第4章 幂函数、指数函数与对数函数【过习题】-2022-2023学年高一数学单元复习（沪教版2020必修第一册）

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单元复习 第四章 幂函数、指数函数与对数函数1．已知幂函数，则m＝（    ）．A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】形如的函数称为幂函数，根据此定义给出表示幂函数的条件.【详解】形如的函数称为幂函数，令，解得．故选：C.2．若，，则下列不等式中一定正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】举例判断A；结合指数函数单调性判断B；结合对数函数定义域判断C；利用判断D.【详解】当，时，，但，故A错误；因为在是单调递增函数，所以当，则，故B正确；因为的定义域为，所以当时，不存在与，故C错误；当时，，故D错误.故选：B3．若，则实数的取值范围是（     ）A． B．或C． D．【答案】A【分析】根据对数函数单调性即可求解.【详解】解：由题意得：，解得：，故选：A.4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可．【详解】．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾， ．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾， ．由对数图象知，此时直线的纵截距，保持一致，．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，故选：．5．下列函数中：①；②；③；④．其中图像不经过原点的函数的个数为（    ）A．1个； B．2个； C．3个； D．4个．【答案】B【分析】根据函数解析式依次判断即可.【详解】①，当时，，经过原点；②的定义域为，故不经过原点；③的定义域为，故不经过原点；④，当时，，经过原点.综上，经过原点的函数有2个.故选：B.6．如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据幂函数的单调性结合特值法进行判断即可.【详解】当时，幂函数在上单调递减，当时，幂函数在上单调递增，可知曲线、对应的值为正数，曲线、对应的值为负数，当时，幂函数在上的增长速度越来越快，可知曲线对应的值为，当时，幂函数在上的增长速度越来越慢，可知曲线对应的值为，令，分别代入，，得到，，因为，可知曲线、对应的值分别为、.故选：A.7．若正实数，，满足，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由对数函数与指数函数的性质先得出的大小与范围，再确定各选项的对错．【详解】.因为，即，则，，则，，则，所以，，，A，B，C项错误；，，，D项正确.故选：D．8．若函数为指数函数，则a的取值范围是________【答案】 或，【分析】根据指数函数的定义即可求解.【详解】 为指数函数，则 或，解得： 或，故答案为： 或，9．关于x的不等式的解集为__________【答案】【分析】由对数的运算性质与换元法求解【详解】令，则，解得，则，解得，故答案为：10．函数的图象必经过定点________.【答案】【分析】由恒成立可直接得到定点坐标.【详解】恒成立，的图象必过定点.故答案为：.11．方程的解为___________．【答案】##【分析】利用对数的运算性质有，进而求解即可.【详解】由且，则，故.故答案为：12．已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最大值为___________.【答案】##0.125【分析】由对数函数性质求定点坐标，再根据点在直线上有，应用基本不等式求的最大值，注意等号成立条件.【详解】由题设恒过，又在直线上，所以，则，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.故答案为：13．设x，y，z为正数，且，则x，y，z的大小关系为___________．【答案】【详解】因为x，y，z为正数，可设，则，因为，所以，所以，即．故答案为：．14．比较下列各组中两个值的大小：①log31.9，log32；②log23，log0.32；③logaπ，loga3.14(a>0，a≠1)；④log50.4，log60.4.【答案】（1）log31.9<log32；（2）log23>log0.32；（3）答案见解析；（4）log50.4<log60.4.【详解】解：（1）因为y＝log3x在上严格递增，所以log31.9<log32.（2）因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0，所以log23>log0.32.（3）当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上严格递增，所以logaπ>loga3.14；当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上严格递减，所以logaπ<loga3.14.综上，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0<a<1时，logaπ<loga3.14.