单元复习07+三角函数【过习题】（分级培优练）-+2022-2023学年高一数学单元复习（苏教版2019必修第一册）

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单元复习07 三角函数

一、单选题
1．下列角中与终边相同的角是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由角度制与弧度制的互化公式得到，结合终边相同角的表示，即可求解.
【解析】由角度制与弧度制的互化公式，可得，
与角终边相同的角的集合为，
令，可得，
所以与角终边相同的角是.
故选：D.
2．已知为第三象限角，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据为第三象限角，可以得到，的取值范围，进一步得出答案.
【解析】∵为第三象限角，即，
∴即是第二、四象限，
∴或，或，故选项A、B错误，
∵
∴，，故C正确D错误.
故选：C.
3．下列函数中为周期是的偶函数是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据偶函数定义可判断选项,由三角函数的图像与性质可得周期,即可得解.
【解析】对于A，为偶函数,且最小正周期为,所以A正确;
对于B，为偶函数,但不具有周期性,所以B错误;
对于C，为奇函数，所以C错误;
对于D, 为非奇非偶函数,所以D错误.
综上可知,正确的为A
故选:A
4．我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程端娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月表400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为（）（    ）
A．1069千米 B．1119千米 C．2138千米 D．2238千米
【答案】D
【分析】利用弧长公式直接求解.
【解析】嫦娥五号绕月飞行半径为400+1738=2138，
所以嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为（千米）.
故选：D
5．已知角的终边与单位圆相交于点，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义，结合诱导公式可算出答案.
【解析】角的终边与单位圆相交于点P(sin11π6,cos11π6),
.
故选：D.
6．已知与的终边关于y轴对称，cos=-，则tan=（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由与的终边关于y轴对称，得，又因为cos=，求出，即可求出tan.
【解析】因为与的终边关于y轴对称，则，所以，则，所以tan= .
故选：D.
7．已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4，下列区间是函数的增区间的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据已知条件得到，再求其单调增区间即可.
【解析】由题知函数的周期，解得．
由知，当时，函数取得最大值，
∴，解得，
∴，
令，解得，，
∴当时，的增区间是．
故选：D
8．已知同时满足下列三个条件：①；②是奇函数；③.若在上没有最小值，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数的周期，计算的值，根据函数是奇函数，求得，又因为，可求，所以，再根据函数图像判断的取值范围.
【解析】的周期，
，，
，
是奇函数，
关于对称，
，
解得：，
，
，
即，
，
，
，
当时，，

由图象可知若满足条件，，
解得：.
故选：A
【点睛】本题考查根据函数性质判断参数的取值范围，意在考查函数性质的熟练掌握，以及数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是正确求函数的解析式.

二、多选题
9．若扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍，则(    )
A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积变为原来的4倍 D．扇形的圆心角变为原来的2倍
【答案】BC
【分析】利用扇形面积公式和弧长公式的变形即可求解.
【解析】设原扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为，则原扇形的面积为，
扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍后，其面积为，
故，故A错误，C正确；
由，可知扇形的圆心角不变，故B正确，D错误.
故选：BC．
10．函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ）．

A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称中心为，
C．该函数的单调递增区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
【答案】ACD
【分析】根据图象可得函数的解析式，然后根据三角函数的性质及图象变换规律逐项分析即得.
【解析】由题图可知，，周期，
所以，则，
因为当时，，即，
所以，，即，，
又，故，从而，故A正确；
令，，得，，故B错误；
令，，
得，，故C正确；
函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，
可得到，故D正确．
故选：ACD.

三、填空题
11．写出一个同时具有性质①；②的函数______（注：不是常数函数）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据函数的周期性以及特殊值求得正确答案.
【解析】由知函数以为周期，又，
所以满足条件．
（其他符合题意的答案均可，如，等．）
故答案为：（答案不唯一）
12．的单调增区间为________.
【答案】
【分析】求出给定函数的定义域，由对数函数、正弦函数单调性结合复合函数单调性求解作答.
【解析】依题意，，则，解得，
函数中，由得，
即函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，
又函数在上单调递增，
所以函数的单调增区间为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：函数的单调区间是定义域的子区间，求函数的单调区间，正确求出函数的定义域是解决问题的关键.

