中考数学二轮复习培优专题54压轴题之猜想证明类 (含答案)

这是一份中考数学二轮复习培优专题54压轴题之猜想证明类 (含答案)，共50页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
54第12章压轴题之猜想证明类

一、选择题
1．如图，∠ACB=90°，AC=BC，CD平分∠ACB，点D，E关于CB对称，连接EB并延长，与AD的延长线交于点F，连接DE，CE．对于以下结论：
①DE垂直平分CB；②AD=BE；③∠F不一定是直角；④EF2＋DF2=2CD2．
其中正确的是(　　)

A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】D
【分析】根据点D，E关于CB对称，可得CB垂直平分DE，即可判断①错误；根据CB垂直平分DE，连接BD，可得BD=BE，证明△ACD≌△BCD，可得AD=BD，即可判断②；结合①②证明△ACD≌△BCD≌△BCE，可得∠CAD=∠CEB=(180°-45°)=67.5°，∠FED=67.5°-45°=22.5°，进而证明角F的度数，即可判断③；在Rt△FDE中，根据勾股定理，得EF2+DF2=DE2，根据∠DCE=90°，CD=CE，即可判断④．
【解答】①∵点D、E关于CB对称，
∴CB垂直平分DE，
所以①错误；
②连接BD，如图，

∵CB垂直平分DE，
∴BD=BE，
∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
在△ACD和△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD(SAS)，
∴AD=BD，
∴AD=BE，
所以②正确；
③∵CB垂直平分DE，
∴BD=BE，CD=CE，
在△BCD和△BCE中，
，
∴△BCD≌△BCE(SSS)，
∴△ACD≌△BCD≌△BCE，
∴∠ACD=∠DCB=∠ECB=45°，
∴CA=CD=CB=CE，
∴∠CAD=∠CEB=(180°-45°)=67.5°，
∵∠CED=∠CDE=(180°-∠DCB-∠ECB) =45°，
∴∠FED=67.5°-45°=22.5°，
∵∠CDE=∠ACD=45°，
∴DE∥AC，
∴∠FDE=∠A=67.5°，
∴∠F=180°-∠FDE-∠FED=90°，
所以③错误；
④在Rt△FDE中，根据勾股定理，得：
EF2+DF2=DE2，
∵∠DCE=∠DCB+∠ECB=90°，CD=CE，
∴DE2=CD2+CE2=2CD2，
∴EF2+DF2=2CD2，
所以④正确．
综上所述：正确的是②④．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
2．如图，过的对角线上一点作分别交于点分别交于点，那么图中四边形的面积与四边形的面积的大小关系是（ ）

A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】先证四边形BMKQ、四边形PKND是平行四边形得S△ABD＝S△BCD，S△BMK＝S△BQK，S△PKD＝S△NKD，据此可得．
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
又MN∥BC，PQ∥AB，
∴四边形BMKQ、四边形PKND是平行四边形，
∴S△ABD＝S△BCD，S△BMK＝S△BQK，S△PKD＝S△NKD，
∴S1＝S2，
故选：B．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质及对角线将平行四边形面积平分的性质．
3．已知的三条边长分别为6，8，12，过任一顶点画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
【答案】B
【分析】不妨设AB=6，AC=8，BC=12，分别作三边的垂直平分线，则可得三条，再分以AB、AC为腰和底进行讨论，可得出结论．
【解答】解：不妨设AB=6，AC=8，BC=12，分别作三边的垂直平分线，
如图1，则BD=AD，EA=EC，FB=FC，可知AE、BF、AD满足条件；

当AB为腰时，以点A为圆心，AB为半径画圆，分别交BC、AC于点G、H，
以B为圆心，AB为半径，交BC于点J，如图2，则AB=AG，AB=AH，BA=BJ，满足条件；

当AC为腰时，如图3，以点C为圆心，CA为半径画圆，交BC于点M，则CA=CM，满足条件；

当A为圆心AC为半径画圆时，与AB、BC都没有交点，
因为BC为最长的边，所以不可能存在以BC为腰的等腰三角形，
综上可知满足条件的直线共有7条.
故选B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，利用垂直平分线的性质及圆的基本性质找到满足条件的直线是解题的关键．
4．如图，在中，，，直角的顶点是中点，、分别交、于点、．给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．上述结论正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠PAE=∠BAC=45°，∠B=∠C=45°，PA⊥BC，可得∠C=∠PAE，根据直角三角形斜边中线的性质可得PA=PC，根据角的和差关系可得∠FPC=∠EPA，利用ASA可证明△EPA≌△FPC，根据全等三角形的性质可得AE=CF，PE=PF，由∠EPF=90°，可得△EPF是等腰直角三角形，可判定①②正确；根据全等三角形的性质可知S△EPA=S△FPC，可得S四边形AEPF=S△APC，由S△APC=S△ABC可判定③正确；只有当EF为△ABC的中位线时，EF=PC=PA，可判定④错误；综上即可得答案．
【解答】∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵点P为BC中点，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠PAE=∠PAC=45°，PA=PC，AP⊥BC，
∴∠C=∠PAC，
∵∠EPF=∠EPA+∠APF=90°，∠FPC+∠APF=90°，
∴∠EPA=∠FPC，
在△EPA和△FPC中，，
∴△EPA≌△FPC，
∴AE=CF，PE=PF，故①正确，
∵∠EPF=90°，
∴△EPF是等腰直角三角形，故②正确，
∵△EPA≌△FPC，
∴S△EPA=S△FPC，
∴S四边形AEPF=S△EPA+S△PAF=S△FPC+S△PAF=S△APC，
∵PC=BC，
∴S△APC=S△ABC，
∴S四边形AEPF=S△ABC，故③正确，
只有当EF为△ABC的中位线时，EF=PC=PA，故④错误；
综上所述：正确的结论有①②③，共3个，
故选：C．