（4）在同一直角坐标系中，作出y＝log5x，y＝log6x的图像，再作出直线x＝0.4，观察图像可得log50.4<log60.4.15．比较下列几组值的大小：（1）和；    （2）和.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由于因为在R上严格递减，且0<<1，－ >－，所以.（2）由于，，因为在R上严格递增，且， >，所以即16．已知幂函数在上是减函数，．(1)求的解析式；(2)若， 求的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据幂函数定义及单调性可得参数的值；（2）根据（1）可得，构造函数，结合定义域与单调性解不等式.【详解】（1）由函数为幂函数得，解得或，又函数在上是减函数，则，即，所以，；（2）由（1）得，所以不等式为，设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，所以，解得，所以的取值范围是.17．已知幂函数经过点．(1)求此幂函数的表达式和定义域；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)，定义域为；；(2).（1）解：设，则，可得，解得，所以，，由可得，所以，函数的定义域为.（2）解：由幂函数的性质可知，函数的定义域为，且在定义域上为减函数，由可得，可得.18．设，其中为实数．（1）设集合，集合，若，化简集合、集合并求实数的取值范围；（2）若集合中的元素有且仅有2个，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）.【详解】解：（1）化简，又，所以（2）由，得等价于，且，设，在上严格增，在上严格减，g(1)=1,g(3)=3,g(x)在(0,3)内的图象如图所示.   由题意等价于直线与函数在上恰有两个交点，此时.19．已知函数的定义域是.（1）求实数的取值范围;（2）解关于的不等式.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）因为函数的定义域是，所以恒成立，则，解得，的取值范围为.（2），即，因为，所以，即，解得，故不等式的解集为.   20．已知函数（其中）的图象如下图所示，则的图象是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.【详解】解：由图象可知：，因为，所以由可得：，由可得：，由可得：，因此有，所以函数是减函数，，所以选项A符合，故选：A21．设和是两个不同的幂函数，则它们图像交点的个数为（    ）A．1或2或0 B．1或2或3 C．1或2或3或4 D．0或1或2或3【答案】B【分析】由幂函数过点，根据两个幂函数的定义域的情况进行分类分析可得答案.【详解】和是两个不同的幂函数，设， 由幂函数过点，当和的定义域均为时，它们的图象的交点有，，还可能有当和中至少有一个的定义域为时，它们的图象的交点有当和中一个的定义域为，另一个的定义域为时，它们的图象的交点有.所以它们图像交点的个数为1或2或3故选：B22．设，已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据且可得，，，进而可得，再结合基本不等式即可求解.【详解】，作函数的图象如图所示：由，可得，且，，因为，所以，所以，即，因为，所以，即，因为，，所以，所以，故选：A.23．已知实数a，b，c满足，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】分别求出，，的大致范围，即可比较，，的大小.【详解】由题意得，，故；，因，根据对勾函数得，因此；由勾股数可知，又因且，故；因此.故选：C.24．已知函数，若，则实数a的值为___．【答案】10【分析】讨论的范围，根据解析式即可求出.【详解】因为函数，，（1）当时，，由，可得，则，解得a＝4，不成立；（2）当a＞1时，， 当时，，解得a＝10，符合；当时，，无解．综上，实数a的值为10．故答案为：10．25．已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是___．【答案】【分析】问题转化为ax＞对于任意实数x恒成立，然后对x分类，再由配方法求最值，即可求得实数a的取值范围．【详解】解：∵函数的定义域是R，∴+ax＞0对于任意实数x恒成立，即ax＞对于任意实数x恒成立，当x＝0时，上式化为0＞﹣1，此式对任意实数a都成立；当x＞0时，则a＞＝，∵x＞0，∴，则≥，则≤，可得a＞；当x＜0时，则a＜，∵x＜0，∴，则＞1，则＞1，可得a≤1．综上可得，实数a的取值范围是．故答案为：．26．已知实数x、y满足，则的最小值为______．【答案】##【分析】根据给定等式可得，再借助“1”的妙用计算作答.【详解】因实数x、y满足，则，且，则有，即，且，因此，，当且仅当，即时取“=”，由解得：，所以当时，取最小值.故答案为：27．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．(1)若的图象如图①所示，求a，b的值；(2)若的图象如图②所示，求a，b的取值范围；(3)在(1)中，若＝m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围．【答案】(1)a＝，b＝－3(2)a的取值范围为(0，1)，b的取值范围为．