四、解答题
13．已知，其中为第二象限角.
(1)求cos﹣sin的值；
(2)求的值.
【答案】(1).
(2).

【分析】（1）由已知条件可得，利用同角三角函数基本关系式可得，结合在第二象限，解得cos的值，利用同角三角函数基本关系式即可求解.
（2）利用同角三角函数基本关系式可求tan的值，进而即可求解.
（1）
解：由已知条件可得，化简可得，代入sin2α＋cos2α＝1，得，
所以或，
又在第二象限，故cos＜0，所以，
所以，
所以.
（2）
解：由（1）得，
所以.
所以.
14．已知，且满足___________.从①；②；③.三个条件中选择合适的一个，补充在上面的问题中，然后作答补充完整的题目.
(1)求的值：
(2)若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.
【答案】(1)详见解析；
(2).

【分析】（1）由题可得选①不合题意，若选②利用同角关系式可得，进而可求，若选③，利用同角关系式可求的值，即得；
（2）由题可得，即求.
（1）
若选择①，∵，
∴，与矛盾；
若选择②，，则，
∴，又，，
∴，，
∴；
若选择③，∵，又，
∴，，
∴，
∴；
（2）
由题可得，
∴.
15．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度（单位：）由关系式确定，其中，，．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为．

（1）求小球相对平衡位置的高度（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系；
（2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）首先根据题意得到，，从而得到，．
（2）根据题意，当时，小球第一次到达最高点，从而得到，再根据周期为，即可得到.
【解析】（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以．
因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为，所以周期为2，
即，所以．
所以，．
（2）由题意，当时，小球第一次到达最高点，
以后每隔一个周期都出现一次最高点，
因为小球在内经过最高点的次数恰为50次，
所以．
因为，所以，
所以的取值范围为．
（注：的取值范围不考虑开闭）
16．函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求的单调递增区间；
(3)先将的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍得到函数的图象，求在区间上的值域.

【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】(1)由最大值可得，由，可得，令，得，从而可得的解析式；(2)根据正弦函数的单调性，由，解不等式可得结果；(3)当时，，函数在区间上的值域为,进而可得结果.
【解析】(1)由图可知，正弦曲线的振幅为1，所以.
，所以.
令，得，所以.
所以
(2)由，知.
所以函数的单调递增区间为.
(3)由题意知.
当时，，函数在区间上的值域为,
所以函数在区间.
【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用以及利用正弦函数的单调性求值域，属于中档题.形如，的函数求值域，分两步：（1）求出的范围；（2）由的范围结合正弦函数的单调性求出，从而可求出函数的值域.