【点评】本题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
5．如图，在中，，，是边上的动点（不与点重合），将沿所在直线翻折，得到，连接， 则下面结论错误的是（ ）

A．当时，
B．当时，∠
C．当 时，
D．长度的最小值是1
【答案】C
【分析】A．根据折叠性质和三角形内角和定理可证∠AB´P=∠CPB´，从而可证；

Ｂ．根据折叠性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知PA=PB=PC=PB´,A、B、C、B´四点共圆，根据圆周角定理即可求出；
C．根据相似三角形的判定证得△PAC∽△CAB，再根据相似三角形的对应边成比例求得AP的值，即可判断错误；
D. 根据两点之间线段最短，求得长度的最小值，即可判断此结论正确．
【解答】在△ABC中，∠ACB=90°， AP=BP，
∴AP=BP=CP，∠BPC=
由折叠的性质可得
CP=B´P，∠ CPB´=∠BPC=
∴ AP=B´P，
∴∠AB´P =∠B´AP=
∴∠ AB´P=∠CPB´
∴AB´ // CP
故A正确；


∵AP=BP，
∴PA=PB´=PC=PB，
∴点A,B´，C，B在以点P为圆心，PA长为半径的圆上
由折叠的性质可得BC= B´C，
∴
∴∠B´PC=2∠B´AC
故B正确；
当CP⊥AB时，∠APC=∠ACB
∵∠PAC=∠CAB
∴△PAC∽△CAB
∴
∵在Rt△ABC中，AC=
∴AP=
故C错误；
由轴对称的性质可知：
BC=CB´=3
∵CB´长度固定不变，
∴当AB´+CB´有最小值时，AB´的长度有最小值
根据两点之间线段最短可知：
当A、B´、C三点在一条直线上时，AB´有最小值，
∴AB´=AC- B´C=4-3=1
故D正确
故选：C
【点评】本题考查折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆周角的定理，根据折叠性质得出相等的线段或相等的角是解决问题的关键．
6．如图，中，，是上一点，且，是上任一点，于点，于点，下列结论：①是等腰三角形；②；③；④，其中正确的结论是（ ）

A．①② B．①③④ C．①④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADB＝∠C＋∠DBC，然后求出∠C＝∠DBC，再根据等角对等边可得DC＝DB，从而判断①正确；没有条件说明∠C的度数，判断出②错误；连接PD，利用△BCD的面积列式求解即可得到PE＋PF＝AB，判断出③正确；过点B作BG∥AC交FP的延长线于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠C＝∠PBG，∠G＝∠CFP＝90°，然后求出四边形ABGF是矩形，根据矩形的对边相等可得AF＝BG，根据然后利用“角角边”证明△BPE和△BPG全等，根据全等三角形对应边相等可得BG＝BE，再利用勾股定理列式求解即可判断④正确．
【解答】在△BCD中，∠ADB＝∠C＋∠DBC，
∵∠ADB＝2∠C，
∴∠C＝∠DBC，
∴DC＝DB，
∴△DBC是等腰三角形，故①正确；
无法说明∠C＝30°，故②错误；
连接PD，则S△BCD＝BD•PE＋DC•PF＝DC•AB，
∴PE＋PF＝AB，故③正确；
过点B作BG∥AC交FP的延长线于G，
则∠C＝∠PBG，∠G＝∠CFP＝90°，
∴∠PBG＝∠DBC，四边形ABGF是矩形，
∴AF＝BG，
在△BPE和△BPG中，
，
∴△BPE≌△BPG（AAS），
∴BG＝BE，
∴AF＝BE，
在Rt△PBE中，PE2＋BE2＝BP2，
即PE2＋AF2＝BP2，故④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：B．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出矩形和全等三角形是解题的关键．
7．横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，一列有规律的整点，其坐标依次为，，，，，，，根据这个规律，第个整点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图像，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，计算即可得到答案．
【解答】补充作图，如下图，

