数学（沪教版2020A卷）2022-2023学年高一下学期期中考前必刷卷

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2022-2023学年高一下学期期中考前必刷卷数学·全解全析一、填空题1．已知，则______.【答案】【分析】结合诱导公式求得正确答案.【解析】.故答案为： 2．已知，则的单位向量的坐标为_______．【答案】【分析】先由向量的线性运算求得，再由模的坐标表示求得，从而求得所求.【解析】因为，所以，故，则的单位向量的坐标为．故答案为：.3．函数的图像相邻的两条对称轴之间的距离是______；【答案】【分析】利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数式，求出其最小正周期，最小正周期的一半即为两相邻对称轴间的距离．【解析】由已知，它的周期是，相邻两条对称轴间距离为．（也可求出对称轴方程后求解）．故答案为：．4．已知向量与的夹角为，，若，则____________．【答案】【分析】根据向量垂直的表示列关系式，结合数量积定义和运算律化简方程求.【解析】因为，所以，所以，所以，又向量与的夹角为，，所以解得．故答案为：.5．如图为函数 的部分图像， 则其表达式为                     .【答案】【分析】由图象，首先得出的值，然后根据的值运用周期公式求出值，再将最高点的坐标代入函数式中求解的值即可得出表达式.【解析】由图象可知，，， ， ，将代入得：， 又 故答案为：.6．已知，，若在方向上的数量投影是2，则与的夹角的余弦值是______.【答案】【分析】写出数量投影的定义，以及向量夹角公式，即可计算结果.【解析】由条件可知，设与的夹角为，则.故答案为： 7．函数的定义域为________.【答案】,【解析】解不等式即可得定义域.【解析】要使函数有意义,需,即.结合正弦曲线可知,.故定义域为,.故答案为：,.【点睛】本题考查含的函数定义域，是基础题.8．已知，cos(α-β)=,sin(α+β)=,那么sin2α=________.【答案】【解析】试题分析：∵，∴，，又cos(α-β)=,sin(α+β)=,∴，，∴sin2α=考点：本题考查了两角和差的正余弦公式点评：熟练运用两角和差的正余弦公式及同角关系是此类问题常用方法，属基础题9．若函数的最小值为1，则实数__________.【答案】5【解析】由辅助角公式得的最小值为，由此可求得值．【解析】，其中，且终边过点．所以，解得．故答案为：5．【点睛】本题考查三角函数辅助角公式，掌握辅助角公式对解题关键．设，则，其中，角终边过点．由此易求得函数的最值，易研究函数的其他性质．10．在中，若，则的最大值是____．【答案】【分析】利用正弦定理进行角变边可得，利用余弦定理和角的范围即可求解【解析】结合正弦定理得，即，所以，因为，所以，则的最大值是．故答案为： 11．已知，，,若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于________.【答案】【分析】建立直角坐标系，由向量式的几何意义易得的坐标，可化为，再利用基本不等式求得它的最大值.【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得, , ,,，,当且仅当，即时，取等号的最大值为,故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算,涉及基本不等式求最值,属中档题.12．设， 若函数  在区间  上恰有两个零点， 则  的取值范围为                              .【答案】或或【分析】由得则满足的k恰有两解，据此即可求解.【解析】由得即，∵函数在区间上恰有两个零点，∴，即满足的k恰有两解，又，所以取2,3或3,4或4,5；当k取2,3时，且，即，当k取3,4时，且，即，当k取4,5时，且，即，当时，不合题意；所以的取值范围是或或.故答案为：或或. 二、单选题13．在等式①; ②；③；④；⑤若，则；正确的个数是（    ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】由零向量、向量数乘、点乘等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案.【解析】零向量与任何向量的数量积都为0，错误；0乘以任何向量都为零向量，正确；向量的加减、数乘满足结合律，而向量点乘不满足结合律，错误；向量模的平方等于向量的平方，正确；不一定有，故错误；故选：C【点睛】本题考核查了向量，利用向量相关概念、性质判断正误，属于基础题.14．在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（   ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．不确定【答案】C【分析】根据给定条件切化弦，再利用正弦定理、余弦定理角化边即可计算判断作答.【解析】在中，原等式化为：，由正弦定理得，，即，由余弦定理得：，整理得，则有，于是有或，是等腰三角形或直角三角形，所以的形状是等腰三角形或直角三角形.故选：C15．设函数，其中，，若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（    ）A． B．的图像关于直线对称C．在上单调递增 D．过点的直线与函数的图像必有公共点【答案】D【分析】利用辅助角公式将函数化简，进而根据函数在处取得最大值求出参数，然后结合三角函数的图象和性质判断答案.【解析】由题意，，，而函数在处取得最大值，所以，所以，，则.对A，因为，即，A错误；对B，因为，所以B错误；对C，因为，所以函数在上单调递减，所以C错误；对D，因为的最大值为，而，所以过点的直线与函数的图象必有公共点，D正确.故选：D.16．如果对一切正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D． 