一、单选题
1．已知角终边经过点，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用三角函数的定义求出的值，然后利用诱导公式对所求分式化简，并在分式的分子和分母中同时除以，代入的值计算即可.
【解析】由三角函数的定义可得，
因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数定义的应用，同时也考查了利用诱导公式和弦化切思想进行计算，考查计算能力，属于基础题.
2．若函数，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义即可求解.
【解析】解：由已知得，
，，
所以，
故选：D.
3．设，，，，则的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由tan1＞1＞sin1＞cos1＞0，利用对数函数的单调性比较大小即可．
【解析】∵tan1＞1＞sin1＞cos1＞0，
a＝logsin1cos1，b＝logsin1tan1，c＝logcos1sin1，d＝logcos1tan1，
∴a＝logsin1cos1＞logsin1sin1＝1，
0 ∴a＞c＞0．
又lgtan1＞0＞lgsin1＞lgcos1，
b＝logsin1tan1logcos1tan1＝d＜0，∴0＞d＞b．
综上可得：a＞c＞0＞d＞b．
∴b＜d＜c＜a．
故选D．
【点睛】本题考查四个数的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数性质、三角函数知识的合理运用．
4．已知函数，的图象过点，且在上单调，的图象向左平移个单位后得到的图象与原图象重合，若存在两个不相等的实数，满足，则
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由图像过点可得，由的图象向左平移个单位后得到的图象与原图象重合，可知，结合在上单调，从而得到，由此得到的解析式，结合图像，即可得到答案．
【解析】因为的图象过点，则，又，所以.一方面，的图象向左平移单位后得到的图象与原函数图象重合，则，即，化简可知．另一方面，因为在上单调，所以，即，化简可知.
综合两方面可知．则函数的解析式为，
结合函数图形，因为，当时，，
结合图象可知
则
，故选A．
【点睛】本题主要考查正弦函数解析式的求法，以及函数图像的应用，考查学生的转化能力，属于中档题．
5．已知函数的图象过点，且在区间内不存在最值，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将点代入，求得，由在区间内不存在最值，得是单调区间的真子集，利用数轴法得到不等式组，解之即可得到的取值范围.
【解析】因为函数过点，
所以，即，故，
因为，所以，故，
由得，所以的单调递增区间为，
同理：的单调递增区间为，
因为在区间内不存在最值，所以是单调区间的真子集，
当Ü时，有，解得，即，
又因为，，显然当时，不等式成立，且；
当Ü时，有，解得，即，
又因为，，显然当时，不等式成立，且；
综上：或，即
故选：D.
6．已知，给出下述四个结论:
①是偶函数;  ②在上为减函数;
③在上为增函数; ④的最大值为.
其中所有正确结论的编号是（    ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④
【答案】D
【分析】利用偶函数的定义即可判断①；利用举反例即可判断②和③；分四个范围对进行化简，然后利用三角函数的性质进行求值域，即可得到时的最值，结合偶函数即可判断
【解析】解：对于①，易得的定义域为，关于原点对称，
因为，所以是偶函数，故正确；
对于②和③，因为，
，
且，所以在不是减函数，在也不是增函数，故②，③错误；
对于④，当时，，
因为，所以，
所以，所以；
当时，，
因为，
所以，所以；
当时，；
当时，，
因为，
所以，所以，
所以，综上所述，当时，的最大值为，由于为偶函数，所以当时，的最大值也为，故的最大值为，故④正确；
故选：D
【点睛】方法点睛：利用四个象限对进行讨论，根据三角函数符号去掉绝对值，然后利用三角函数的性质进行求解值域

二、多选题
7．下列命题中正确的有（    ）
A．存在实数使
B．的值域是
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．若，都是第一象限角，且，则
【答案】BD
【分析】根据三角恒等变换辅助角公式化简即可判断A，根据余弦函数的性质可得的值域可知B，由于是函数图象的一个对称中心可知C，利用三角函数线可判断D．
【解析】，A错误；
根据余弦函数的性质可得的最大值为，
最小值为，其值域是，B正确；
点是函数图象的一个对称中心，C错误；
若，都是第一象限角，且，则利用三角函数线有，D正确．
故选：BD．

8．关于函数的下述四个结论，正确的有（    ）
A．若，则
B．的图象关于点对称
C．函数在上单调递增
D．）的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于y轴对称
【答案】ABD
【分析】①根据对称中心进行分析；②根据对称中心对应的函数值特征进行分析；③根据的单调性进行分析；④利用函数图象的平移进行分析，注意诱导公式的运用．
【解析】由知点，是图象的两个对称中心，则，A正确；
因为，所以点是的对称中心，B正确；
由，解得，
当时，在上单调递增，则在上单调递增，在上单调递减，C错误；
的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为
，是偶函数，所以图象关于y轴对称，D正确，
故选：ABD．

