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第5章 函数的概念、性质及应用【过知识课件】-2022-2023学年高一数学单元复习（沪教版2020必修第一册）
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这是一份第5章 函数的概念、性质及应用【过知识课件】-2022-2023学年高一数学单元复习（沪教版2020必修第一册），共45页。PPT课件主要包含了知识网络，知识梳理，实数集，实数x，f－x＝fx，增或减函数，纵坐标，fc＝0，fx＝0，几类已知函数模型等内容，欢迎下载使用。
如果两个函数的定义域和对应法则都完全一致，就称这两个函数是相同的.
函数三种表示法的优缺点比较
f(－x)＝－f(x)
如果函数y＝f(x)在区间I上是 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间I上是单调函数，并称区间I叫做y＝f(x)的单调区间.
提醒 (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.(2)单调区间I⊆定义域D.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.
1.概念：对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在实数c∈D，当x=c时， ，就把x=c叫做函数y＝f(x)，x∈D的零点.2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
1.确定零点x0的初始区间[a，b]，验证 .2.求区间(a，b)的中点 .3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则 就是函数的零点.(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈ )，则令b＝c.(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈ )，则令a＝c.
f(a)·f(b)<0
概念：对于函数y＝f(x)，x∈D，记其值域为f(D).如果对f(D)中的任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y＝f(x)，那么得到的x关于y的函数叫做y＝f(x)的反函数，记作x＝f-1(y)，y∈f(D).由于习惯上，自变量常用x表示，二函数值常用y表示，因此把该函数改写为y＝f-1(x)，x∈f(D).
提醒：1、在定义域上严格单调的函数存在反函数。2、互为反函数的两函数的图像关于直线y=x对称。
解析 由y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则x－1∈[－2,1]，即f(x)的定义域是[－2,1]，令－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定义域为[0,1].
{x|1≤x≤5且x≠3}
故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}.
解得0
(1)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5]；
例2 求下列函数的值域：
∴函数的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞).
解析 因为x2≥0，所以x2＋1≥1，
所以函数的值域为(0,1].
解析 定义域为各段的并集，即(0,1)∪{0}∪(－1,0)＝(－1,1).值域为各段的并集(0,1)∪{0}∪(－1,0)＝(－1,1).
则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)；
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
∴f(x)＝x2－2x－1.
求函数解析式的四种常用方法(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可.(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可.(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可.(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性.
解 方法一 (配凑法)：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6.方法二 (换元法)：令t＝x＋1，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6.
对应练习(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
考点4、函数的性质综合
例4 已知函数f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若对于任意的m，n∈[－1,1]，m＋n≠0，有 >0.(1)判断函数的单调性(不要求证明)；
解 函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数.
解 由(1)知函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，
(3)若f(x)≤－2at＋2对于任意的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围.
解 因为函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，且f(1)＝1，要使得对于任意的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]都有f(x)≤－2at＋2恒成立，只需对任意的a∈[－1,1]，－2at＋2≥1恒成立.令y＝－2at＋1，当t≠0时y可以看作a的一次函数，且在a∈[－1,1]时，y≥0恒成立.
当t＝0时，y＝1，满足y≥0恒成立.
对应练习1、设函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)<0；③f(3)＝－1.
解 因为对任意正数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝－1，令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，f(1)＝0，令x＝y＝3，则f(9)＝f(3)＋f(3)＝－2，
(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
证明 令x1
(3)如果不等式f(x)＋f(2－x)<2成立，求x的取值范围.
解 设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
解 要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
故实数a的取值范围是(1,3].
例5 已知函数f(x)＝|－x2＋2x＋3|.(1)画出函数图象并写出函数的单调区间；
解 当－x2＋2x＋3≥0时，得－1≤x≤3，函数f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，当－x2＋2x＋3<0时，得x<－1或x>3，函数f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
单调递增区间为[－1,1]和[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1,3).
