第十八章平行四边形【单元检测】——2022-2023学年人教版数学八年级下册单元综合复习（原卷版+解析版）

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第十八章平行四边形【单元测试卷】
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
考生注意：
1． 本试卷26道试题，满分120分，考试时间100分钟．
2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（    ）
A．对角线垂直 B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断．
【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，符合题意；
B、菱形、平行四边形的对边平行且相等，不符合题意；
C、菱形、平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；
D、菱形、平行四边形的两组对角分别相等，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了平行四边形的性质．
2．已知平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝110°，则∠B的度数为（    ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，
∵∠A+∠C=110°，
∴∠A=∠C=55°，
∴∠B=125°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
3．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　）

A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【答案】B
【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．
【详解】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：B．
【点睛】考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，根据EF与AC的位置关系即可求解．
4．如图，已知在正方形ABCD中，E是BC上一点，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接DG．现有如下4个结论：①AG＝GF；②AG与EC一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据HL证明△ADG≌△FDG，根据角的平分线的意义求∠GDE，根据GE=GF+EF=EC+AG，确定△BGE的周长为AB+AC.
【详解】根据折叠的意义，得△DEC≌△DEF，
∴EF=EC，DF=DC，∠CDE=∠FDE，
∵DA=DF，DG=DG，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG，
∴AG=FG，∠ADG=∠FDG，
∴∠GDE=∠FDG+∠FDE
=（∠ADF+∠CDF）
=45°，
∵△BGE的周长=BG+BE+GE，GE=GF+EF=EC+AG，
∴△BGE的周长=BG+BE+ EC+AG
=AB+AC，
是定值，
∴正确的结论有①③④，
故选C.
【点睛】本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.
5．如图，点、分别在正方形的边、上，，已知（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），．则的面积（    ）

A．6 B．12 C．15 D．30
【答案】C
【分析】延长CD到G，使DG=BE，连接AG，易证所以AE=AG， ， 证，所以 GF=EF，设BE=DG=x，则EF=FG=x+2，在中，利用勾股定理得 解得求出x，最后求问题即可求解．
【详解】解：延长CD到G，使DG=BE，连接AG，
在正方形ABCD中，AB=AD，
，
，
，
，
，
，
，
又，
(SAS)，
，
设BE=DG=x，则EC=6-x，FC=4，EF=FG=x+2，
在中，，
，
解得，x=3，
，
，
故选：C．

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确构造辅助线，证三角形全等是解决本题的关键.
6．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，，，，小敏行走的路线为，小聪行走的路线为．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为（    ）

A．3100m B．4600m C．5500m D．6100m
【答案】B
【分析】连接CG，由正方形的对称性，易知AG=CG，由正方形的对角线互相平分一组对角，GE⊥DC，易得DE=GE．在矩形GECF中，EF=CG．要计算小聪走的路程，只要得到小聪比小敏多走了多少就行．
【详解】解：连接GC，

∵四边形ABCD为正方形，
所以AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，
∵∠CDB=45°，GE⊥DC，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴DE=GE．
在△AGD和△GDC中，
，
∴△AGD≌△CGD（SAS）
∴AG=CG，
在矩形GECF中，EF=CG，
∴EF=AG．
∵ AD=1500m．

∴小聪行走的路程为3100+1500=4600（m），
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质及等腰三角形的性质．解决本题的关键是证明AG=EF，DE=GE．
7．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定成立的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】解：①∵F是BC的中点，
∴BF＝FC，
在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴BC＝2AB＝2CD，
∴BF＝FC＝AB，
∴∠AFB＝∠BAF，
∵，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴2∠BAF＝∠BAD，故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠MBF＝∠C，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，
，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAE＝90°，
∵FM＝EF，
∴EF＝AF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△AEF＝S△AFM，
∵E与C不重合，
∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；
④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，
∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠CEF＝90°﹣x，
∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确，
故选：C．

【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME．
8．在中．是上一点，平分，且是的中点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ）

