件CDABDADE50°,即可求出B的度数.【详解】解:连结CE,并延长CE,交BA的延长线于点N四边形ABCF是平行四边形,ABCFABCF∴∠NAEFE是的AF中点,AEFENAECFE中,∴△NAE≌△CFEASA),NECENACFABCFNAAB,即BN2ABBC2ABBCBNNNCBCDABD,即NDC90°NECEDENCNE∴∠NNDE50°NCB∴∠B80°故选:D点评本题考查了平行四边形的性质,综合性较强,难度较大,解答本题的关键是正确作出辅助线,构造全等三角形,在利用等腰三角形的性质解答.3D【解析】【分析】根据平行四边形的性质可以得到,且的中点,所以,由此可判断选项;再结合平行线的性质可以得到,由此可判断选项;同时延长交于点 可以证得,所以,由此可以判断选项;由于,所以,由此可以判断选项;【详解】四边形是平行四边形 由于条件不足,所以无法证明,选项错误; 选项错误;同时延长交于点 中: 由于条件不足,并不能证明,故选项错误; 的中点 选项正确;故选:D.点评本题主要考查平行四边形的性质,以及全等三角形的判定,根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键.4B【解析】【分析】延长ADE,使AD=DE,连结BE,证明△ADC≌△EDB就可以得出BE=AC,根据三角形的三边关系就可以得出结论.【详解】解:延长ADE,使AD=DE,连结BE
    ∵AD△ABC的中线,
    ∴BD=CD
    △ADC△EDB中, ∴△ADC≌△EDBSAS),
    ∴AC=BE
    ∵AB-BEAEAB+BE
    ∴AB-AC2ADAB+AC
    ∵AB=8AC=5
    ∴1.5AD6.5故选:B点评本题考查了全等三角形的判定及性质的运用,三角形的中线的性质的运用,三角形三边关系的性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.5A【解析】【分析】连接,利用SAS可证,从而得出,从而求出,即可判断;根据全等三角形的性质可得,从而得出四边形的面积为,从而判断;延长G使,连接,证出,最后根据三角形的三边关系即可判断【详解】解:如图,连接F的中点,是等腰直角三角形.正确.四边形的面积为四边形的面积为16,为定值.正确.延长G使,连接中,正确.①②③均正确,故选A点评此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系,掌握构造全等三角形的方法是解决的关键.6【解析】【分析】延长交于点,连接FC,先依据全等的判定和性质得到,依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到,依据平行四边形的对边相等及等量代换得到,依据三角形等边对等角得到,依据三角形内角和得到,通过作差即得所求.【详解】解:延长交于点,连接FC平行四边形中,,,,为边中点,得,(ASA),,,,,,,,,,故答案为:.点评本题考查了平行四边形的性质、全等的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形等边对等角、三角形内角和,解题的关键是构造直角三角形.7【解析】【分析】延长使,连接,得出,得出,所以得出是等腰三角形,根据已知线段长度建立等量关系计算.【详解】如图:延长使,连接中: 点评倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键.8【解析】【分析】延长BECD于点F,证,则BE=EF=BF,故再在直角三角形BCF中运用勾股定理求出BF长即可.【详解】解:延长BECD于点F,∵AB平行CD,则∠A=∠EDC∠ABE=∠DFEEAD上的中点,∴BE=EF,所以.在直角三角形BCF中,BF==..点评本题的关键是作辅助线,构造三角形全等,找到线段的关系,然后运用勾股定理求解.930°【解析】【分析】利用中线倍长法构造全等三角形,进而得出等腰三角形,再通过作等腰三角形的高,依据锐角三角函数可求出答案.【详解】解:延长CDE,使DECD,连接BE,过E点作EFBC,垂足为FDAB的中点,ADBD∵∠ADCBDEDEDC∴△ADC≌△BDESAS),ACBECDACBC122CDm,则AC2mBECEFCFBBCmRt△CEF中,cos∠FCE∴∠FCE30°,即BCD30°故答案为:30°点评本题考查全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质以及锐角三角函数等知识,理解直角三角形的边角关系是正确计算的前提.10【解析】【分析】延长ADE使DE=AD=7,连接CE,作EFACF,作CHADH,如图,先证明ADB≌△EDC得到EC=AB=10,再利用AEF为等腰直角三角形计算出AF=EF=7,则根据勾股定理可计算出CF,从而得到AC=6,接着利用ACH为等腰直角三角形得到AH=CH=6,然后利用勾股定理计算出CD,从而得到BC的长.