(3)或 【分析】（1）代入点的坐标列出方程求解即可；（2）根据图象可知函数为减函数确定的取值范围，再由可求的取值范围；（3）作出的图象，数形结合求解即可.【详解】（1）因为的图象过点，所以解得a＝，b＝－3.（2）由为减函数可知a的取值范围为(0，1)，因为，即，所以b的取值范围为．（3）由题中图①可知的图象如图，由图可知使有且仅有一个实数解的的取值范围为或.28．已知函数.（1）若，求的值；（2）若，对于任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）当时，，舍去；当时，，即，．基础即可得出．（2）当，时，，即，即．化简解出即可得出．【详解】解：（1）当时，，舍去；当时，，即，．解得，（2）当，时，，即，即．因为，所以．由，所以．故的取值范围是．29．已知函数，函数的图像与的图像关于轴对称.（1）求的解析式；（2）解关于的不等式.【答案】(1)( x<2)；(2)或.【分析】(1)在函数图象上任取点，该点关于y轴对称点必在的图像，代入即可得解；(2)由(1)及所给条件，列出对数不等式，由对数函数单调性等价转化成不等式组并求解即得.【详解】(1)设为函数的图像上任意一点，点关于轴的对称点为，则点必在函数的图像上，则，即，所以的解析式为( x<2)；(2)由及(1)可得， 因为是增函数，于是有，即，解得或，所以不等式的解集为或. 30．（2022·上海·模拟预测）下列幂函数中，定义域为的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义，分式则必须分母不为0【详解】对选项，则有：对选项，则有：对选项，定义域为：对选项，则有：故答案选：31．（2022·上海宝山·二模）关于函数和实数的下列结论中正确的是（       ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，即可得到此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，从而一一判断即可；【详解】解：因为，所以函数是一个偶函数，又时，与是增函数，且函数值为正数，故函数在上是一个增函数由偶函数的性质得函数在上是一个减函数，此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，考察四个选项，A选项，由，无法判断，离原点的远近，故A错误；B选项，，则的绝对值大，故其函数值也大，故B不对；C选项是正确的，由，一定得出；D选项由，可得出，但不能得出，不成立，故选：C．32．（2022·上海闵行·二模）不等式的解集为___________；【答案】【分析】利用指数函数的单调性解不等式，求出解集.【详解】即，解得：故答案为：33．（2022·上海黄浦·二模）已知．若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则____________．【答案】【分析】根据幂函数的单调性与定义域判定即可【详解】因为幂函数图像不过坐标原点，故，又在区间上单调递增，故故答案为：34．（2021·上海金山·一模）函数的定义域是___________【答案】【分析】利用对数函数的定义域求法求解.【详解】因为函数，所以，解得，所以函数的定义域是，故答案为：35．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）若函数单调递增，则实数m的最大值是 __________ .【答案】【分析】由题意列不等式，直接解出m的范围.【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，所以要使函数单调递增，只需，解得：.即实数m的最大值是.故答案为：36．（2021·上海·模拟预测）已知函数，其中且，.（1）若，求不等式的解集；（2）若存在使，求的取值范围.【答案】（1）；（2）且.【分析】（1）分和两种情况，利用对数不等式的运算性质以及单调性进行分析求解即可；（2）分和两种情况，分别研究和有解问题，即可得到答案.【详解】（1）函数，其中且，，若，不等式，即，即，∴当时，，且，解得，故不等式的解集为；当时，，且，解得，故不等式的解集为.（2）因为存在使，故或，存在使，即能成立，当时，，即有解，当时，，即有解，令，则存在，且，，所以，且，因为，则，故，又，故在中有唯一的零点，则，此时需要，，解得，又，所以的取值范围为且.37．（2022·上海虹口·二模）已知函数是定义域为的奇函数.(1)求实数的值，并证明在上单调递增；(2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，证明见解析；(2)【分析】（1）由奇函数的性质可得出，求出，利用函数奇偶性的定义可验证函数为奇函数，再利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）由题意可得，可得出，求得，分、，根据已知条件可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围.（1）解：因为函数是定义域为的奇函数，则，解得，此时，对任意的，，即函数的定义域为，，即函数为奇函数，合乎题意，任取、且，则，所以，，则，所以，函数在上单调递增.（2）解：由（1）可知，函数在上为增函数，对于任意的、，都有，则，，因为，则.当时，则有，解得；当时，则有，此时.综上所述，实数的取值范围是.