单元复习03 不等式【过习题】（分级培优练）- 2022-2023学年高一数学单元复习（苏教版2019必修第一册）

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单元复习03 不等式

一、单选题
1．已知，则下列各式一定成立的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据不等式的性质证明即可. 不成立的可举反例说明.
【解析】因为，，的大小无法确定，A，B均不正确；取，，得，所以C不正确；可得，所以，故D正确.
故选：D.
2．不等式的解集为（       ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【分析】根据二次不等式的解法求解即可.
【解析】可化为，
即，即或．
所以不等式的解集为或.
故选：A
3．对于，，下列不等式中不成立的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式即可求解.
【解析】对于A，令a＝－， b＝－，
则＋＝－a－b＝－(a＋b)≤－2＝－，当且仅当取等号，不成立；
对于B， >0, >0，所以＋≥2，当且仅当取等号，成立；
对于C，st＝(－s)(－t)≤，当且仅当取等号，成立；
对于D，，
当且仅当取等号，成立．
故选：A
4．已知，，则的最小值是（       ）
A． B．4
C． D．5
【答案】C
【分析】利用题设中的等式，把的表达式转化成，展开后，利用基本不等式求得的最小值.
【解析】因为，，
所以（当且仅当，即时等号成立）.
所以的最小值是.
故选：C.
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，其中解答中熟记基本不等式求最值的条件“一正、二定、三相等”，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
5．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在关于的不等式展开后可以得到一个一元二次不等式，又因为它的解集是，所以二次项系数应该是小于0的．
【解析】

因为不等式的解集为
所以二次项的系数小于0，
【点睛】在计算一元二次不等式时，可根据函数图像性质来推断出二次项系数的大小．
6．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【解析】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．

7．关于的不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分m＝0和m≠0进行讨论，若m≠0，则二次函数开口向上，△＜0，列出不等式解出．
【解析】当m＝0时，不等式为﹣x+1＞0，即x＜1，不符合题意．
当m≠0时，mx2﹣（1﹣m）x+1＞0对任意实数x都成立，
则m＞0且△＝（1﹣m）2﹣4m＜0，
解得3﹣2m＜3+2
故选C．
【点睛】本题考查了二次不等式与二次函数的关系，对m进行讨论是关键，属于基础题.
8． 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求．
【解析】解：正实数，满足，

当且仅当且，即，时取等号，
存在，使不等式有解，
，解可得或，即，
故选：C．

二、多选题
9．若，则下列不等式正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】先利用不等式性质得到，再利用不等式性质逐一判断选项的正误即可.
【解析】由知，，，即，故，
所以，A错误，B错误；
由知，，，则，故C正确；
由知，，则，故，即，D正确.
故选：CD.
10．小王从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据题意，求得，结合基本不等式即可比较大小.
【解析】设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为，
.
，由基本不等式可得，
，
另一方面，
，
，则.
故选：AD.
【点睛】本题考查利用基本不等式比较大小，属基础题.
11．已知函数，则下列结论正确的是（       ）
A．关于x的不等式的解集可以是
B．关于x的不等式的解集可以是
C．函数在上可以有两个零点
D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”
【答案】BCD
【分析】根据不等式的解集求出、，再解不等式可判断A；取，，解不等式可判断B；取，可判断C；根据根的分布、充要条件的定义可判断D．
【解析】若不等式的解集是，则且，得，
而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误；
取，，此时不等式的解集为，故B正确；
取，，则由，得或3，故C正确；
若关于x的方程有一个正根和一个负根，则得，
若，则，故关于x的方程有两个不等的实根，
且，即关于x的方程有一个正根和一个负根．
因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确．
故选：BCD．
12．已知，，且，则（       ）
A．的取值范围是
B．的取值范围是
C．的最小值是3
D．的最小值是
【答案】BD
【分析】根据基本不等式可求得，判断A;将变形为结合基本不等式，判断B；由整理得到结合基本不等式可判断C,D.
【解析】对于A，因为，，所以，当且仅当时取等号，
即，解得，即，A错误；
对于B, 由，,，当且仅当时取等号，
得，所以,
又，所以，B正确；
对于C, 由，，，得，
则 ，
当且仅当，即时等号成立,但，
所以．（等号取不到）,故C错误；
对于D，由C的分析知：，,,
，
当且仅当，即时等号成立，D正确，
故选：BD