由图可知，点是第1个点，点是第9个点，点是第25个点，，
观察图可知，直线上共有个点，
又因为且
，
所以第2019个点在直线上且在点上方相距6个单位长度，
所以第2019个点为
故选A．
【点评】本题主要考查坐标的确定，能根据已知条件发现点的规律是解题的关键．
8．如图，已知：在等腰中，，BE平分，交AC于F，且于点E，BC边上的中线AD交BE于G，连接DE，则下列结论正确的是（ ）

①；②；③；④；⑤
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤
【答案】B
【分析】过点F作FP⊥BC于点P，延长BA，CE交于点H，通过证明∠AGF=∠AFG判断①；再证明∠ABE=∠BED，根据平行线的判定得到②；再通过证明证明△ABF≌△ACH得到BF=CH，从而证明△HEB≌△CEB，得到CE=EH，可判断③；证明Rt△ABF≌Rt△PBF，得到AB+AF=BP+FP，再通过说明△FPC是等腰直角三角形得到FP=CP，即可判断④；最后证明△ABF∽△DBG，得到BG和BF的比，利用BF和CE的关系判断⑤.
【解答】解：过点F作FP⊥BC于点P，延长BA，CE交于点H，
∵BE平分，为等腰直角三角形，D为BC中点，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°，AF=PF，
∴∠BGD=∠AGF=∠AFG，
∴AG=AF，故①正确，
∵∠BEC=90°，D为BC中点，
∴DE=BD=CD，
∴∠BED=∠DBE=22.5°=∠ABE，
∴AB∥DE，故②正确，
∵∠CAH=∠BAF=∠BEC=90°，
∴∠ACH+∠H=90°，∠ABF+∠H=90°，
∴∠ACH=∠ABF，
在△ABF和△ACH中，
，
∴△ABF≌△ACH（ASA），
∴BF=CH，
∵BE平分∠ABC，
∴∠HBE=∠CBE，
∵∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠BEH=90°，
在△HEB和△CEB中，
，
∴△HEB≌△CEB（ASA），
∴CE=EH，
∴CH=2CE，
∴BF=2CE，故③正确，
在Rt△ABF和Rt△PBF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△PBF（HL），
∴AB=PB，
在△PFC中，∠BCF=45°，∠FPC=90°，
∴FP=CP，
BP+CP=BP+FP=BC=AB+AF，故④错误，
∵∠ABG=∠CBG，∠BAF=∠GDB=90°，
∴△ABF∽△DBG，
∴，即BF=BG，
又∵BF=2CE，
∴BG=CE，故⑤正确.
故选B.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，综合性较强，解题的关键是结合所学知识逐项判定各选项，并且利用已经证明的结论来证明未知的结论.
9．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（ ）

①的面积的面积；
②；
③；
④．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【答案】B
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC=∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG=∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．
【解答】解：∵BE是中线，
∴AE=CE，
∴△ABE的面积=△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF=∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ACB+∠CAD=90°，
∴∠ABC=∠CAD，
∵∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG=∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠ACB=∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB=2∠ACF，
∴∠BAD=2∠ACF，
即∠FAG=2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出BH=CH，故④错误；
故选：B．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型．
10．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O作线段EF，使点E点F分别在边AD，BC上（不与四边形ABCD顶点重合），连结EB，EC设ED＝kAE，下列结论：①若k＝1，则BE＝CE；②若k＝2，则△EFC与△OBE面积相等：③若△ABE≌△FEC，则EF⊥BD．其中正确的是（ ）

A．① B．② C．③ D．②③
【答案】B
【分析】根据题意，不能证明△BAE≌△CDE，则①错误；根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，得到BF=2CF，结合面积的计算方法，即可判断②；连接DF，不能证明四边形DEBF是菱形，则③错误；然后得到答案．
【解答】解：当k＝1时，DE=AE，
不能证明△BAE≌△CDE，
∴BE≠CE；故①错误；
当k＝2时，DE=2AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EDO=∠FBO，
∵点O是BO的中点，
∴OB=OD，
∵∠EOD=∠FOB，
∴△EOD≌△FOB，
∴DE=BF，
∴ADDE=BCBF，
∴AE=CF，
∴BF=2CF，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
连接DF，如图：

∵△ABE≌△FEC，
∴AE=FC，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
不能证明DEBF是菱形，
∴EF与BD无法证明互相垂直，故③错误；
∴正确的选项只有②；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而分别进行判断．

二、填空题
11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E，交BD于G，过点D作DF⊥BC于F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论：①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四边形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．其中正确的结论是__．

【答案】①②④⑤
【分析】①根据余角的性质可判断即可；②根据角平分线的性质判断即可；④根据菱形的判定方法判断即可；⑤证明△ABG≌△FBG（AAS），得出∠BAE=∠BFG，证出∠BFG=∠C，再证出四边形GFCH是平行四边形，得出GF=CH，因此CH=DF，可判断⑤；③当∠C=30°时，∠ADF=2∠CDF；③不正确；即可得出答案．
【解答】解：①∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAE=90°，
∵AE⊥BC，
∴∠C+∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠C，①正确；
②作GM⊥AB交AB于M，如图所示：