解 由题意可知，函数y＝f(x)与y＝m的图象有四个不同的交点，则0＜m＜4.故集合M＝{m|0
解析 因为f2(x)－bf(x)＝0，所以f(x)＝0或f(x)＝b，
结合图象可知，f(x)＝0有2个不同的根，f(x)＝b(0
如果两个函数的定义域和对应法则都完全一致，就称这两个函数是相同的.
函数三种表示法的优缺点比较
f(－x)＝－f(x)
如果函数y＝f(x)在区间I上是 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间I上是单调函数，并称区间I叫做y＝f(x)的单调区间.
提醒 (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.(2)单调区间I⊆定义域D.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.
1.概念：对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在实数c∈D，当x=c时， ，就把x=c叫做函数y＝f(x)，x∈D的零点.2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
1.确定零点x0的初始区间[a，b]，验证 .2.求区间(a，b)的中点 .3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则 就是函数的零点.(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈ )，则令b＝c.(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈ )，则令a＝c.
f(a)·f(b)<0
概念：对于函数y＝f(x)，x∈D，记其值域为f(D).如果对f(D)中的任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y＝f(x)，那么得到的x关于y的函数叫做y＝f(x)的反函数，记作x＝f-1(y)，y∈f(D).由于习惯上，自变量常用x表示，二函数值常用y表示，因此把该函数改写为y＝f-1(x)，x∈f(D).
提醒：1、在定义域上严格单调的函数存在反函数。2、互为反函数的两函数的图像关于直线y=x对称。
解析 由y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则x－1∈[－2,1]，即f(x)的定义域是[－2,1]，令－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定义域为[0,1].
{x|1≤x≤5且x≠3}
故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}.
解得0
(1)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5]；
例2 求下列函数的值域：
∴函数的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞).
解析 因为x2≥0，所以x2＋1≥1，
所以函数的值域为(0,1].
解析 定义域为各段的并集，即(0,1)∪{0}∪(－1,0)＝(－1,1).值域为各段的并集(0,1)∪{0}∪(－1,0)＝(－1,1).
则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)；
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
∴f(x)＝x2－2x－1.
求函数解析式的四种常用方法(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可.(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可.(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可.(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性.
解 方法一 (配凑法)：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6.方法二 (换元法)：令t＝x＋1，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6.
对应练习(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
考点4、函数的性质综合
例4 已知函数f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若对于任意的m，n∈[－1,1]，m＋n≠0，有 >0.(1)判断函数的单调性(不要求证明)；
解 函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数.
解 由(1)知函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，
(3)若f(x)≤－2at＋2对于任意的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围.
解 因为函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，且f(1)＝1，要使得对于任意的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]都有f(x)≤－2at＋2恒成立，只需对任意的a∈[－1,1]，－2at＋2≥1恒成立.令y＝－2at＋1，当t≠0时y可以看作a的一次函数，且在a∈[－1,1]时，y≥0恒成立.
当t＝0时，y＝1，满足y≥0恒成立.
对应练习1、设函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)<0；③f(3)＝－1.
解 因为对任意正数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝－1，令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，f(1)＝0，令x＝y＝3，则f(9)＝f(3)＋f(3)＝－2，
(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
证明 令x1
(3)如果不等式f(x)＋f(2－x)<2成立，求x的取值范围.
解 设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
解 要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
故实数a的取值范围是(1,3].
例5 已知函数f(x)＝|－x2＋2x＋3|.(1)画出函数图象并写出函数的单调区间；
解 当－x2＋2x＋3≥0时，得－1≤x≤3，函数f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，当－x2＋2x＋3<0时，得x<－1或x>3，函数f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
单调递增区间为[－1,1]和[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1,3).
解 由题意可知，函数y＝f(x)与y＝m的图象有四个不同的交点，则0＜m＜4.故集合M＝{m|0
解析 因为f2(x)－bf(x)＝0，所以f(x)＝0或f(x)＝b，
结合图象可知，f(x)＝0有2个不同的根，f(x)＝b(0
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