三、填空题
13．不等式的解集：_____________.
【答案】.
【分析】化简不等式为x+1x+2x-1≤0，结合分式不等式的解法，即可求解.
【解析】由题意，不等式，可化为x+1x+2x-1≤0，
根据分式不等式的解法，可得或，
即不等式的解集为.
故答案为：.
14．若关于的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数的取值范围为___________．
【答案】，
【分析】不等式化为，根据解集中恰好有3个正整数即可求得m的范围.
【解析】可化为，
该不等式的解集中恰有3个正整数，
不等式的解集为，且；
故答案为：，．
15．某校食堂需定期购买大米．已知该食堂每天需用大米0.6t，每吨大米的价格为6000元，大米的保管费用z（单位：元）与购买天数x（单位：天）的关系为（），每次购买大米需支付其他固定费用900元．若要使食堂平均每天所支付的总费用最少，则食堂应______天购买一次大米．
【答案】10
【分析】设平均每天所支付的总费用为y元，求出的表达式利用基本不等式求最值可得答案.
【解析】设平均每天所支付的总费用为y元，
则
，
当且仅当，即时取等号，故该食堂10天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少．
故答案为：10.
16．若，，则当______时，取得最小值．
【答案】##
【分析】由，，可得，然后分和对化简，再利用基本不等式可求得答案
【解析】∵，，∴，即，
①当时，，当且仅当时取等号，故当，取得最小值．
②当时，，当且仅当时取等号，故当时，取得最小值．
综上所述，当a的值为时，取得最小值，
故答案为：．

四、解答题
17．已知三个不等式：，，（其中a，b，c，d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，请写出可组成正确命题的两个命题．
【答案】答案见解析
【分析】先任意选择两个不等式，看能否推出剩下的不等式，再判断得解.
【解析】解：若，成立，不等式两边同除以ab可得，
即命题1：，．
若，成立，不等式两边同乘ab，可得，
即命题2：，．
若，成立，则．
又，则，
即命题3：，．
（以上三个命题中可以任意选择两个命题都可以）
18．已知，且.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用基本不等式求得的最大值.
（2）利用基本不等式求得的最小值.
【解析】（1）依题意，
当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.
（2）
.
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
【点睛】本小题主要考查基本不等式求最值，属于基础题.
19．已知不等式的解集是．
(1)求常数a的值；
(2)若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得－1和3是方程的解，将代入方程中可求出a的值；
（2）由的解集为R，可得，从而可求出m的取值范围
（1）
因为不等式的解集是．
所以－1和3是方程的解，
把代入方程解得．经验证满足题意
（2）
若关于x的不等式的解集为R，即的解集为R，
所以，
解得，所以m的取值范围是．
20．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万
元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的
总收入为50万元.
（1）该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)？
（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出;
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪一种方案较为合算，请说明理由.
【答案】（1）该船捕捞3年后开始盈利；（2）方案最合算．
【解析】试题分析：（1）列出盈利y的函数式，令其大于零解不等式即可；（2）对于方案，先求出平均盈利的函数
＝－2n－＋40，然后求最大值，并求出取最大值时的x;同理对方案‚，求出盈利总额y的最大值及此时x的值，最后比较两个方案共盈利额及时间，从而得出结论．
试题解析：（1）设捕捞n年后开始盈利，盈利为y元，则

由y>0，得n2－20n＋490）满足>>>，….根据上述性质，写出一个全称量词命题或存在量词命题（真命题）________
【答案】，（答案不唯一）
【分析】结合条件及全称量词命题、存在量词命题的概念即得.
【解析】∵真分数（b>a>0）满足>>>，…
∴，.
故答案为：，.
12．若，不等式有解，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】因为，对式子的分子分母同除以，利用基本不等式求得其最大值，令，结合不等式解出实数m的取值范围.
【解析】∵，∴，当且仅当，即时取等号，
∴，∴，即，得，所以实数m的取值范围是．
故答案为：
13．已知，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围______．
【答案】
【分析】由题意结合基本不等式可得，则不等式等价于，由此即可解出m的取值范围.
【解析】因为，且，
所以，当且仅当时等号成立，
又不等式恒成立，所以，即，解得．
故答案为：.
14．已知a，b，，记，则T最大值为________.
【答案】
【解析】将分子分母同除以ac，利用基本不等式可得分母 ，再将，分子分母同除以b，利用基本不等式求解.
【解析】，
而，
，
当且仅当 时，等号成立，
所以，.
当且仅当，即时取等号，
所以T最大值为
故答案为：
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