【详解】延长ADE使DE=AD=7,连接CE,作EFACF,作CHADH,如图,AD是中线,BD=CDADBEDC中,∴△ADB≌△EDCSAS),EC=AB=10Rt△AEF中,∵∠DAC=45°AE=14AF=EFAE=7Rt△CEF中,CFAC=AFCF=6Rt△ACH中,∵∠HAC=45°AH=CHAC=6DH=ADAH=1Rt△CDH中,CDBC=2CD=故答案为点评本题考查了三角形的角平分线、中线和高:熟练掌握三角形高、中线的定义;构造等腰直角三角形是解答此题的关键.116【解析】【分析】延长AD,过点C于点F,证明,再根据全等三角形的性质得到【详解】解:如图,延长AD,过点C于点F∵AD的中线,中,,即点CAD的距离是6点评本题考查全等三角形的性质和判定,解题的关键是利用倍长中线的方法做辅助线构造全等三角形,利用全等三角形的性质求解.12.(1;(2AE2+BF2EF2,证明见解析【解析】【分析】1)由三角形的中位线定理得DE∥BCDEBC,进而证明四边形CEDF是矩形得DECF,得出CF,再根据勾股定理得结果;2)过点BBM∥AC,与ED的延长线交于点M,连接MF,证明△ADE≌△BDMAEBMDEDM,由垂直平分线的判定定理得EFMF,进而根据勾股定理得结论.【详解】解:(1∵DAB的中点,E是线段AC的中点,∴DE∥BCDEBC∵∠ACB90°∴∠DEC90°∵DF⊥DE∴∠EDF90°四边形CEDF是矩形,∴DECFBC∴CFBF1∵CEAE2∴EF2AE2+BF2EF2证明:过点BBM∥AC,与ED的延长线交于点M,连接MF∠AED∠BMD∠CBM∠ACB90°∵D点是AB的中点,∴ADBD△ADE△BDM中,∴△ADE≌△BDMAAS),∴AEBMDEDM∵DF⊥DE∴EFMF∵BM2+BF2MF2∴AE2+BF2EF2点评本题主要考查了直角三角形的性质,全等三角形的性质与判定,勾股定理,垂直平分线的判定,关键在于构造全等三角形.13.详见解析【解析】【分析】延长ADM,使DM=AD,连接BM,根据SAS推出△BDM≌△CDA,根据全等三角形的性质得出BM=AC∠CAD=∠M,根据BF=AC可得BF=BM,推出∠BFM=∠M,求出∠AFE=∠EAF即可.【详解】如图,延长至点,使得,并连结是三角形的中线,中,,即点评本题考查了全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定的应用,主要考查学生的运用性质进行推理的能力,关键是能根据倍长中线法作出辅助线来构造全等三角形.14.(1;(23【解析】【分析】1)由同角的余角相等证得即可得出结论;(2)先由特殊角的三角函数值求出,再由相似比求出,并进一步得出,最后由面积公式得出的函数关系式;(3)利用边的中点构造三角形全等,再由勾股定理探究三者之间的数量关系.【详解】1.证明:.∵.2)在中,.∵边的中点,.中,..由(1)得,即.3.理由如下:如图2,延长,使.∴的中点,.∵.∵,则.∵.点评本题以直角三角形为载体,以旋转变换为切入点考查相似三角形的判定与性质、三角形全等的判断与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等核心知识,渗透数形结合、运动变化、函数方程等数学思想,检测探究、推理、运算等能力.15.(1.理由见解析;(2)成立,理由见解析;(3【解析】【分析】1)首先根据正方形和等腰直角三角形的性质得出三点共线,然后利用直角三角形斜边中线的性质即可证明,然后利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出,从而证明2)延长,使,连接,连接,首先通过SAS证明,从而利用全等三角形的性质及平行线的判定证明,进而可利用正方形和等腰直角三角形的性质证明,从而可证明结论仍然成立;3)连接,首先根据题意确定当在同一直线上时,有最小值,此时上,然后根据平行四边形的判定及性质得出有最小值就是的长,最后利用勾股定理求解即可.【详解】解:(1理由如下:如图1,连接正方形和等腰三点共线.的中点,2)仍然成立.理由如下:如图2,延长,使,连接,连接是正方形,是等腰直角三角形,为等腰直角三角形.3)如下图,连接在同一直线上时,有最小值,此时上,四边形是平行四边形,,由(2)知有最小值,就是的长,由勾股定理得点评本题主要考查四边形综合,掌握平行四边形的判定及性质,等腰三角形的性质,正方形的性质,全等三角形的判定及性质是解题的关键.                   

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