中考数学二轮复习专题训练题型01 操作类试题（教师版）

这是一份中考数学二轮复习专题训练题型01 操作类试题（教师版），共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

题型01 操作类试题
一、单选题
1．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的面积是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
【详解】解：由作法得平分，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
所以的面积．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了交平分线的性质．
2．如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若，，则的周长为（　　）

A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】C
【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到，，，再根据是等边三角形，即可得到的周长为．
【详解】由折叠可得，，
，
又，
，
，
，
由折叠可得，，
，
是等边三角形，
的周长为，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3．如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用旋转的性质得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以选项A、C不一定正确
再根据等腰三角形的性质即可得出，所以选项D正确；再根据∠EBC
=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB判断选项B不一定正确即可．
【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，
∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=,
∴选项A、C不一定正确
∴∠A =∠EBC
∴选项D正确．
∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于，
∴选项B不一定正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
4．如图，菱形的对角线，交于点，，将沿点到点的方向平移，得到，当点与点重合时，点与点之间的距离为( )

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由菱形性质得到AO，BO长度，然后在利用勾股定理解出即可
【详解】由菱形的性质得

为直角三角形

故选C
【点睛】本题主要考查直角三角形勾股定理以及菱形的性质，本题关键在于利用菱形性质求出直角三角形的两条边
5．4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用a、b的代数式分别表示，，再根据，得，整理，得，所以．
【详解】解：，
，
∵，
∴，
整理，得，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
6．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中是折痕．若正方形与五边形的面积相等，则的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，根据剪纸的过程以及折叠的性质得PH＝MF且正方形EFGH的面积＝×正方形ABCD的面积，从而用a分别表示出线段GF和线段MF的长即可求解．
【详解】连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图：

由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PH＝MF，
设正方形ABCD的边长为2a，
则正方形ABCD的面积为4a2，
∵若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等
∴由折叠可知正方形EFGH的面积＝×正方形ABCD的面积＝，
∴正方形EFGH的边长GF＝ ，
∴HF＝GF＝ ，
∴MF＝PH＝，
∴ .
故选A．
【点睛】本题考查了剪纸问题、正方形的性质以及折叠的性质，根据剪纸的过程得到图形中边的关系是解决问题关键．
7．如图，矩形与菱形的对角线均交于点，且，将矩形折叠，使点与点重合，折痕过点．若，，，则的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长交于点，连接、；由四边形是菱形，，得，，，，根据根据折叠性质，再证四边形为菱形，得是梯形的中位线，根据中位线性质求解.
【详解】延长交于点，连接、；如图所示：
则，为直角三角形，
∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴，
由折叠的性质得：，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，
根据题意得：是梯形的中位线，
∴，
∴；
故选：A．

【点睛】考核知识点：矩形折叠，菱形判定和性质，三角函数.理解折叠的性质是关键.
8．如图，直线是矩形的对称轴，点在边上，将沿折叠，点恰好落在线段与的交点处，，则线段的长是（　　）

A．8 B． C． D．10
【答案】A
【分析】根据正方形的性质及折叠的特点得到，，再根据含30°的直角三角形的性质即可求解.
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
由题意得：，，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，；
故选：A．
【点睛】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质与特点.
9．如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若，则等于（ ）

A．2 B．3 C．4 D．
【答案】B
【分析】由 S△ABC＝16、S△A′EF＝9且 AD为 BC边的中线知 ， ，根据△DA′E∽△DAB知 ，据此求解可得．
【详解】、，且为边的中线，
，，
将沿边上的中线平移得到，
，
，
则，即，
解得或（舍），
故选：．
【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的
性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
10．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC′沿BD翻折，得到△，DC与AB交于点E，连结，若AD=AC′=2，BD=3则点D到BC的距离为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接CC′，交BD于点M，过点D作DH⊥BC于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC’，BD垂直平分CC，证△ADC为等边三角形，利用解直角三角形求出DM=1，CM= =，BM=2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC′的长，在△BDC中利用面积法求出DH的长.
【详解】
解：如图，连接CC′，交BD于点M，过点D作DH⊥BC′于点H，
∵AD=AC'=2，D是AC边上的中点，
∴DC=AD=2，
由翻折知，△BDC≌△BDC′，BD垂直平分CC′，
∴DC=DC′=2，BC=BC′，CM=C′M，
∴AD=AC'=DC′=2，
∴△ADC′为等边三角形，
∴∠ADC=∠AC′D=∠C′AC=60°，
∵DC=DC′，
∴∠DCC′=∠DC′C= ×60°=30°，
在Rt△CDM中，∠DC′C=30°，DC′=2，
∴DM=1，C′M=DM= ，
·.BM=BD-DM=3-1=2，
在Rt△BMC中，BC′=