三、填空题
9．将函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象，则的值是____.
【答案】0
【分析】利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再代入后可得g（）的值．
【解析】解：将函数f（x）＝sin（2x+π）的图象向右平移个单位后，
得到函数g（x）＝sin[2（x﹣）+π]＝cos2x的图象，
则g（）＝cos（2×）＝0，
故答案为0．
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象平移变换，属于基础题．
10．已知函数，其中表示不超过的最大整数，下列关于说法正确的有:______．
①的值域为[-1,1]
②为奇函数
③为周期函数，且最小正周期T=4
④在[0，2）上为单调增函数
⑤与的图像有且仅有两个公共点
【答案】③⑤
【分析】根据已知分析函数f（x）＝sin（[x]）的图象和性质，逐一判断四个结论的真假，可得结论．
【解析】∵表示不超过的最大整数，
∴的值域为{﹣1，0，1}，故①错误；
∵函数＝sin（[]）
∴ sin（）＝0；
sin（）＝1．不是奇函数，故②错误；
作出函数图象，如图所示：

函数y＝f（x）是周期函数，且最小正周期为4，故③正确；
在[0，2）上为单调增函数显然错误，故④错误．
与的图像有且仅有两个公共点，分别是，故⑤正确；
故真命题为：③⑤，
故答案为：③⑤．
【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中分析出函数f（x）＝sin（[x]）的图象和性质，是解答的关键．

四、解答题
11．已知函数．
（1）若，且，求的值；
（2）求函数的最小正周期及单调递增区间．
【答案】（1）（2）最小正周期 单调递增区间为．
【解析】(1)由，且，可得，可求解答案.
(2)直接应用正弦型函数的图象与性质可求解的最小正周期及单调递增区间.
【解析】（1）因为，，
所以
（2）因为
所以
由，得．
所以的单调递增区间为．
【点睛】本题考查已知三角形函数值求值问题,还考查三角函数的周期和单调区间的求解,属于中档题.
12．函数在同一个周期内，当时y取最大值1，当时，y取最小值﹣1．
（1）求函数的解析式y=f(x)；
（2）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f(x)的图象？
（3）若函数f（x）满足方程f(x)=a（0＜a＜1），求在[0，2π]内的所有实数根之和．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） .
【分析】（1）通过同一个周期内，当时y取最大值1，当时，y取最小值﹣1．求出函数的周期，利用最值求出φ，即可求函数的解析式y=f（x）；
（2）函数y=sinx的图象经过左右平移，然后是横坐标变伸缩变换，纵坐标不变，可得到y=f（x）的图象，确定函数解析式；
（3）确定函数在[0，2π]内的周期的个数，利用f（x）=a（0＜a＜1）与函数的对称轴的关系，求出所有实数根之和．
【解析】（1）∵ ，∴，
又因，∴，又，得
∴函数 ；
（2）y=sinx的图象向右平移个单位得的图象，
再由图象上所有点的横坐标变为原来的．
纵坐标不变，得到的图象，
∵的周期为，
∴在[0，2π]内恰有3个周期，
∴在[0，2π]内有6个实根且，
同理，，
故所有实数之和为．
【点睛】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象，考查数形结合的思想，考查计算能力，是中档题．
13．给出以下三个条件：
①点和为函数图象的两个相邻的对称中心，且；
②；③直线是函数图象的一条对称轴．
从这三个条件中任选两个条件将下面题目补充完整，并根据要求解题．
已知函数．满足条件________与________．
(1)求函数的解析式；
(2)把函数的图象向右平移个单位长度，再将所得到的函数图象上的所有点的横坐标变为原来倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，函数的值域为，求实数的取值范围．
【答案】(1)条件选择见解析，；
(2).

【分析】（1）选①②，根据条件可求得函数的最小正周期，可求得的值，由②结合的取值范围，可求得的值，即可得出函数的解析式；
选①③，根据条件可求得函数的最小正周期，可求得的值，由③结合的取值范围，可求得的值，即可得出函数的解析式；
选②③，分别由②、③可得出关于的表达式，两式作差可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值，再由②结合的取值范围，可求得的值，即可得出函数的解析式；
（2）利用三角函数图象变换求得，由，得，分析可知函数，的值域为，由此可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
（1）
解：设函数的最小正周期为，
若选择①②，由①知，．
由②知，即，则，
解得，又因为，所以，所以．
若选择①③，由①知，，
由③知，解得．
又因为，所以，所以．
若选择②③，由②知，即，
所以，由③知．
两式相减得，所以，
因为，所以．
当时，，又因为，所以，所以．
（2）
解：将向右平移个单位后得．
再把得到的函数图像上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
得到函数，由，得．
因为的值域为，所以，的值域为．
所以，即．所以实数的取值范围为．
14．已知函数（m∈R）．
(1)若关于x的方程在区间上有三个不同解，求m与的值；
(2)对任意，都有，求m的取值范围．
【答案】(1)m＝4，；
(2).

