第5章 二次函数【题型专练】——2022-2023学年苏科版数学九年级下册单元综合复习（原卷版+解析版）

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第5章 二次函数
考察题型一：二次函数的定义
【1.1二次函数的判断】
典例1-1．（2021·射阳月考）下列函数中，y是x的二次函数的是（　　）
A．y＝（x﹣1）2﹣x2 B．y＝﹣x（x+2）
C．y＝1x2 D．x＝y2

变式1-1．（2022·兴化月考）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x
C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c

【1.2二次函数的含参问题】
典例1-2-1．（2021·云龙月考）若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是关于x的二次函数，则（　　）
A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1

变式1-2-1．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（　　）
A．y＝mx2+3x﹣1 B．y＝（m﹣1）x2
C．y＝（m﹣1）2x2 D．y＝（﹣m2﹣1）x2

典例1-2-2．（2021·兴化期中）如果函数y=(m-2)xm2-2+2x-7是二次函数，则m的取值范围是（　　）
A．m＝±2 B．m＝2
C．m＝﹣2 D．m为全体实数

变式1-2-2．（2021·昆山月考）若y＝（m﹣1）xm2+m是关于x的二次函数，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．1 C．﹣2或1 D．2或1


考察题型二：二次函数的图像与性质
【2.1二次函数的图像】
典例2-1．（2021·灌南月考）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．

变式2-1．（2021·常熟月考）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．

【2.2二次函数的开口】
典例2-2．（2022·泗阳一模）若二次函数y＝（m+1）x|m|的图象的开口向下，则m的值为　　．

变式2-2．（2021·定远月考）已知关于x的二次函数y＝（a﹣1）xa2-2+2x﹣1的图象开口向下，则a＝　　．

【2.3二次函数的对称轴】
典例2-3．（2022·武威模拟）二次函数y＝ax2﹣4x﹣7（a≠0）的对称轴为x＝1，则a的值是　　．

变式2-3．（2021·崇川月考）已知二次函数y＝（x+1）（x﹣a）的对称轴为直线x＝2，则a的值是　　．

【2.4二次函数的顶点坐标】
典例2-4-1．（2021·徐州期末）二次函数y＝﹣4（x﹣1）2+1的图象的顶点坐标是　　．

变式2-4-1．（2021·丹阳期末）二次函数y＝2x2+4x+1图象的顶点坐标为　　．

【2.5二次函数的增减性】
典例2-5-1．（2021·临沭月考）若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（5，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2

变式2-5-1．（2022·卧龙一模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＜0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（2，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1

典例2-5-2．（2021·亭湖期末）已知二次函数y＝x2﹣2mx+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是　　．

变式2-5-2．（2021·宿迁模拟）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是　　．


考察题型三：二次函数的图像与系数的关系
典例3．（2022·永昌一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②3a+c＝0；③4a﹣2b+c＜0；④a+b＞m（am+b）其中m是不等于1的实数．则其中结论正确的个数是多少个（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

变式3．（2022·云南模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给下以下结论：
①2a﹣b＝0；
②abc＞0；
③4ac﹣b2＜0；
④9a+3b+c＜0；
⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等实数根；
⑥8a+c＜0．
其中正确的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5


考察题型四：二次函数图像上点的坐标特征
典例4-1．若抛物线y＝ax2+bx+c过点（1，0），且对称轴为直线x＝12，那么抛物线还必定经过点（　　）
A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）

变式4-1．（2021·旅顺期中）如果抛物线y＝x2+bx+c经过原点，且它的对称轴是直线x＝2，那么抛物线与x轴的另一个交点坐标是　　．

典例4-2．（2021·长安期末）抛物线y＝ax2﹣4ax+3a﹣2（a≠0）恒过定点，则定点的坐标为　　．

变式4-2．（2021·海珠期中）抛物线y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m过定点P，定点坐标P为　　．


考察题型五：二次函数图像与几何变换
典例5-1．（2021·如皋期中）将抛物线y＝﹣2（x+1）2+3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x+4）2+1 B．y＝﹣2（x﹣2）2+1
C．y＝﹣2（x+4）2+5 D．y＝﹣2（x﹣2）2+5