∴.BM=BD-DM=3-1=2,
在Rt△C'DM中，

∴
∴
故选B.
【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度.
二、填空题
11．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为____cm2.（结果保留一位小数）

【答案】1.9
【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【详解】解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．

经过测量，AB=2.2cm，CD=1.7cm，
（cm2）．
故答案为：1.9．
【点睛】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．
12．如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为点，D点的对称点为点，若，的面积为4，的面积为1，则矩形ABCD的面积等于_____.

【答案】.
【分析】根据相似三角形的判断得到△A'EP～△D'PH，由三角形的面积公式得到S△A'EP，再由折叠的性质和勾股定理即可得到答案.
【详解】∵A'E∥PF
∴∠A'EP=∠D'PH
又∵∠A=∠A'=90°，∠D=∠D'=90°
∴∠A'=∠D'
∴△A'EP～△D'PH
又∵AB=CD，AB=A'P，CD=D'P
∴A'P= D'P
设A'P=D'P=x
∵S△A'EP：S△D'PH=4：1
∴A'E=2D'P=2x
∴S△A'EP=
∵
∴
∴A'P=D'P=2
∴A'E=2D'P=4
∴
∴
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质.
13．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．图中，____度．

【答案】36
【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】，是等腰三角形，
度．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质． 解题关键在于知道n边形的内角和为：180°（n﹣2）．
14．如图，有一张矩形纸片，．先将矩形纸片折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；再将沿翻折，与相交于点，则的周长为_____．

【答案】
【分析】根据折叠的性质得到，根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，根据周长公式计算即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，，
∴，
∴，
由题意得，四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
则的周长，
故答案为：
【点睛】考核知识点：矩形的折叠问题.运用矩形性质分析问题是关键.
15．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________cm.

【答案】
【分析】过点A作AH⊥DE，垂足为H，由旋转的性质可得 AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠HAE=45°，AH=3，进而得∠HAF=30°，继而求出AF长即可求得答案.
【详解】过点A作AH⊥DE，垂足为H，
∵∠BAC=90°，AB=AC，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，
∴AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，
∴DE=，∠HAE=∠DAE=45°，
∴AH=DE=3，∠HAF=∠HAE-∠CAE=30°，
∴AF=，
∴CF=AC-AF=，
故答案为：.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，正确添加辅助线构建直角三角形、灵活运用相关知识是解题的关键.
16．如图在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点落在对角线上，求______.

【答案】
【分析】作于点，构造直角三角形，运用勾股定理求解即可.
【详解】作于点，

由折叠可知：，，
∴正方形边长
∴.
故答案为：.
【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，
17．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则_____．

【答案】．
【分析】利用基本作图得BD平分，再计算出，所以，利用得到，然后根据三角形面积公式可得到的值．
【详解】解：由作法得平分，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴.
故答案为．
【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
18．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”. 由边长为的正方形可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型(其中点分别与图2中的点重合，点在边上)，则“拼搏兔”所在正方形的边长是_____.

【答案】
【分析】如图3中，连接CE交MN于O，先利用相似求出OM、ON的长，再利用勾股定理解决问题即可．
【详解】如图3， 连结交于.
观察图1、图2可知， ，.