A．①② B．②④ C．③④ D．①②④
【答案】C
【分析】首先延长AD，交FE的延长线于点M，易证得△DEM≌△CEF，即可得EM＝EF，又由AE平分∠FAD，即可判定△AEM是等腰三角形，由三线合一的知识，可得AE⊥EF，进而可对各选项进行判断．
【详解】解：延长AD，交FE的延长线于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠M＝∠EFC，  
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DEM和△CEF中，
，
∴△DEM≌△CEF（AAS），
∴EM＝EF，
∵AE平分∠FAD，
∴AM＝AF，AE⊥EF．
即AF＝AD+DM＝CF+AD；故③，④正确，②错误．
∵AF不一定是∠BAD的角平分线，
∴AB不一定等于BF，故①错误．
故选：C．

【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
9．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E是边AD上一动点，将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，则△BCF面积的最大值是（   ）

A．8 B． C．16 D．
【答案】A
【分析】由三角形底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FC⊥BC时，三角形有最大面积．
【详解】解：在菱形ABCD中，BC=CD=AB=4
又∵将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，
∴FC=CD=4
由此，△BCF的底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FC⊥BC时，三角形有最大面积
∴△BCF面积的最大值是
故选：A．

【点睛】本题考查菱形的性质和折叠的性质，掌握三角形面积的计算方法和菱形的性质正确推理计算是解题关键．
10．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，已知BE＝4cm，AB＝6cm，则AD的长度是（    ）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】D
【分析】由已知平行四边形ABCD，DE平分∠ADC可推出△DCE为等腰三角形，所以得CE=CD=AB=6，那么AD=BC=BE+CE，从而求出AD．
【详解】解：已知平行四边形ABCD，DE平分∠ADC，
∴AD∥BC，CD=AB=6cm，∠EDC=∠ADE，AD=BC，
∴∠DEC=∠ADE，
∴∠DEC=∠CDE，
∴CE=CD=6cm，
∴BC=BE+CE=4+6=10cm，
∴AD=BC=10cm，
故选：D．
【点睛】此题考查的知识点是平行四边形的性质及角平分线的性质，关键是由平行四边形的性质及角平分线的性质得等腰三角形通过等量代换求出AD．
二．填空题（共8小题，每题3分，满分24分）
11．如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，连接AO、DO．若AO＝3，则DO的长为_____．

【答案】3
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可.
【详解】∵在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，
∴,,
∴DO=AO=3.
故答案为3.
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解答本题的关键.
12．已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是______cm．
【答案】
【分析】根据菱形的面积公式求出另一对角线的长．然后因为菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出菱形的边长．
【详解】解：由菱形的面积公式，可得另一对角线长12×2÷4=6，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长=cm．
故答案为：
【点睛】此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直．
13．如图，若平行四边形ABCD与平行四边形EBCF关于BC所在直线对称，且∠ABE＝90°，则∠F＝_______°.

【答案】45
【分析】根据轴对称的性质可得，然后求出，再根据平行四边形的对角相等解答．
【详解】解：平行四边形与平行四边形关于所在的直线对称，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：45．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，平行四边形的对角相等的性质，解题的关键是熟记各性质．
14．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是BC的中点，连接DE，DF⊥DE交BA的延长线于点F．连接EF、AC，DE、EF分别与C交于点P、Q，则PQ＝_____．

【答案】
【分析】过点E作EM∥AB，交AC于点M，由题意可证ME∥AB∥CD，△ADF≌△CDE，可得AF＝CE＝ME，根据平行线分线段成比例可得，，，即可求PQ的长．
【详解】如图，过点E作EM∥AB，交AC于点M，

∵四边形ABCD是正方形
∴AD＝CD＝BC＝4，∠ADC＝∠DAB＝∠DCE＝90°，∠ACE＝45°，AB∥CD，
∴∠CDE+∠ADE＝90°，AC＝4
∵DF⊥DE，
∴∠FDA+∠ADE＝90°
∴∠CDE＝∠FDA，且∠DAF＝∠DCE＝90°，AD＝CD，
∴△ADF≌△CDE（AAS）
∴AF＝CE，
∵点E是BC中点，
∴CE＝BE＝BC＝AF，
∵ME∥CD
∴∠DCE＝∠MEB＝90°，且∠ACB＝45°
∴∠CME＝∠ACB＝45°，
∴ME＝CE＝BC，
∵ME∥AB，AB∥CD，
∴ME∥AB∥CD，
∴，，，
∴MQ＝AQ，AM＝CM＝2，CP＝2MP，
∴MQ＝，MP＝
∴PQ＝MQ+MP＝
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，点F是BC的中点，点D是AB的中点，连接AF和DF，若△DBF的周长是11，则AB＝_____．