变式5-1．（2021·沭阳月考）若抛物线y＝（x+4）2﹣1平移得到y＝x2，则必须（　　）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位

典例5-2．（2021·苏州中考）已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（　　）
A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2

变式5-2．（2022·澄城二模）二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）图象的对称轴为直线x＝2，将该二次函数的图象沿y轴向下平移k个单位，使其经过点（0，﹣1），则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．2 D．6


考察题型六：二次函数的最值
典例6-1．（2021·攸县期末）二次函数y＝﹣12x2+2x﹣1的最大值是　　．

变式6-1．（2021·吴江模拟）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝　　．

典例6-2．（2022·无为三模）已知实数满足x2+3x﹣y﹣3＝0，则x+y的最小值是　　．

变式6-2．（2022·凉山州中考）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是　　．

典例6-3．（2022·宿豫开学）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4

变式6-3．（2022·西湖期末）已知函数y＝mx2+2mx+1在﹣3≤x≤2上有最大值4，则常数m的值为　　　．


考察题型七：待定系数法求二次函数解析式
【7.1】已知二次函数的三个点的坐标，设一般式求二次函数解析式
典例7-1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，求这个二次函数的解析式．

变式7-1．（2021·启东期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．

【7.2】已知二次函数的顶点和另一个点的坐标，设顶点式求二次函数解析式
典例7-2．已知抛物线的顶点坐标是（﹣2，1）且过点（1，﹣2），求抛物线的解析式．

变式7-2．二次函数的图象经过点（4，﹣3），且当x＝3时，有最大值﹣1，则该二次函数解析式为　　．

【7.3】已知二次函数的与x轴的两个交点和另一个点的坐标，设交点式求二次函数解析式
典例7-3．已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和B（1，0），并经过点M（0，1），求此抛物线的解析式．

变式7-3．（2021·延平期中）已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4），求抛物线的解析式．


考察题型八：二次函数与一元二次方程
【8.1】利用二次函数与x轴的交点求一元二次方程的根
典例8-1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）

A．x1＝﹣3，x2＝0 B．x1＝3，x2＝﹣1 C．x＝﹣3 D．x1＝﹣3，x2＝1

变式8-1．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝0

【8.2】根据二次函数与x轴的交点个数求参
典例8-2-1．（2021·沭阳月考）抛物线y＝2x2+bx+8的顶点在x轴上，则b＝　　．

典例8-2-2．（2021·沭阳期末）若函数y＝mx2﹣4x+1的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是　　．

变式8-2．已知函数y＝（m+1）x2﹣4x+2（m是常数）的图象与x轴只有一个交点，则m＝　　．

【8.3】求一元二次方程的近似根（范围）
典例8-3．（2021·沭阳月考）根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
x
0
0.5
1
1.5
2
y＝ax2+bx+c
﹣1
﹣0.5
1
3.5
7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2

变式8-3．（2021·盐都二模）下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：
x
1
1.2
1.3
1.4
y
﹣1
0.04
0.59
1.16
那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（　　）
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3


考察题型九：二次函数与不等式（组）
典例9-1．（2021·灌南月考）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则当y＜0，x的取值范围是（　　）

A．x＜1 B．x＞﹣1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣4≤x≤1

变式9-1．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣4或x＞1 B．x＜﹣3或x＞1 C．﹣4＜x＜1 D．﹣3＜x＜1

典例9-2．（2021·盐都期末）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣1，m），B（2，n）两点，则不等式ax2﹣kx+c＜b的解集是　　．


变式9-2．（2022·宝应一模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＜n的解集是　　．


典例9-3．（2021·崇川月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④当x≠1时，a+b＞ax2+bx；⑤4ac＜b2．
其中正确的有（　　）个

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

变式9-3．已知抛物线y＝ax2+3x+c（a，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，3），有下列结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
③3是方程ax2+2x+c＝0的一个根；
④当﹣1＜x＜3时，ax2+2x+c＞0
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4


考察题型十：用二次函数解决实际问题
【10.1】根据实际问题列二次函数关系式
典例10-1．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（　　）