【答案】D【分析】将不等式cos2x≥asinx恒成立转化为asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y），利用基本不等式可求得f（y）min＝3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx＜0、sinx＝0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解析】解：∀实数x、y，不等式cos2x≥asinx恒成立⇔asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y），则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，∵y＞0，f（y）23（当且仅当y＝6时取“＝”），f（y）min＝3；所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx恒成立，令sinx＝t，则0＜t≤1，再令g（t）＝t（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）＝10，所以，g（t）＝t在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min＝g（1）＝3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx＝0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点睛】本题考查恒成立问题，将不等式cos2x≥asinx恒成立转化为asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y），求得f（y）min＝3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题． 三、解答题17．如图，在菱形中，.(1)若，求的值；(2)若，，求.【答案】(1) (2)  【分析】（1）由题意可知，即可求解；（2），从而即可求解.【解析】（1）因为在菱形中，.故，故，所以.（2）显然，所以①，因为菱形，且，，故，.所以.故①式.故.18．在中，内角所对的边分别为．若（1）求角的大小；（2）设的中点为，且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据余弦定理的推论即可求出；（2）设，在中利用正弦定理用的三角函数值表示出，再利用三角函数值域的求法即可求出的取值范围．【解析】（1）因为，而，所以（2）如图所示：设，则中，由可知,由正弦定理及，可得，所以，由，可知，，.【点睛】思路点睛：本题第一问直接根据余弦定理的推论即可求出，第二问有两种思路，第一种转化为求即，在中利用余弦定理以及两边之和大于第三边即可求出；第二种引入角参数，由正弦定理用的三角函数值表示出，再利用三角函数值域的求法即可求出的取值范围，第二种方案可以求解任意形如的取值范围，解法更一般．19．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶场A的仰角为45°.(1)求出山高BE（结果保留一位小数）；(2)如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离，且记在M处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为.试问当x多大时，观测基站的视角最大？参考数据：，，，.【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可；（2）易得，分别在在和在中，求出，再根据两角和的正切公式结合基本不等式求出取得最大值时，的值，再根据正切函数的单调性即可得解.【解析】（1）由题意可知，，在中，，所以，在中，，所以出山高；（2）由题意知，且，则，在中，，在中，，则，当且仅当，即时，取等号，所以取得最大值时，，又因为，所以此时最大，所以当时，最大.20．已知函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）将图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，求的解析式；（3）在（2）的条件下，若对于任意的，，当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）1；（2）；（3）.【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得．（2）由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．（3）令，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，【解析】解：（1）所以因为函数的最小正周期为且，所以，解得，所以的值为1.（2）因为图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像又，所以所以的解析式为（3）令因为对于任意的，，当时，恒成立，所以在严格单调递增，由，整理可得， 所以严格单调递增区间是， 所以，解得所以的取值范围是.21．对于函数，若在其定义域内存在实数、，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．(1)求证：函数在上是“1跃点”函数；(2)若函数在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围；(3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2022个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据题意令，利用零点存在定理即可证明；（2）由题意可得，可整理得，然后用基本不等式求解即可；（3）根据题意可得到，然后分，，或三种情况进行讨论即可【解析】（1），所以，，令，因为，，所以由零点存在定理可得在有解，所以存在，使得，即函数在是“1跃点”函数．（2）由题意得，因为，所以，当且仅当取等号，所以的取值范围为．（3），即，化简得，的最小正周期为，当，；当（为正整数），；所以从在上的值可得①当时，在有个“跃点”，故，所以；②当时，在有个“跃点”，故，无解；③当或时，在上有个“跃点”，故，综上，或或．【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.