四、解答题
15．已知不等式的解集为条件，关于的不等式（）的解集为条件．
(1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若的充分不必要条件是，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件解不等式得，条件解不等式得，根据是的充分不必要条件，可得，再根据包含关系可得答案；
（2）根据的充分不必要条件是，则，解不等式组可得答案.
（1）
条件由，可得，解得，记；
条件由，可得，
因为，所以，所以，记，
若是的充分不必要条件，则，可得，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）
若的充分不必要条件是，则，可得，解得，又，所以实数的取值范围是.
16．已知关于x的不等式的解集为．
(1)求实数a，b的值；
(2)当，，且满足时，有恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得出和b是关于x的方程的两个实数根，且，代方程求得，再解一元二次方程可得；
（2）由基本不等式求得的最小值，然后解相应不等式可得的范围．
（1）
因为不等式的解集为，
所以和b是关于x的方程的两个实数根，且．
因为是的一个实数根，所以，解得．
将代入，得，解得，所以．
（2）
由（1）得，
故，
当且仅当，即，时，等号成立，
由题意得，即，解得，
所以实数k的取值范围为．
17．已知a，b为正实数．
(1)证明：；
(2)若，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用作差法证明即可；
（2）依题意可得，则，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
(1)
证明：






因为，所以，当且仅当时取等号，又，
所以，即；
(2)
证明：因为，，，即，
所以，
所以






当且仅当，即、时取等号，
即；
18．已知，，且.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）先通过基本不等式求出的最小值，进而解出不等式即可；
（2）先进行变形，然后通过基本不等式证得答案.
（1）
已知，，且.
则，
当且仅当时，取到最小值，所以，即，解得.
（2）
，当且仅当，即时，等号成立.所以.
19．已知集合，．
（1）若，且，求实数及的值；
（2）在（1）的条件下，若关于的不等式组没有实数解，求实数的取值范围；
（3）若，且关于的不等式；的解集为，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）；（3）.
【解析】（1）本题首先可通过求解得出或，然后根据、得出集合，最后根据和是方程的解即可得出结果；
（2）本题首先可结合（1）将转化为，然后根据没有实数解即可得出结果；
（3）本题首先可根据求出、，然后分为、两种情况对进行讨论，即可得出结果.
【解析】（1）因为，即，解得或，
所以集合或，
因为，，所以集合，
因为集合，
所以和是方程的解，
则，解得，.
（2）因为，，
所以，即，解得，
故不等式组没有实数解即没有实数解，
故，实数的取值范围为.
（3）因为，所以和是方程的解，
则，解得，，
即，
因为的解集为，
所以若，则，解得，
若，即，解集为，
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】本题考查集合与一元二次不等式的性质的综合应用，考查根据交集、并集的相关性质求集合，考查一元二次不等式的解法，考查推理能力与计算能力，考查函数方程思想，体现了综合性，是难题.
20．已知不等式，其中x，k∈R．
(1)若x＝4，解上述关于k的不等式；
(2)若不等式对任意k∈R恒成立，求x的最大值．
【答案】(1)或或}
(2)
【分析】（1）将x＝4代入不等式化简可得， ，利用一元二次不等式的解法求解即可；
（2）利用换元法，令，将问题转化为对任意t≥1恒成立，利用基本不等式求解的最小值，即可得到x的取值范围，从而得到答案．
（1）
若x＝4，则不等式变形为
即，
解得或，
所以 或或，
故不等式的解集为或或}；
（2）
令，
则不等式对任意k∈R恒成立，
等价于对任意t≥1恒成立，
因为，
当且仅当，即t＝时取等号，
所以x≤，
故x的最大值为．
21．问题：正数，满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正实数x，y满足，求的最小值；
(2)若实数，，，满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件；
(3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值.
【答案】(1)．
(2)，等号成立的条件是且同号，；
(3)时，取得最小值．
【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值；
（2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件．
（3）令，，构造，即以，即，然后利用（2）的结论可得．
(1)
,，则，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．
(2)
，
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足；
(3)
令，，构造，
所以，即，因此，
所以，
取等号时，且同正，
结合，解得，即，．
所以时，取得最小值．
【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用，考查了学生的灵活运用数学知识的能力．对学生的创新性思维要求较高，本题属于难题．


一、单选题
1．若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.
【解析】因为，则，故，A对B错；
，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错.
故选：A.
2．如果，那么下列不等式中正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对A,B,C，举反例判定即可，对D，根据判定即可
【解析】对A，若，则，不成立，故AB错误；
对C，若，则不成立，故C错误；
对D，因为，故D正确；
故选：D
3．已知，则的最小值是（       ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】对原式因式分解得，然后利用基本不等式即可求解.
【解析】由，得，
即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2.
故选：A.
4．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4