【答案】8
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=DF=AB，EF=BC，然后代入数据计算即可得解．
【详解】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，
∴DE=DF=AB，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴点F是BC的中点，∴BF=FC=3，
∵BE⊥AC，
∴EF=BC=3，
∴△DEF的周长=DE+DF+EF=AB+3=11，
∴AB=8，
故答案为8．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．
16．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABCnOn的面积为_______．

【答案】
【详解】后面的每一个平行四边形都与第一个矩形ABCD同底不同高，而第n个平行四边形的高是矩形ABCD的，所以平行四边形ABCnOn的面积为．
17．在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的动点，则PE和PA的长度之和最小值为___________．

【答案】
【分析】利用轴对称最短路径求法，得出A点关于BD的对称点为C点，再利用连接EC交BD于点P即为最短路径位置，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：连接AC，EC，EC与BD交于点P，此时PA+PE的最小，即PA+PE就是CE的长度

∵正方形ABCD中，BE=2，AE=1，
∴BC=AB=3，
∴CE= == ，
故答案为.
【点睛】本题考查利用轴对称求最短路径问题以及正方形的性质和勾股定理，利用正方形性质得出A，C关于BD对称是解题关键．
18．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为_____．

【答案】（， ）
【分析】直接利用菱形的性质结合锐角三角三角函数关系得出D点坐标即可．
【详解】解：过点D作轴，垂足为E
∵菱形的边长为2，∠ABC=45°
∴CO=DC=2，∠DCE=45°
在中，



∴点D坐标为
故答案为

【点睛】
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．如图，将▱ABCD的AD边延长至点E，使DE＝AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD，求证：EC＝DF.

【答案】见解析
【分析】欲证明EC＝DF，只要证明四边形DFCE是平行四边形即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝AD，CF＝BC，
∴DE＝CF，
∵DE∥CF，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴EC＝DF.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关的定理内容是解题的关键.
20．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE＝DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．
(1)求证：CP＝AQ；
(2)若BP＝1，PQ＝2，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）8.
【详解】试题分析：
（1）由矩形的性质得出∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，证出∠E=∠F，AE=CF，由ASA证明△CFP≌△AEQ，即可得出结论；（2）证明△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，得出BE=BP=1，AQ=AE，求出PE= ，得出EQ=PE+PQ= ，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AQ=AE=3，求出AB=AE-BE=2，DQ=BP=1，得出AD=AQ+DQ=4，即可求出矩形ABCD的面积；
试题解析：
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC
∴∠E=∠F
∵BE=DF
∴AE=CF
在△CFP和△AEQ中

∴△CFP≌△AEQ（ASA）
∴CP=AQ                                  
（2）解：∵AD∥BC
∴∠PBE=∠A=90°
∵∠AEF=45°
∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形
∴BE=BP=1，AQ=AE
∴PE= BP=
∴EQ=PE+PQ=+2 =3
∴AQ=AE=3
∴AB=AE﹣BE=2
∵CP=AQ，AD=BC
∴DQ=BP=1   
∴AD=AQ+DQ=3+1=4
∴矩形ABCD的面积=AB×AD=2×4=8.
21．如图，ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，若∠ABF＝∠CDE＝90°.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若AB＝AD＝8，BF＝6，求AE的长．

【答案】(1)见解析;(2).
【分析】(1)由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，证出∠BAC＝∠DCA，由ASA证明△ABF≌△CDE，得出BF＝DE，∠AFB＝∠CED，证出BF∥DE，即可得出结论；
(2)连接BD交AC于G，证明四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，证出四边形BEDF是菱形，得出BE＝BF＝6，由勾股定理求出AF，由三角形的面积关系求出BG，再由勾股定理求出EG，即可得出结果．
【详解】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
在△ABF和△CDE中，，
∴△ABF≌△CDE(ASA)，
∴BF＝DE，∠AFB＝∠CED，
∴BF∥DE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)连接BD交AC于G，如图所示：
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形，
∴BE＝BF＝6，EG＝FG，
∵∠ABF＝90°，AB＝AD＝8，BF＝6，
∴AF＝＝10，
∵△ABF的面积＝AF·BG＝AB×BF，
∴BG＝＝，
∴EG＝＝，
∴AE＝AF－2EG＝10－2×＝.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一动点(不与B，C重合)，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF.
(1)试猜想线段EF与CF的大小关系，并加以证明．
(2)若∠BAC＝30°，连接CE，在D点运动过程中，探求CE与AD的数量关系．