∵BD平分∠ABC，AE⊥BC，
∴GM=GE，
∴S△ABG：S△EBG=AB·GM：BE·GE=AB：BE；②正确；
④∵∠AGD=∠ABD+∠BAE，∠ADG=∠CBD+∠C，∠BAE=∠C，∠CBD=∠ABD，
∴∠AGD=∠ADG，
∴AG=AD，
∵∠BAC=90°，BD平分∠ABC．DF⊥BC，
∴AD=DF，
∴AG=DF，
∵AE⊥BC，
∴AG∥DF，
∴四边形AGFD是平行四边形，
又∵AG=AD，
∴四边形AGFD是菱形；④正确；
⑤∵四边形AGFD是菱形；
∴∠AGD=∠FGD，GF=DF，∠ADB=∠FDB，
∴∠AGB=∠FGB，
在△ABG和△FBG中，
，
∴△ABG≌△FBG（AAS），
∴∠BAE=∠BFG，
∵∠BAE=∠C，
∴∠BFG=∠C，
∴GF∥CH，
∵GH∥BC，
∴四边形GFCH是平行四边形，
∴GF=CH，
∴CH=DF，⑤正确；
③∵四边形AGFD是菱形
∴∠ADF=2∠ADB，
当∠C=30°，∠CDF=60°，
则∠ADF=120°，
∴当∠C=30°，∠ADF=2∠CDF；③不一定正确；
故答案为：①②④⑤．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
12．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，AC＝10，BD＝8，则MN＝_____．

【答案】3
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到BM＝DM＝5，根据等腰三角形的性质得到BN＝4，根据勾股定理得到答案．
【解答】解：连接BM、DM，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴BM＝DM＝AC＝5，
∵N是BD的中点，
∴MN⊥BD，
∴BN＝BD＝4，
由勾股定理得：MN＝＝＝3，
故答案为：3．

【点评】此题主要考查矩形性质、等腰三角形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是熟知直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
13．如图，在中，平分，，，与的延长线交于，连接．过作于，交于．下列结论：①；②；③；④中，其中正确的有______（填序号）．

【答案】①②③④
【分析】①由，利用角平分线的性质可得，可得，，，四点共圆，由圆周角定理可得结论；②证明，利用全等三角形的性质可得结论；③由，易得，由等腰三角形的性质易得，得的面积；④由为等腰三角形易得，可得结论．
【解答】解：①平分，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
故此选项正确；
②在与中，
，
，
，
故此选项正确；
③，
，
，
，
，
故此选项正确；
④为等腰三角形，
，
，
故此选项正确；
正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质等，综合运用各性质定理是解答此题的关键．
14．如图，矩形中，点在边上(不与重合)，将矩形沿折叠，使点分别落在点处有下列结论：
①与互余；
②若平分则
③若直线经过点则
④若直线交边分别于当为等腰三角形时，五边形的周长为．其中正确结论的序号是_____________________．

【答案】①③④
【分析】①根据折叠的性质知,转化相关角度进行判断；
②根据折叠的性质知,再根据平分从而得出，从而求算正切值；
③直线经过点，此时，，从而求算,再根据相似求算EF，可得结论；
④当△DMN时等腰三角形时，可得均为等腰直角三角形，从而计算相应长度，可得结论．
【解答】解：①根据折叠的知
设
∴
∴， ①正确；
②根据折叠的性质知,再根据平分
∴ 即
∴ 即，②错误；
③直线经过点D：
∵
∴
∵
∴
∴ 解得：
∴
∴
∴，③正确；

④当△DMN时等腰三角形时，可得均为等腰直角三角形，如图：

∵
∴
∴五边形的周长=

④正确
故答案为：①③④
【点评】本题考查矩形折叠问题，同时与相似三角形、特殊角三角函数值、等腰三角形等相结合，转化相关的线段与角度之间的关系式解题关键．
15．已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点、，交坐标轴于、，且，连接.现有以下四个结论：①；②在点运动过程中，的面积始终不变；③连接，则；④不存在点，使得.其中正确的结论的序号是__________．

【答案】①②③
【分析】①由反比例函数图象上点的坐标特征用函数a的代数式表示出来b，并找出点C坐标，根据AC=3CD，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论；
②根据①得出A、C的坐标，由AB∥x轴找出B点的坐标，由此即可得出AB、AC的长度，利用三角形的面积公式即可得出结论；
③已知B(,)，C(a,)，D(a,0)，E(0,)四点坐标，B、C、D、E四点坐标，经过B、C两点的直线斜率k1=，经过D、E两点的直线斜率k2=，得出，即
④先假设，得到对应边成比例，列出关于a的等式，看a是否有解，即可求解．
【解答】①∵A(a,b)，且A在反比例函数的图象上，
∴
∵AC∥y轴，且C在反比例函数的图象上，
∴C(a,)
又∵AC=3CD，
∴AD=4CD，即
∴k=2．
故①正确
②由①可知：A(a,)，C(a,)
∵AB∥x轴，
∴B点的纵坐标为，
∵点B在反比例函数的函数图象上，
∴，解得：x=，
∴点B(,)，
∴AB=a−=，AC=−=
∴S=AB×AC=××=
∴在点A运动过程中，△ABC面积不变，始终等于
故②正确
③连接DE，如图所示