图3
∴，
∴，
∴.
在中， ，同理可求得，
∴，即“拼搏兔”所在正方形的边长是.
故答案为：4
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
19．如图，过点C(3,4)的直线交轴于点A，∠ABC=90°，AB=CB，曲线过点B，将点A沿轴正方向平移个单位长度恰好落在该曲线上，则的值为________．

【答案】4
【分析】分别过点B、点C作轴和轴的平行线，两条平行线相交于点M，与轴的交点为N．将C(3,4)代入可得b=-2，然后求得A点坐标为(1,0)，证明△ABN≌△BCM，可得AN=BM=3，CM=BN=1，可求出B(4,1)，即可求出k=4，由A点向上平移后落在上，即可求得a的值.
【详解】分别过点B、点C作轴和轴的平行线，两条平行线相交于点M，与轴的交点为N，则∠M=∠ANB=90°，
把C(3,4)代入，得4=6+b，解得：b=-2，
所以y=2x-2，
令y=0，则0=2x-2，解得：x=1，
所以A(1，0)，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBM+∠ABN=90°，
∵∠ANB=90°，
∴∠BAN+∠ABN=90°，
∴∠CBM=∠BAN，
又∵∠M=∠ANB=90°，AB=BC，
∴△ABN≌△BCM，
∴AN=BM，BN=CM，
∵C(3，4)，∴设AN=m，CM=n，
则有，解得，
∴ON=3+1=4，BN=1，
∴B(4，1)，
∵曲线过点B，
∴k=4，
∴，
∵将点A沿轴正方向平移个单位长度恰好落在该曲线上，此时点A移动后对应点的坐标为(1，a)，
∴a=4，
故答案为：4.

【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，涉及了待定系数法，全等三角形的判定与性质，点的平移等知识，正确添加辅助线，利用数形结合思想灵活运用相关知识是解题的关键.
20．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，，，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．

（Ⅰ）线段AB的长等于_______________；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_____．
【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）如图，取圆与网格线的交点，连接与相交，得圆心；与网格线相交于点，连接并延长，交于点，连接并延长，与点的连线相交于点，连接，则点满足．

【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可求出AB的长
（Ⅱ）先确定圆心，根据∠EAF=取格点E、F并连接可得EF为直径，与AC相交即可确定圆心的位置，先在BO上取点P,设点P满足条件，再根据点D为AB的中点，根据垂径定理得出ODAB，再结合已知条件，得出，设PC和DO的延长线相交于点Q，根据ASA可得,可得OA=OQ，从而确定点Q在圆上，所以连接并延长，交于点，连接并延长，与点的连线相交于点，连接即可找到点P
【详解】（Ⅰ）解：
故答案为：
（Ⅱ）取圆与网格线的交点，连接，与相交于点O，
∵∠EAF=，∴EF为直径,
∵圆心在边AC上∴点O即为圆心
∵与网格线的交点D是AB中点，连接OD则ODAB，
连接OB，∵,OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=，∠DOA=∠DOB=，
在BO上取点P ，并设点P满足条件，∵
∵，
∴∠APO=∠CPO=，
设PC和DO的延长线相交于点Q，则∠DOA=∠DOB=∠POC=∠QOC=
∴∠AOP=∠QOP=，
∵OP=OP, ∴ ∴OA=OQ,
∴点Q在圆上，∴连接并延长，交于点，连接并延长，与点的连线相交于点，连接,则点P即为所求
【点睛】本题主要考查了应用与设计作图、勾股定理、垂径定理、三角形的全等的性质与判定、等腰三角形的性质等知识，是一道综合性较强的题目，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
三、解答题
21．按要求解答下列各题：
（1）如图①，求作一点，使点到的两边的距离相等，且在的边上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）如图②，表示两个港口，港口在港口的正东方向上．海上有一小岛在港口的北偏东方向上，且在港口的北偏西方向上．测得海里，求小岛与港口之间的距离．（结果可保留根号）

【答案】（1）见解析；（2）.
【分析】(1)作出∠ABC的平分线(以点B为圆心，以任意长为半径画弧，与AB、BC各交一点，然后分别以这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧在三角形内部交于一点，过点B及这个点作射线)交AC于点P即可；
(2)过点作于点，由题意得，，在中，求出AD的长，继而在中，求出AC长即可.
【详解】(1)如图所示：

作出的平分线
标出点.
(2)过点作于点，

由题意得，，
在中，
，
，
在中，
，
(海里)，
答：小岛与港口之间的距离是海里.
【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，解直角三角形的应用，正确掌握作角平分线的方法是解(1)的关键，添加辅助线构建直角三角形是解(2)的关键.
22．图①，图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段，在图②中已画出线段，其中均为格点，按下列要求画图：
⑴在图①中，以为对角线画一个菱形，且为格点；
⑵在图②中，以为对角线画一个对边不相等的四边形，且为格点，.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．
（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
【详解】解：（1）如图，菱形AEBF即为所求．
（2）如图，四边形CGDH即为所求．