【分析】（1）由题设及同角三角函数平方关系有，令，根据已知条件、二次函数的性质及三角函数的对称性求参数m，以及的关系，进而求.
（2）由（1）得且恒成立，讨论t的范围，结合对勾函数的性质求参数m的范围.
（1）
,
设，在上，则，
若有三个不同解，则有两个不同的根，其中，，
所以，得：m＝4，
由得：，
由，知：两个解关于对称，即，
综上，；
（2）
由（1），当时，，
要使恒成立，即，得，
当t＝0时，不等式恒成立，
当t＞0时，恒成立，又，当且仅当时取等号，此时，
当t＜0时，，而时为减函数，而，此时，
综上，实数m的取值范围是．
15．设函数
(1)若，，求角；
(2)若不等式对任意时恒成立，求实数应满足的条件：
(3)将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
(3)当时，（且）；当时，，
【分析】（1）先化简，由可得或，，再结合的范围即可求解；
（2）由余弦函数的单调性和参数分离、对勾函数的单调性, 可得所求范围;
（3）由三角函数的图象变换可得 , 再由两角和的正弦公式和恒等式的性质, 解方程可得所求范围.
(1)
由题意可知
∵，

或，
∵
∴或
(2)


令，
∴，，
，
令，
∴，
解得：；
(3)
∵，
∴的图象向左平移个单位，横坐标变为原来的，
可得
∵，存在非零常数，对任意的，
成立，在上的值域为，在上的值域为
∴
当时，，1为的一个周期，即1为最小正周期的整数倍．所以，即（且）
当时，
由诱导公式可得，
即，
所以当时，（且）；
当时，，

一、单选题
1．（2020·山东·枣庄市第三中学模拟预测）与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】要写出与的终边相同的角，只要在该角上加的整数倍即可．
【解析】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB错误；
又与的终边相同的角可以写成，
所以正确．
故选：．
2．（2021·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因为，由诱导公式可得选项.
【解析】因为，所以，
所以，
故选：D.
3．（2022·江苏江苏·二模）时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到20时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内5~17时的气温T（单位：）与时间t（单位：）近似满足关系式，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历（    ）
A．1.4 B．2.4 C．3.2 D．5.6
【答案】B
【分析】由函数关系式分别计算出花开放和闭合的时间，即可求出答案.
【解析】设时开始开放，时开始闭合，则又，解得，，
由得，.
故选：B.
4．（2022·湖南益阳·模拟预测）已知函数，则（    ）
A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称
C．函数的最小值为 D．函数在上单调递增
【答案】C
【分析】根据周期计算公式可判断A，代入检验可判断BD,根据正弦的有界性可判断C.
【解析】对于，函数的最小正周期，A错误
对于B，当时，此时，B错误
对于C，由于，故的最小值为，C正确
对于D，当时，，在上不单调递增，D错误．
故选：C
5．（2022·四川·模拟预测（文））将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若为奇函数，则ω的最小值为（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据伸缩及平移变换得到函数，结合奇偶性得到，从而得到结果.
【解析】由题意，，
因为为奇函数，所以，解得，
又，所以当k＝0时，ω取得最小值2．
故选：C

二、多选题
6．（2020·山东日照·模拟预测）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则下列各式一定为正的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由三角函数定义确定正负，再由符号法则可选出正确答案.
【解析】因为角终边经过点，所以在第四象限，，
正负无法判断；；；，故BD正确.
故选：BD
7．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）函数的图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图像，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的最大值为3 B．函数关于点对称
C．函数在上单调递增 D．函数的最小正周期为
【答案】ACD
【分析】根据题意由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由图象顶点坐标求出的值，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解析】由图可知，，，，
将点代入，得，
故，向右平移个单位长度得：
，
函数的最大值为3，故A正确；
，故B错误；
，，函数在上单调递增，故C正确；
函数的最小正周期为，故D正确.
故选：ACD．