∵B(,)，C(a,)
∴经过B、C两点的直线斜率k1=
∵轴，轴
∴D(a,0)，E(0,)
∴经过D、E两点的直线斜率k2=
∴，即
故③正确
④假设
∴


∴
解得
∴当时，
故④错误
故答案为：①②③
【点评】本题是反比例函数的综合题目，考查了反比例函数性质，相似三角形的性质，一次函数斜率求法．

三、解答题
16．已知在平面直角坐标系内的位置如图，，，、的长满足关系式．
（1）求、的长；
（2）求点的坐标；
（3）在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）OA=4，OC=3；（2）；（3）存在，，，
【分析】（1）由平方的非负性、绝对值的非负性解题；
（2）作轴与点D，，再由全等三角形的对应边相等性质解题；
（3）分三种情况讨论，当当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC，或当点P在x轴的负半轴时，使CP=AC=5，或当点P在x轴的正半轴时，使AC=CP时，根据等腰三角形的性质解题．
【解答】解：⑴由.可知，
，
∴.
⑵作轴与点D，











⑶存在.
当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC，则为等腰三角形，P的坐标为；
当点P在x轴的负半轴时，使CP=AC，由勾股定理得，CP=AC=5，则为等腰三角形，P的坐标为；
当点P在x轴的正半轴时，使AC=CP，则为等腰三角形，
， ；
所以存在，点P或或．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、绝对值的非负性、平方的非负性、勾股定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，点的对应点为点，点在边上，将沿折叠，点的对应点也为点．

（1）的度数为______．
（2）设，当为何值时，为等腰三角形？
（3）能否为直角三角形？若能，请求出相应的值：若不能，请说明理由．
【答案】（1）；（2）或或；（3）或
【分析】（1）根据等腰三角形和折叠的性质，算出的度数；
（2）分情况讨论哪两个边是腰，用表示出的内角和，列式求出的值；
（3）分情况讨论哪个角是直角，同（2）根据的内角和，列式求出的值．
【解答】解：（1）∵，，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴；
（2）当时，，
，

在中，，解得；
当时，，
在中，，解得；
当时，，则，
在中，，解得，
综上：的值为或或；
（3）当时，
，解得；
当时，
∵，
∴，
，解得，
综上：的值为或．
【点评】本题考查等腰三角形的性质和折叠的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质进行求解．
18．问题提出：
（1）同一平面内的两条线段和，已知，，则线段最大值是______；最小值是______．
问题探究：
（2）如图，四边形中，，，，且，问是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

问题解决：（自行作图并解决）
（3）在中，，，以为一边作正方形，连接，问是否存在最大值或者最小值?若存在，求出相应最值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）5，1；（2）存在，6；（3）存在最大值，．
【分析】（1）根据三角形的三边关系定理、线段的和差即可得；
（2）如图（见解析），先根据旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后分点不在同一条直线上和点在同一条直线上两种情况，分别利用三角形的三边关系定理、线段和差求解即可得；
（3）如图（见解析），先根据旋转的性质可得，再根据勾股定理可得，然后分点不在同一条直线上和点在同一条直线上两种情况，分别利用三角形的三边关系定理、线段和差求解即可得．
【解答】（1）由题意，分以下两种情况：
①当点不在同一条直线上时，
由三角形的三边关系定理得：，
，即；
②当点在同一直线上时，
点B在点的中间时，则，
点C在点的中间时，则，
综上，线段AC的取值范围为，
则线段最大值是5，最小值是1，
故答案为：5，1；
（2）存在，求解过程如下：
如图，连接AC，将绕点C逆时针旋转，点A的对应点为点E，连接AE、BE、CE，
，
旋转后点D的对应点为点B，
由旋转的性质得：，
是等边三角形，
，
①当点不在同一条直线上时，
，即，
；
②当点在同一条直线上时，
，
，
综上，当点在同一条直线上时，AC有最大值，最大值为6；

（3）如图，将绕点B逆时针旋转，点E的对应点为点F，连接EF、BF、CF，
四边形ABCD是正方形，
，
旋转后点A的对应点为点C，
由旋转的性质得：，
在中，，
①当点不在同一条直线上时，
，
，即；
②当点在同一条直线上时，
，
综上，当点在同一条直线上时，有最大值，最大值为．

【点评】本题考查了三角形的三边关系定理、旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握利用旋转的性质作辅助线，构造等边三角形和直角三角形是解题关键．
19．（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______；

