第5章 函数的概念、性质及应用【过习题】-2022-2023学年高一数学单元复习（沪教版2020必修第一册）

单元复习 第五章 函数的概念、性质及应用

1．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的定义可以排除C选项，根据定义域与值域的概念排除A，D选项.

【详解】对于A选项，当时，没有对应的图像，不符合题意；

对于B选项，根据函数的定义本选项符合题意；

对于C选项，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意；

对于D选项，值域当中有的元素在集合中没有对应的实数，不符合题意.

故选：B．

2．下列选项中和表示同一个函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】当定义域相同，对应法则一致时，两个函数为同一函数，其中AC选项定义域与不同，B选项对应法则不同，D选项两者均一致，故D正确.

【详解】的定义域为R，的定义域为，故A错误；，对应法则不同，B错误，定义域为，故C错误；定义域为R，且与对应法则也相同，故D正确.

故选：D

3．函数的反函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设，反解后可得反函数.

【详解】设，则，且，

故原函数的反函数为，

故选：D.

4．已知为定义在上的函数，则“存在，使得”是“既不是奇函数也不是偶函数”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】由来判断充分性，由为非奇非偶函数，举例说明，来判断必要性从而得到答案．

【详解】解：若存在，，使得

则，则既不是奇函数也不是偶函数，充分性成立，

若，既不是奇函数也不是偶函数

但对于，均有，必要性不成立，

所以“存在，使得”是“既不是奇函数也不是偶函数”的充分不必要条件.

故选：A．

5．设是非空集合，且，定义在上的函数的值域为（    ）

A． B． C． D．以上都不对

【答案】D

【分析】分和两种情况讨论，根据所给定义得到函数的值域，即可判断；

【详解】解：当时，，所以，即的值域为；

当时，，所以的值域为；

故选：D

6．若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（    ）．

A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5

【答案】B

【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.

【详解】解：因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；

因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；

因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；

因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以满足精确度；

所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .

故选：B

7．函数的递增区间是_______．

【答案】

【分析】根据二次函数的性质判断即可.

【详解】解：因为，对称轴为，开口向上，

所以函数的单调递增区间为；

故答案为：

8．函数的值域为________．

【答案】

【分析】求出函数的定义域，并化简函数的解析式，利用反比例函数的值域可求得函数的值域.

【详解】由，可得且，函数的定义域为且，

，

所以且，

所以函数的值域为．

故答案为：．

9．若函数（）是增函数，则实数a的取值范围是__________

【答案】

【分析】由题知，进而解不等式即可得答案.

【详解】解：因为函数的定义域为，函数是增函数，

所以，二次函数的对称轴，解得.

所以，实数a的取值范围是

故答案为：

10．设为定义在上的奇函数，当时，，则时，___________.

【答案】

【分析】根据给定条件，利用偶函数定义直接求解作答.

【详解】解：设，则，

因为当时，，

所以，

因为为定义在上的奇函数，

所以，

所以，

故答案为：.

11．设（、为常数），若，则______

【答案】40

【分析】根据题意，求解相应函数值，利用等量代还，可得答案.

【详解】由题意，则，即，

由，

故答案为：40.

12．若函数，为奇函数，则参数a的值为___________．

【答案】1

【分析】根据奇函数的定义可求参数的值.

【详解】当时，，

当时，，故，

而，故即，

故答案为：1.

13．已知R、R，函数是偶函数，则=_________.

【答案】5

【分析】根据偶函数的性质进行求解即可.

【详解】因为该函数是偶函数，所以定义域必须关于原点对称，因此有，

设，由偶函数的性质可知：

，因此，

故答案为：

14．已知是偶函数，且方程有五个解，则这五个解之和为______．

【答案】

【分析】根据函数的奇偶性和图象变换，得到函数的图象关于对称，进而得出方程其中其中一个解为，另外四个解满足，即可求解.

【详解】由题意，函数是偶函数，可函数的图象关于对称，

根据函数图象的变换，可得函数的图象关于对称，

又由方程有五个解，则其中一个解为，

不妨设另外四个解分别为且，

则满足，即，

所以这五个解之和为.

故答案为：.

15．已知函数，.

(1)求的值.

(2)用定义证明函数在上为增函数.

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【分析】（1）首先求得，再由即可求值；

（2）令，结合解析式判断的大小，即可证结论.

【详解】（1）由，则.

（2）令，则

，

又，，故，即，

所以在上为增函数.

16．已知函数，常数

（1）已知，若的定义域关于原点对称，求实数的值;

（2）当时，判断在区间上的单调性，并利用定义证明您的结论.

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】（1）根据真数大于0，结合定义域关于原点对称可直接得解；

（2）当时，为减函数，利用单调性定义证明即可.