三、填空题
8．（2022·广东广州·一模）写出一个周期为，且在区间上单调递减的函数解析式________.
【答案】
【分析】通过周期求，再根据单调区间，只需在处于函数图像最高点即可.
【解析】设，
，所以，
令（注：函数图像最高点）
得，，
所以这个函数可以为.
故答案为：.（答案不唯一）
9．（2022·四川成都·模拟预测（文））若函数满足，则______．
【答案】3
【分析】根据正弦型函数的对称性可得函数关于对称，即可求解的值.
【解析】解：因为函数满足，故函数关于对称，
所以，且，
即，则，
又，故当时，.
故.
故答案为：3.
10．（2022·辽宁沈阳·三模）函数的最小正周期为________．
【答案】6
【分析】由正弦型函数的图象与性质可知的周期与相同，即可得解.
【解析】的周期为，由正弦型函数图象与性质可知，
的最小正周期为6.
故答案为：6
11．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数的相邻两个零点之间的距离是，则______．
【答案】1
【分析】根据给定信息，结合正切函数的性质求出，代入函数式计算作答.
【解析】函数的相邻两个零点之间的距离是，则有的周期，解得，
于是得，所以.
故答案为：1

四、解答题
12．（2022·宁夏中卫·三模（理））函数的部分图象如图所示：

(1)求函数的解析式与单调递减区间；
(2)求函数在上的值域．
【答案】(1)，单调递减区间
(2)

【分析】（1）根据图像即可写出，再由图像过即可求出其周期，则可求出，在将点带入，则可求出.由在区间上单调递减，则可求出的单调递减区间.
（2）由.
(1)
观察图象得：，令函数的周期为T，则，
由得：，而，于是得，
所以函数的解析式是．
由解得：，
所以的单调递减区间是．
(2)
由（1）知，当时，，则当，即时，
当，即时，，
所以函数在上的值域是．
13．（2019·上海·复旦附中三模）如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为1米，圆环的圆心距离地面的高度为1.5米，蚂蚁爬行一圈需要4分钟，且蚂蚁的起始位置在最低点处.

（1）试写出蚂蚁距离地面的高度（米）关于时刻（分钟）的函数关系式；
（2）在蚂蚁绕圆环爬行一圈的时间内，有多长时间蚂蚁距离地面超过1米？
【答案】（1）；（2）分钟.
【分析】（1）先计算圆心角，再通过三角形边角关系得到答案.
（2）计算，计算得到答案.
【解析】（1）如图所示：蚂蚁爬行一圈需要4分钟在时刻所转过的圆心角为：


（2）
持续时间为：
【点睛】本题考查了三角函数的应用，通过边角关系建立函数关系式是解题的关键，意在考查学生的应用能力.
14．（2020·山东济南·模拟预测）已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数的最大值为2；②函数的图象可由的图象平移得到；③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）请写出这两个条件序号，并求出的解析式；
（2）求方程在区间上所有解的和.
【答案】(1) 满足的条件为①③，；（2）
【分析】（1）根据题意，条件①②互相矛盾，所以③为函数满足的条件之一，根据条件③，可以确定函数的最小正周期，进而求得的值，并对条件①②作出判断，最后求得函数解析式；
（2）将代入方程，求得，从而确定出或，结合题中所给的范围，得到结果.
【解析】（1）函数满足的条件为①③；
理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，
故③为函数满足的条件之一，
由③可知，，所以，故②不合题意，
所以函数满足的条件为①③；
由①可知，所以；
（2）因为，所以，
所以或，
所以或，
又因为，所以x的取值为
所以方程在区间上所有的解的和为.
【点睛】解题关键在于，利用三角函数的图像性质进行求解即可，解题时注意的取值要与的取值范围相结合，难度属于基础题