（2）问题解决：如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），见解析
【分析】（1）延长AD至E，使DE=AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；
（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出∠NBC=∠D，由SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，证出∠ECN=70°=∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出结论．
【解答】（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图①所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中，

∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE=AC=6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴10-6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8；
故答案为：2＜AD＜8；
（2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示
同（1）得，，

，，
，

在中，由三角形的三边关系得，


（3）
证明如下：
延长至点，使，连接，如图所示
，

在和中，，

，
，
，
在和中，
，．
，

【点评】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
20．八年级数学课上，老师出示了如图框中的题目．
如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由．

小华与同桌小明讨论后，进行了如下解答
（1）特殊情况入手探索：
当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：_______（填“”，“”或“”）

（2）一般情况进行论证：
对原题中的一般情形，二人讨论后得出（1）中的结论仍然成立，并且可以通过构造一个三角形与全等来证明．以下是他们的部分证明过程：
证明：如图2，过点作，交于点．（请完成余下的证明过程）

图2
（3）应用结论解决问题：
在边长为的等边三角形中，点在直线上，且，点在直线上，．则_______（直接写出结果）
【答案】（1）；（2）见解析；（3）或
【分析】（1）根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质得出∠D=∠BED=30°，根据等角对等边得出BE=BD，即可证得AE=DB；
（2）过点E作EF∥BC，先证得△AEF是等边三角形，进而证得∠DBE=∠EFC=120°，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠D=∠CEF，从而证得△DBE△EFC，得出AE=DB；
（3）分两种情况：①点E在线段AB上，②点E在BA的延长线上，再判定三角形全等，进而求出BD的长，即可求解．
【解答】（1）当点E为AB的中点时，如图1，结论：AE=DB，

理由：∵△ABC是等边三角形，点E为AB的中点，
∴∠BCE=30°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠D=∠BED=30°，
∴BD=BE，
∵AE=BE，
∴AE=DB；
（2）题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB，
理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．

∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠BCE=∠CEF，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF，
∵DE=CE，
∴∠D=∠BCE，
∴∠D=∠CEF，
∵∠ABC=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE△EFC（AAS），
∴EF=DB，
∴AE=DB；
（3），的边长为，
点可能在线段上，也可能在的延长线上，
当点在时，由（2）可知，则，
当点在的延长线上时，如图3，过点作，交的延长线于点，

是等边三角形，

，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
在和中，





【点评】考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形全等的判定和性质，本题关键是添加平行线，构造全等三角形，以及熟练掌握分类讨论思想．
21．（1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，如图1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，则PB_______PC（填“”“”或“=”）；
（2）探索：如图2，小明发现，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则，请帮小明说明原因．
（3）应用：如图3，在小区三条交叉的道路AB，BC，CA上各建一个菜鸟驿站D，P，E，工作人员每天来回的路径为P→D→E→P，
①问点P应选在BC的何处时，才能使PD+DE+PE最小？
②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，则PD+DE+PE的最小值是多少？

【答案】（1）=；（2）证明见解析；（3）①当AP⊥BC于P时，PD+DE+PE最小；②4．
【分析】（1）根据角平分线的性质即可得出结论；
（2）过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质可得DE=DF，然后根据三角形的面积公式即可证出结论；
（3）①过点A作AP⊥BC于P，分别作点P关于AB、AC的对称点P1、P2，连接P1P2分别交AB、AC于D、E，连接PD、PE、AP1、AP2即可；
②根据三角形的面积公式即可求出AP，然后根据对称的性质可得AP1=AP=AP2=4，DP1=DP，EP2=EP，∠DAP1=∠DAP，∠EAP2=∠EAP，从而证出△P1AP2是等边三角形，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，
∴PB=PC
故答案为：=；
（2）理由：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F

∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF
∴；
（3）①过点A作AP⊥BC于P，分别作点P关于AB、AC的对称点P1、P2，连接P1P2分别交AB、AC于D、E，连接PD、PE、AP1、AP2，

由对称的性质可得AP1=AP=AP2，DP1=DP，EP2=EP，
∴PD+DE+PE= DP1+DE+ EP2= P1P2，根据两点之间，线段最短和垂线段最短，即可得出此时PD+DE+PE最小，即P1P2的长
即当AP⊥BC于P时，PD+DE+PE最小；
②∵S△ABC=10，BC=5，
∴BC·AP=10
解得：AP=4
由对称的性质可得AP1=AP=AP2=4，DP1=DP，EP2=EP，∠DAP1=∠DAP，∠EAP2=∠EAP
∴∠DAP1＋∠EAP2=∠DAP＋∠EAP=∠DAE=30°
∴∠P1AP2=60°
∴△P1AP2是等边三角形
∴P1P2= AP1=4
即PD+DE+PE的最小值是4．
【点评】此题考查的是角平分线的性质、对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短的应用和等边三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质、对称的性质、两点之间线段最短的应用和等边三角形的判定及性质是解题关键．
22．如图，钝角中，，为上一点，，为上一点，．