【点睛】本题考查作图-应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，在的方格中，的顶点均在格点上，试按要求画出线段EF（E,F均为格点），各画出一条即可．

【答案】见解析.
【分析】图1，根据格点的特征，利用全等三角形画出图形即可；图2：根据格点的特征，利用全等三角形及两锐角互余的三角形为直角三角形画出图形即可；图3：根据格点的特征，结合线段垂直平分线的判定定理画出图形即可.
【详解】如图所示：

【点睛】本题考查了格点三角形中的作图，正确利用格点的特征是解决问题的关键．
24．按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
（1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：
①如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F;
②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析.
【分析】(1)作直径AC，分别以A、C为圆心，以大于AC的一半长为半径画弧，在AC的两侧分别交于点M、N，作直线MN交圆于点B，D，四边形ABCD即为所求；
(2)①连接AC、BD交于点O，则O为BD的中点，连接BE交CO于点G，连接DG并延长交BC于点F，则F即为所求；
②如图，利用网格特点连接BM，则可得直线BM⊥AC，连接CN，则可得直线CN⊥AB，两线交于点E，连接AE并延长交BC于点H，则AH即为所求.
【详解】(1)如图所示，四边形ABCD即为所求；

(2)①如图所示，点F即为所求；

②如图所示，AH即为所求.

【点睛】本题考查了尺规作图，无刻度直尺作图，熟练掌握尺规作图的方法以及无刻度直尺作图的方法是解题的关键.
25．如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．求证：
（1）；
（2）．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】(1)依据平行四边形的性质，即可得到，由折叠可得，，即可得到；
(2)依据平行四边形的性质，即可得出，，由折叠可得，，，即可得到，，进而得出．
【详解】(1)四边形是平行四边形，
，
由折叠可得， ，
，
，
；
(2)四边形是平行四边形，
，，
由折叠可得，，，
，，
又，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质以及折叠的性质是解题的关键.
26．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段为边画一个，使其面积为6．
（2）在图②中以线段为边画一个，使其面积为6．
（3）在图③中以线段为边画一个四边形，使其面积为9，且．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.
【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；
（2）直接利用三角形面积求法得出答案；
（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．
【详解】解：（1）如图①所示，即为所求；
（2）如图②所示，即为所求；
（3）如图③所示，四边形即为所求；

【点睛】考核知识点：作三角形和四边形.利用三角形面积公式求解是关键.
27．如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）
【分析】（1）根据题意可得，因此可得，又，则可得四边形是平行四边形，再根据可得四边形是菱形.
（2）设，则，再根据勾股定理可得x的值，进而计算出四边形的面积.
【详解】（1）证明：由题意可得，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵
∴四边形是菱形；
（2）∵矩形中， ，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得， ，
∴，
∴四边形的面积是：．
【点睛】本题主要考查菱形的判定，关键在于首先证明其是平行四边形，再证明两条临边相等即可.
28．综合与实践
动手操作：
第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，展开铺平.在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上.此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一直线上，折痕分别为CE，CF.如图2.
第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3
第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图5，图中的虚线为折痕.

问题解决：
(1)在图5中，∠BEC的度数是 ，的值是 ；
(2)在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；
(3)在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形： .
【答案】(1)67.5°；；(2)四边形EMGF是矩形，理由见解析；(3)菱形FGCH或菱形EMCH(一个即可).
【分析】(1)由正方形的性质可得∠B=90°，∠ACB=∠BAC=45°，根据折叠的性质可得∠BCE =22.5°，继而可求得∠BEC=67.5°，在Rt△AEN中，由sin∠EAN=可得AE=EN，即可求得；
(2)四边形EMGF是矩形，理由如下：由折叠的性质可得∠1=∠2=∠3=∠4=22.5°，CM=CG，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°，MC=ME，GC=GF，∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°，继而可得∠MEF=∠GFE=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得 ∠CMG=45°，由三角形外角的性质得∠BME=∠1+∠5=45°，根据平角的定义求得∠EMG=90°，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得到四边形EMGF是矩形；
(3) 如图所示，四边形EMCH是菱形，理由如下：先证明四边形EMCH是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明平行四边形EMCH是菱形.(同理四边形FGCH也是菱形).
【详解】(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，∠ACB=∠BCD=45°，∠BAC=∠BAD=45°，
∵折叠，
∴∠BCE=∠BCE=22.5°，BE=EN，∠ENC=∠B=90°，
∴∠BEC=90°-22.5°=67.5°，∠ANE=90°，
在Rt△AEN中，sin∠EAN=，
∴，
∴AE=EN，
∴，
故答案为：67.5°，；
(2)四边形EMGF是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BCD=∠D=90°，
由折叠可知：∠1=∠2=∠3=∠4=22.5°，CM=CG，
∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°，
由折叠可知：MH、GH分别垂直平分EC，FC，
∴MC=ME，GC=GF，
∴∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°，
∴∠MEF=∠GFE=90°，
∵∠MCG=90°，CM=CG，
∴∠CMG=45°，
又∵∠BME=∠1+∠5=45°，
∴∠EMG=180°-∠CMG-∠BME=90°，
∴四边形EMGF是矩形；