【详解】（1），，

则，若的定义域关于原点对称，则，

此时定义域为；

（2）当时，为减函数，证明如下：

设，

则，

因为，所以，

所以，即，

所以函数在上为减函数.

17．已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____________．

【答案】

【分析】由已知结合反比例函数的图像平移及函数的单调性得，再求分式函数的值域即可得答案..

【详解】解：，

因为函数在上单调递减，

所以，解得

所以

由于，故，

所以，所以，

所以的取值范围是

故答案为：

18．已知函数若是函数的最小值，则实数的取值范围为______．

【答案】

【分析】利用定义可知在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值为，再根据是的最小值，可知且，解得结果即可得解.

【详解】当时，，

任设，则，

当时，，，

所以，所以，

当时，，，

所以，所以，

所以在上递减，在上递增，

所以当时，取得最小值为，

又因为是的最小值，所以且，解得.

故答案为：.

19．已知定义域为R的函数则关于t的不等式的解集为________.

【答案】.

【分析】先判断出是奇函数且在R上为减函数，利用单调性解不等式.

【详解】函数的定义域为R.

因为，所以，所以，

即是奇函数.

因为为增函数，所以为减函数，所以在R上为减函数.

所以可化为.

所以，解得：或.

故答案为：.

20．已知函数，在上是增函数，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据是上的增函数,根据一次函数单调递增则斜率大于0,指数函数中底数大于1,分段处时满足增函数定义分别列式求解即可.

【详解】由是上的增函数

可得

故

故答案为：

21．已知函数的定义域，且对任意，恒有，当时，，若，则的取值范围是______________．

【答案】

【分析】根据给定条件探求出函数在上的单调性，再利用单调性解即得.

【详解】，且，则，而当时，，于是得，

因对任意，恒有，因此，，

从而得在上的单调递减，由得：，

解得：，解，即得，则有，

所以的取值范围是.

故答案为：

22．已知.

(1)若函数是偶函数，且当时，，当时，求的表达式；

(2)证明：函数在区间上是严格增函数.

【答案】(1)当时，；

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据偶函数的定义设变量代入直接计算作答.

(2)利用函数单调性定义证明函数单调性的方法、步骤推理作答.

(1)

，则，而时，，又函数是偶函数，

于是得，

所以当时，.

(2)

且，则，

因，则，，，即，有，

所以函数在区间上是严格增函数.

23．已知函数是上的奇函数，．

(1)求的值．

(2)用定义证明：函数是上的严格增函数．

【答案】(1)1；(2)详见解析.

【分析】（1）根据是上的奇函数，由成立求解；

（2）任取，且，判断的符号即可.

(1)

解：因为函数是上的奇函数，

所以，即，

所以，

解得；

(2)

由（1）知：，

任取，且，

则，

因为，

所以，

因为，

所以，

所以，

即，

所以函数是上的严格增函数.

24．已知函数，；

(1)判断的奇偶性，并说明理由；

(2)判断在的单调性，并证明．

【答案】(1)偶函数；(2)在是减函数，证明详见解析.

【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断；

（2）由，利用函数的单调性定义证明.

(1)

解：的定义域为R，且，

所以是偶函数；

(2)

在是减函数，证明如下：

由，

，且，

，

因为，

所以，

又因为，

所以，

所以，即，

所以在是减函数.

25．已知函数 ( 为实常数).

(1)设 在区间 上的最小值为 ， 求 的表达式;

(2)设 ， 若函数 在区间上是增函数， 求实数的取值范围.

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）就、、、、分类讨论后结合函数的单调性可求函数的最小值.

（2）利用单调性的定义可求参数的取值范围.

（1）

若，则，该函数在上为减函数，故，

若，则的图象为开口向下的抛物线，且其对称轴为，

故在上为减函数，故，

若，则，故在上为减函数，

故，

若，则在上为减函数，在为增函数，

故，

若，则，故在上为增函数，

故，

综上，.

（2）

，

任意的，

，

因为 在区间上是增函数，故对任意恒成立，

而，故对任意.

若即，

因为，故即，故，

若即，故，符合；

若即，故即，故，

综上，.

26．已知函数是定义在上的奇函数，且.

(1)求a，b的值；

(2)用定义证明在上是增函数；

(3)解不等式：.

【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3).

【分析】(1)根据奇函数的定义及给定函数值列式计算作答.

(2)用函数单调性定义证明单调性的方法和步骤直接证明即可.

(3)利用(1)，(2)的结论脱去法则“f”，解不等式作答.

（1）

因数是定义在上的奇函数，则，即，

解得，即有，，解得，

所以，.

（2）

由(1)知，，，

因，则，而，因此，，即，

所以函数在上是增函数.

（3）

由已知及(1)，(2)得：，解得，

所以不等式的解集为：.

27．已知函数的定义域为D，若存在区间使得函数满足：

①函数在区间上是严格增函数或严格减函数；

②函数，的值域是，

则称区间为函数的“n倍区间”.