A．y＝﹣12x2+26x（2≤x＜52）
B．y＝﹣12x2+50x（2≤x＜52）
C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）
D．y＝﹣12x2+27x﹣52（2≤x＜52）

变式10-1．（2021·灌云月考）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件．
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）设利润为W元，写出W与x的函数关系式．

【10.2】二次函数的实际应用
典例10-2．（2022·姑苏月考）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y＝﹣110x2+35x+85，则小朱本次投掷实心球的成绩为（　　）

A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m

变式10-2．（2022·建湖一模）如图，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子滑车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了原子滑车在该路段运行的x与y的三组数据A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），根据上述函数模型和数据，可推断出，此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离x满足（　　）

A．x＜x1 B．x1＜x＜x2 C．x＝x2 D．x2＜x＜x3


考察题型十一：二次函数综合题
【11.1】最值问题
典例11-1．（2022·相城自招）已知，如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣13x2+13x+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AD经过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且点E的横坐标为5，连接AC．

（1）求直线AD的解析式；
（2）如图2，点F为第一象限内抛物线上的动点，过点F作FG∥y轴交直线AD于点G，过点F作FH∥AC交直线AD于点H，当△FHG周长最大时，求点F的坐标．此时，点T为y轴上一动点，连接TA，TF，当|TA﹣TF|最大时求点T的坐标．

变式11-1．（2022·姑苏月考）已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，且与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线顶点M坐标及四边形ABMC的面积；
（3）若点P是对称轴上一点，求当△APC周长最短时，求点P的坐标．

【11.2】相交问题
典例11-2．（2022·海安月考）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点；
（2）已知：点O（0，0），A（﹣2，4），B（2，0），若抛物线的顶点在△OAB的内部（不包括边界），求m的取值范围；
（3）将抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+3（m是常数）图象在对称轴右侧部分沿直线y＝3翻折得到新图象为G，若G与直线y＝x+2有三个交点，请直接写出m的取值范围．

变式11-2．（2022·钟楼模拟）如图，已知二次函数y＝﹣12x2+mx+m+12的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣52），P是抛物线在直线AC上方图象上一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个公共点，请直接写出图象M的顶点横坐标n的取值范围．


【11.3】面积问题
典例11-3．（2022·江阴一模）如图，抛物线y＝ax2﹣103x+4与直线y＝43x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（　　）

A．MN+BN＜AB
B．∠BAC＝∠BAE
C．∠ACB﹣∠ANM＝12∠ABC
D．四边形ACBM的最大面积为13

变式11-3．（2022·锡山三模）已知，关于x的二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，图象顶点为D，连接AC、BC、BD、CD，满足∠ACB≥90°．
（1）请直接写出点A、点B的坐标以及a的取值范围；
（2）点E（12，0），点F在AC边上，若直线EF平分△ABC的面积，求点F的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）△BCD中CD边上的高是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．


【11.4】几何图形的存在性问题
典例11-4-1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．

（1）填空：抛物线的解析式为　　；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交AC与M，当t为何值时，线段PM的长最大，并求其最大值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．

典例11-4-2．（2021·徐州模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标；
（3）是否存在点P，使△PAQ为直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．


变式11-4．（2021·工业园期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．

（1）当m＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
②若点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系为　　；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．

【11.5】与圆综合
典例11-5．（2022·武进一模）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A点坐标为（﹣4，0），B点坐标为（6，0），点D为AC的中点，点E是抛物线在第二象限图象上一动点，经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝ax2+bx+8，连接DE，把点A沿直线DE翻折，点A的对称点为点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E运动时，若点G恰好落在BC上（G不与B、C重合），求E点的坐标；
（3）当点E运动时，若点B、C、D、G四点恰好在同一个圆上，求点E坐标．


变式11-5．（2022·启东月考）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，记作Zp，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“共享值”．
（1）①点A（5，﹣1）的“坐标差”为　　；
②求抛物线y＝﹣x2+7x的“共享值”；
（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“共享值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．
①直接写出m＝　　；（用含c的式子表示）
②求此二次函数的解析式．
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点D（4，0），以OD为直径作⊙M，直线y＝x+b与⊙M相交于点E，F．请直接写出⊙M的“共享值”为　　．