（1）作于，交的延长线于．
①判断与的大小关系，并说明理由．
②求证；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）①；证明见解析；②证明见解析；（2）
【分析】（1）①由题意易得，作于，，则有，进而问题得解；②由题意易得，进而可得，由①知，，然后问题得证；
（2）作交射线于，交的延长线于，则有，由（1）可知，，进而根据勾股定理，得，然后可求，，，最后利用勾股定理可求解．
【解答】解：（1）①,理由是：
∵，于，
∴，
∵作于，，
∴，
∴．
②∵，
∴，
∴，
∴，即，
由①知，，
∴（）．

（2）作交射线于，交的延长线于

∵，，
∴，由（1）可知，，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理，得，
∴，
∴，，
∴，，，
∴，
∴的长为．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定、勾股定理及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、勾股定理及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
23．在△ABC中，AC=BC，CD是AB边上的高．
问题发现：
（1）如图1，若∠ACB=90°，点E是线段AB上一个动点(点E不与点A，B重合)，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转90°，得到线段CF，连接BF，我们会发现CD，BE，BF之间的数量关系是CD=(BE+BF)，请你证明这个结论；
提出猜想：
（2）如图2，若∠ACB=60°，点E是线段AB上一个动点(点E不与点A，B重合)，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60º，得到线段CF，连接BF，猜想线段CD，BE，BF之间的数量关系是 ；
拓广探索：
（3）若∠ACB=α，CD=k·AB(k为常数)，点E是线段AB上一个动点(点E不与点A，B重合)，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转α，得到线段CF，连接BF，请你利用上述条件，根据前面的解答过程得出类似的猜想，并在图3中画出图形，标明字母，不必解答．

【答案】（1）证明见解析；（2）CD=（BF+BE）；（3）图形见解析，CD=k（BF+BE）
【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质证得CD=AB，根据同角的余角相等可得∠ACE=∠BCF，再由旋转的性质得CE=CF，然后根据SAS可证得△ACE≌△BCF，则有AE=BF，即AB=AE+BE=BF+BE即可得证；
（2）根据等边三角形的性质可求得CD=AB，仿照（1）中证明方法即可得出线段CD，BE，BF之间的数量关系；
（3）根据题意画出图形，仿照（1）中证明过程即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC中，AC=BC，CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴CD=AB，
由旋转的性质得：∠ECF=90°，CE=CF，
∵∠ACB=∠ACE+∠ECB=90°，∠ECF=∠BCF+∠ECB=90°，
∴∠ACE=∠BCF，又AC=AB，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，
∴AB=AE+BE=BF+BE，
∴CD=AB=（BF+BE）；
（2）△ABC中，AC=BC，∠ACB=60°，
∴△ACB为等边三角形，又CD⊥AB，
∴AC=AB，AD=AB，
∴在Rt△ACD中，CD=，
由旋转的性质得：∠ECF=60°，CE=CF，
∵∠ACB=∠ACE+∠ECB=60°，∠ECF=∠BCF+∠ECB=60°，
∴∠ACE=∠BCF，又AC=AB，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，
∴AB=AE+BE=BF+BE，
∴CD=AB=（BF+BE）；
（3）如图，由旋转的性质得：∠ECF=α，CE=CF，
∵∠ACB=∠ACE+∠ECB=α，∠ECF=∠BCF+∠ECB=α，
∴∠ACE=∠BCF，又AC=AB，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，
∴AB=AE+BE=BF+BE，
∴CD=kAB=k（BF+BE）．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质，熟练掌握这些性质的运用，利用旋转的性质，借助全等三角形性质证明AE=BF是解答的关键．
24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点．
（1）若GE⊥GF，点E，F分别在AB，AC上，当点G与点D重合时，如图①所示，容易证明AE+AF＝AD．当点G在线段AD外时，如图②所示，点E与点B重合，猜想并证明AE，AF与AG存在的数量关系．
（2）当点G在线段AD上时，AG+BG+CG的值是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）AE+AF＝AG，证明见解析；（2）存在，最小值为3+3．
【分析】（1）如图，过点G作HG⊥AG交AB延长线于点H，由等腰直角三角形可得∠DAB＝∠DAC＝45°，AG＝HG，由“ASA”可证△AGF≌△HGE，可得AF＝BH，可得结论；
（2）如图，将△ABG绕点A顺时针旋转60°得到△AB'G'，连接GG'，B'C，过点B'作B'N⊥AC，交CA的延长线于点N，由旋转的性质可得AG+BG+CG＝GG'+B'G'+CG，则当点B'，点G'，点G，点C共线时，AG+BG+CG的值最小，最小值为B'C的长，由30°角所对直角边是斜边一半和勾股定理可求解．
【解答】解：（1）AE+AF＝AG，理由如下：如图②，过点G作HG⊥AG交AB延长线于点H，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC，
∴∠DAB＝∠DAC＝45°，
∴∠AHG＝∠BAD＝45°，
∴AG＝HG，
∴AH＝AG，
∵∠EGF＝∠AGH＝90°，
∴∠AGF＝∠EGH，
又∵∠AHG＝∠FAG＝45°，
∴△AGF≌△HGE（ASA），
∴AF＝BH，
∴AH＝AE+BH＝AE+AF＝AG；
（2）如图③，将△ABG绕点A顺时针旋转60°得到△AB'G'，连接GG'，B'C，过点B'作B'N⊥AC，交CA的延长线于点N，