(1)判断下列函数是否存在“2倍区间”（不需要说明理由）；

①；  ②；

(2)证明：函数不存在“n倍区间”；

(3)证明：当有理数满足时，对于任意n，函数都存在“n倍区间”，并求函数和所有的“10倍区间”.

【答案】(1)不存在2倍区间，存在2倍区间；

(2)证明见解析；

(3)证明见解析，的“10倍区间”有，的“10倍区间”有.

【分析】（1）先确定两个函数是否严格单调，若是，则设出区间，进而根据“2倍区间”的定义判断答案；

（2）先假设函数存在“n倍区间”，进而根据“n倍区间”的定义证明问题；

（3）先考虑函数的情况，根据题意得到有两个非负解并解出，然后证明问题，进而求出两个函数的“10倍区间”.

(1)

不存在2倍区间，存在2倍区间.

理由如下：根据严格单调定义可知，函数在R上严格单调递减，若是函数的2倍区间，则函数的值域为，且，不满足a<b.所以不存在2倍区间.

易知函数在上严格单调递增，若是函数的“2倍区间”，则函数的值域为，且，即函数存在“2倍区间”.

(2)

假设存在区间是的“n倍区间”，

由条件①可知，

或.

当，即时，

因为在是严格减函数，

所以，得，即，

这与的假设矛盾，所以假设不成立，

即在不存在“n倍区间”

当时，，

这与时，矛盾

即在不存在“n倍区间”

综上所述，不存在“n倍区间”.

(3)

先考虑的情况，

因为在是严格增函数，若存在“n倍区间”，则有两个非负解，

原方程可化为，

当时，原方程有两个非负解和，

所以，至少存在一个“n倍区间”为.

在是严格增函数，

令得，

所以有三个“10倍区间”：.

在是严格增函数，在是严格减函数，

当时，，所以不存在“10倍区间”，

所以有1个“10倍区间”：.

28．（2022·上海青浦·二模）已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则的值是_________．

【答案】或3.

【分析】先判断区间与的关系可得，再分析时定义域与值域的关系，根据函数的单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得和即可.最后分析当时，，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可

【详解】先判断区间与的关系，因为，故或.因为当，即时，由题意，当时，，故不成立；故.

再分析区间与的关系，因为，故或.

①当，即时，因为在区间上为减函数，故当， ，因为，而，故此时，即，因为，故即，故，解得，因为，故.此时区间在左侧，在右侧.故当时，，因为，故，所以 ，此时，故，解得，因为，故；

②当时，在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故；

综上所述，或3

故答案为：或3.

29．（2022·上海静安·模拟预测）函数是偶函数，当时，，则不等式的解集为______.

【答案】或

【分析】由函数的单调性与奇偶性求解．

【详解】因为当时，单调递增，且，

所以等价于.

因为为偶函数，所以，解得或，

即不等式的解集为或

故答案为：或．

30．（2022·上海静安·模拟预测）已知为R上的奇函数，且，当时，，则的值为______．

【答案】##-0.8

【分析】由题设条件可得的周期为2，应用周期性、奇函数的性质有，根据已知解析式求值即可.

【详解】由题设，，故，即的周期为2，

所以，且，

所以.

故答案为：.

31．（2022·上海·模拟预测）设，已知函数．

(1)若时，解不等式；

(2)若在区间上有零点，求的取值范围．

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）把不等式转化为，直接求解；

（2）利用分离参数法得到，直接求出的取值范围．

（1）

当时，；

不等式即为，

即，，得，

所以不等式的解集为；

（2）

由题意，令，即方程在区间上有实数解．

整理得．

由，得，．

所以，的取值范围为．

32．（2022·上海金山·二模）经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如下表所示：

未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元）与时间第天的函数关系式为，且为整数，而后15天此商品每天每件的利润元与时间第天的函数关系式为（，且为整数）.

(1)现给出以下两类函数模型：①（为常数）；②为常数，且.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；

(2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由.

【答案】(1)选择函数模型①，其解析式为（且为整数）

(2)这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型，理由见解析

【分析】（1）将将以及分别代入对应的函数模型，求得对应的函数解析式，再代入计算判断是否满足即可；

（2）记日销售利润为，根据一次函数与二次函数的单调性分析的最大值，判断与4万元的大小关系判断即可

（1）

若选择模型（1），将以及代入可得

解得，即，经验证，符合题意；

若选择模型（2），将以及代入可得，

解得，即，

当时，，故此函数模型不符题意，

因此选择函数模型（1），其解析式为（且为整数）

（2）

记日销售利润为，

当且为整数时，，

对称轴，故当时，利润取得最大值，且最大值为392（百元）

当且为整数时，，

当时，利润单调递减，

故当时取得最大值，且最大值为（百元）

所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型.