(3) 如图所示，四边形EMCH是菱形，理由如下：

由(2)∠BME=45°=∠BCA，
∴EM//AC，
∵折叠，
∴CM=CH，EM=CM，
∴EM=CH，
∴EM CH，
∴四边形EMCH是平行四边形，
又CM=EM，
∴平行四边形EMCH是菱形.
(同理四边形FGCH是菱形，如图所示
).
【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定，菱形的判定，解直角三角形等，正确把握相关知识是解题的关键.
29．（1）如图1，菱形的顶点、在菱形的边上，且，请直接写出的结果（不必写计算过程）
（2）将图1中的菱形绕点旋转一定角度，如图2，求；
（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且，此时的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．

【答案】（1）；（2）（3）有变化，
【分析】（1）连接，由菱形的顶点、在菱形的边上，且，易得，，共线，延长交于点，延长交于点，连接，交于点，则也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论；
（2）连接，，由和都是等腰三角形，易证与与，利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论；
（3）连接，，易证和，利用相似三角形的性质可得结论．
【详解】（1）连接，
∵菱形的顶点、在菱形的边上，且，
，，，
，，共线，，
，
延长交于点，延长交于点，连接，交于点，则也为菱形，
，，
，
∵，
，
∵为平行四边形，
，
．

（2）如图，连接，，

∵和都是等腰三角形，
，，
，
，
，
∵，
，
在和中，


，
．
（3）有变化．
如图，连接，，

∵，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，

【点睛】本题是菱形与相似三角形，全等三角形，三角函数等知识点的综合运用，难度较大．
30．如图，等边中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），关于DE的轴对称图形为.
（1）当点F在AC上时，求证：DF//AB；
（2）设的面积为S1，的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当B，F，E三点共线时。求AE的长。

【答案】（1）见解析；（2）存在最大值，最大值为；（3）.
【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC=∠A，可证DF∥AB；
（2）过点D作DM⊥AB交AB于点M，由题意可得点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由△ACD的面积为S1的值是定值，则当点F在DM上时，S△ABF最小时，S最大；
（3）过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明△BGD∽△BHE，可求EC的长，即可求AE的长．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
由折叠可知：DF=DC，且点F在AC上，
∴∠DFC=∠C=60°，
∴∠DFC=∠A，
∴DF∥AB；
（2）存在，如图，

过点D作DM⊥AB交AB于点M，
∵AB=BC=6，BD=4，∴CD=2，∴DF=2，
∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，
∴当点F在DM上时，S△ABF最小，
∵BD=4，DM⊥AB，∠ABC=60°，
∴MD=2 ，
∴S△ABF的最小值= ，
∴S最大值=.
（3）如图，过点作于点G，过点E作EH⊥CD于点H，

∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE，
∴DF=DC=2，∠EFD=∠C=60°，
∵GD⊥EF，∠EFD=60°，
∴FG=1，DG=FG=，
∵BD2=BG2+DG2，
∴16=3+（BF+1）2，
∴BF=-1，
∴BG=，
∵EH⊥BC，∠C=60°，
∴CH=，EH=HC=,
∵∠GBD=∠EBH，∠BGD=∠BHE=90°，
∴△BGD∽△BHE，
∴，
∴,
∴EC=
∴AE=AC-EC=
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握是解题的关键.