∴AB＝AB'＝6，AG＝A'G，∠BAB'＝60°，∠GAG'＝60°，BG＝B'G'，
∴△AGG'是等边三角形，
∴AG＝GG'，
∴AG+BG+CG＝GG'+B'G'+CG，
∴当点B'，点G'，点G，点C共线时，AG+BG+CG的值最小，最小值为B'C的长，
∵∠B'AC＝∠B'AB+∠BAC＝60°+90°＝150°，
∴∠B'AN＝30°，
∴B'N＝3，AN＝B'N＝3，
∴CN＝6+3，
∴B'C＝＝＝，
∴AG+BG+CG的最小值为．
【点评】（1）考查综合运用旋转的知识作辅助线证明的能力．对于与等腰直角三角形有关的证明题往往要进行图形的90°旋转，把要证明的要素集中到一个熟悉的图形中进行．（2）考查综合利用旋转的知识解决几何最值问题．对于线段和或差的最值问题，常常要通过轴对称和旋转60°把要求的线段之和或差转化为俱有固定端点的折线，然后据两点之间线段最短来解决．
25．已知AC＝AB，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝α （0°＜α≤90°）．

（1）观察猜想
如图1，当α＝90°时，请直接写出线段CD与BE的数量关系：　 　，位置关系：　 　；
（2）类比探究
如图2，已知α＝60°，F，G，H，M分别是CE，CB，BD，DE的中点，写出GM与FH的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）解决问题
如图，已知：AB＝2，AD＝3，F，G，H，M分别是CE，CB，BD，DE的中点，将△ABC绕点A旋转，直接写出四边形FGHM的面积S的范围（用含α的三角函数式子表示）．
【答案】（1）BE＝CD，BE⊥CD；（2）GM＝FH，GM⊥FH，证明见解析；（3）sinα≤S≤sinα．
【分析】（1）由“SAS”可证△ACD≌△ABE，可得CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，由余角的性质可证BE⊥CD；
（2）结论：GM＝FH，GM⊥FH．利用全等三角形的性质证明四边形FGHM是菱形即可解决问题；
（3）证明四边形FGHM是菱形，S＝GH2•sinα，求出GH的取值范围即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，设CD与AB交于点N，与BE交于点O，

∵∠CAB＝∠DAE＝90°
∴∠DAC＝∠EAB，
又∵AC＝AB，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，
∵∠ANC＝∠BNO，
∴∠CAN＝∠BON＝90°，
∴BE⊥CD，
故答案为：BE＝CD，BE⊥CD；
（2）如图，结论：GM＝FH．GM⊥FH，

理由：连接CD，BE，CD交BE于O，连接FG，GH，HM，MF，
∵∠CAB＝∠EAD＝60°，
∴∠CAD＝∠BAE，
∵AC＝AB，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，
∴∠BOC＝∠CAB＝60°，
∵F，G，H，M分别是CE，CB，BD，DE的中点，
∴GF∥BE，HM∥BE，FM∥CD，GH∥CD，GF＝HM＝BE，FM＝GH＝CD，
∴∠FGH＝60°，GF＝FM＝MH＝HG，
∴四边形FGHM是菱形，△GFH是等边三角形，
∴FH⊥GM，∠GFH＝60°，
∴tan∠GFH＝＝，
∴GM＝FH；
（3）如图，连接CD，BE，CD交BE于J，交AB于O，过点F作FT⊥GH于T，BE交GH于K，

∵∠CAB＝∠EAD＝α，
∴∠CAD＝∠BAE，
∵AC＝AB，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，
∵∠AOC＝∠BOJ，
∴∠BJC＝∠CAB＝α，
∵F，G，H，M分别是CE，CB，BD，DE的中点，
∴GF∥BE，HM∥BE，FM∥CD，GH∥CD，GF＝HM＝BE，FM＝GH＝CD，
∴GF＝FM＝MH＝HG，
∴四边形FGHM是菱形，
∴∠FGH＝∠AKH＝∠CJB＝α，
∴四边形FGHM的面积＝GH•FG•sinα＝GH2•sinα，
∵AC＝2，AD＝3，
∴1≤CD≤5，
∵GH＝CD，
∴≤GH≤，
∴sinα≤S≤sinα．
【点评】本题考查几何证明题，涉及全等三角形的性质和判定，菱形的性质和判定，中位线定理和锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握这些性质定理并结合题目条件进行证明求解．