单元复习03 不等式【过习题】（考点练）- 2022-2023学年高一数学单元复习（苏教版2019必修第一册）

单元复习03 不等式

01 不等式的性质 基本不等式

一、单选题

1．给出下列语句：①．②3比5大．③这是一棵大树．④求证：是无理数．⑤二次函数的图象太美啦！⑥4是集合中的元素．其中是命题的个数为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．命题：“若，则或”的逆否命题是（       ）

A．若，则且 B．若，则或

C．若且，则 D．若且，则

3．命题“，”的否定是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

4．设，下列四个命题中真命题的是（       ）

A．“若，则” 的否命题 B．“若，则” 的逆否命题

C．若，则且 D．“若，则”的逆命题

5．已知命题为真命题，则实数的值不能是（       ）

A．1 B．0 C．3 D．

6．在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意，；（2）对任意a，，；（3）对任意a，b，，.给出下列三个结论：

①；

②对任意a，b，，；

③存在a，b，，；

其中，所有正确结论的序号是（       ）

A．② B．①③ C．②③ D．①②③

二、多选题

7．下列命题为真命题的是（       ）

A．集合有两个子集

B．若，则

C．集合里面有6个元素

D．平面直角坐标系中第二、四象限的点的集合可以表示为

8．下列说法正确的是（       ）

A．命题“”的否定是“”

B．命题“”的否定是“”

C．“”是“”的必要而不充分条件；

D．“关于的不等式对任意恒成立”的充要条件是“”

三、填空题

9．已知下列三个论断：①a是正数，②b是负数，③是负数．选择其中两个作为条件，一个作为结论，写出一个真命题：__________________．

10．命题“若，则”是____________命题（填“真”或“假”其中一个）.

11．命题“如果，那么”的否命题是___________.

12．下列命题正确的有：________.

①；

②已知，若，则.

③用反证法证明“已知，且，求证：.”时，应假设“且”；

④命题“若，则”的逆否命题是“若，则”.

四、解答题

13．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？

(1)p：，q：；

(2)p：或；q：；

(3)p：a能被6整除，q：a能被3整除．

14．判断下列两个命题的真假，并写出这两个命题的否定.

(1)命题存在整数，使得；

(2)命题，.

15．已知命题A“”．

(1)写出命题A的否定；

(2)若命题A是假命题，求出实数a的取值范围．

02 “1的妙用” 恒成立问题 基本不等式的应用

一、单选题

1．若正实数x,y满足，则的最大值是（       ）

A． B． C． D．

2．设正实数m，n满足，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

3．某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体，该项目由矩形核心喷泉区（阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）．当整个项目占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为（       ）

A．20m B．50m C．m D．100m

4．当时，函数的最小值为（       ）

A． B．

C． D．4

5．《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（       ）

A．由图1和图2面积相等得 B．由可得

C．由可得 D．由可得

6．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是　　

A． B．或

C． D．或

二、多选题

7．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E. 则该图形可以完成的所有的无字证明为（       ）

A． B．

C． D．

8．已知，，且，则（       ）

A．的取值范围是

B．的取值范围是

C．的最小值是3

D．的最小值是

三、填空题

9．已知，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围______．

10．已知，，下面四个结论：

①；②若，则的最小值为4；③若，则；④若，则的最小值为；

其中正确结论的序号是______．（把你认为正确的结论的序号都填上）

四、解答题

11．设a，b，c均为正数，且.

(1)证明：；

(2)是否存在？并说明理由.

12．已知，，且.

(1)若恒成立，求的取值范围；

(2)证明：.

13．如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，点C在MN上，米，米．

(1)要使扩建成的花坛面积大于27米，则AN的长度应在什么范围内？

(2)当AN的长度是多少米时，扩建成的花坛面积最小？并求出最小面积．

14．北京、张家港年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．

(1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

15．已知均为正实数，且满足证明：

(1)；

(2)．

03 一元二次不等式的解法

一、单选题

1．若集合，则（       ）

A． B．

C． D．

2．设集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

3．不等式的解集为（       ）

A．或 B．

C．或 D．

4．不等式的解集为，则的解集为 （     ）

A． B．或

C．或 D．

5．已知集合，则A∩B=（       ）

A．{x|-2≤x<2} B．{x|-2≤x≤1} C．{x|-2≤x≤-1} D．{x|-2≤x<-1}

6．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

7．设集合，且，则___________.

8．研究问题：“已知关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(1，2)，解关于x的不等式cx2－bx＋a＞0”，有如下解法：由ax2－bx＋c＞0⇒a－b＋c＞0.令y＝，则y∈，所以不等式cx2－bx＋a＞0的解集为.类比上述解法，已知关于x的不等式＋＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x的不等式＋＜0的解集为________．

三、解答题

9．解下列不等式：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

10．设集合，若，求实数的取值范围.

04 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

一、单选题

1．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（       ）

A． B．或 C． D．或

2．不等式的解集为，则实数的取值范围是（       ）

A．或 B．

C． D．

3．关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

4．关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

5．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C．或 D．

6．若存在x使得有正值，则m的取值范围是（       ）

A．或 B． C． D．

7．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（       ）

A． B． C． D．

8．已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列结论错误的是（       ）

A．若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R

B．不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0

C．若关于x的不等式ax2+x-1≤0的解集为R，则a≤-

D．不等式>1的解集为x<1

10．已知集合有且仅有两个子集，则下列选项中结论正确的是（       ）

A．

B．

C．若不等式的解集为，则

D．若不等式的解集为，且，则

三、填空题

11．命题甲：集合为空集；命题乙：关于的不等式的解集为．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是______．

12．若“对于一切实数x，”是“对于一切实数x，”的充分条件，则实数m的取值范围是______．

四、解答题

13．已知二次函数y＝ax2+bx﹣a+2．

(1)若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数a，b的值；

(2)若b＝2，a＞0，解关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．

14．已知不等式的解集为

(1)求，的值；

(2)解不等式.

15．已知关于的不等式．

(1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；

(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．

16．（1）若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围；

（2）设，且，若不等式恒成立，求实数a的取值范围．