【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【分析】(1)EF和CF分别是直角△AED和直角△ACD斜边上的中线，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证得；
(2)证明△EFC是等边三角形，然后根据等边三角形的定义以及直角三角形的性质求解．
【详解】(1)EF＝CF，理由如下：
在Rt△AED和Rt△ACD中，
∵点F是线段AD的中点，
∴EF＝AD，CF＝AD，
∴EF＝CF；
(2)由(1)可知，EF＝AF＝CF，
∴∠AEF＝∠EAF，∠ACF＝∠CAF，
∴∠EFD＝2∠EAF，∠CFD＝2∠CAF，
∴∠EFC＝2∠BAC＝60°，
又EF＝CF，
∴△EFC为等边三角形，
∴CE＝EF＝AD.
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解题的关键.
23．点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．
(1)如图1，点O是△ABC内的动点，点O，F分别是OB，OC的中点，求证：DEFG是平行四边形；
(2)如图2，若BE交DC于点O，请问AO的延长线经过BC的中点吗？为什么？

【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【分析】(1)由三角形中位线定理得出DE∥GF，DE＝GF，即可得出结论；
(2)由三角形的重心定理即可得出结论．
【详解】(1)∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE，
同理：GF∥BC，BC＝2GF，
∴DE∥GF，DE＝GF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
(2) AO的延长线经过BC的中点；理由如下：
∵BE、CD是△ABC的中线，BE交DC于点O，三角形的三条中线相交于一点，
∴AO的延长线经过BC的中点．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、三角形的重心定理；熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解决问题（1）的关键．
24．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF.
(1)求证：AF＝DC；
(2)请问：AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形，并说明理由．

【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【分析】(1)因为AF∥DC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，得出AF＝DC即可；
(2)由(1)知，AF＝DC且AF∥DC，可得四边形AFDC是平行四边形，又由AD＝CF，故可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定．
【详解】(1)∵AF∥DC，
∴∠AFE＝∠DCE，
又∵E为AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF＝DC；
(2)当AD＝CF时，四边形AFDC是矩形；理由如下：
由(1)得：AF＝DC且AF∥DC，
∴四边形AFDC是平行四边形，
又∵AD＝CF，
∴四边形AFDC是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定等，熟练掌握相应的判定定理与性质定理是解题的关键.
25．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD.
(1)求证：四边形OBFE是平行四边形；
(2)当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由．

【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【分析】(1)首先证明OE是△ABC的中位线，推出OE∥BC，由EF∥OB，即可得出四边形OBFE是平行四边形；
(2)当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形. 只要证明∠EOB＝90°即可解决问题．
【详解】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是AC的中点，
又∵点E是边AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
又∵点F在CB的延长线上，
∴OE∥BF，
∵EF∥BD，即EF∥OB，
∴四边形OBFE是平行四边形；
(2)当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形.
理由：由(1)可知，四边形OBFE是平行四边形，
又∵AD⊥BD，AD∥BC，且点F在BC的延长线上，
∴FC⊥BD，
∴∠OBF＝90°，
∴四边形OBFE是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定，熟练掌握平行四边形以及矩形的判定方法是解题的关键.
26．如图，四边形ABCD是平行四边形，DB⊥AD，AD＝8 cm，BD＝12 cm，求BC，AC的长．

【答案】BC＝8 cm，AC＝20 cm.
【分析】在平行四边形中，可由对边分别相等得出BC的长，再在Rt△ABD中，由勾股定理得出线段OA的长，进而可求解AC的长．
【详解】解　∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8 cm，OA＝OC，OB＝OD＝BD＝6 cm，
∵BD⊥AD，
∴∠ADO＝90°，
∴OA＝＝10 cm，
∴AC＝2OA＝20 cm.
【点睛】考查平行四边形的性质及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是关键．