单元复习10 三角恒等变换【过习题】（考点练）-2022-2023学年高一数学单元复习（苏教版2019必修第二册）

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单元复习10 三角恒等变换01 三角恒等变换的有关计算一、单选题1．化简的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式结合两角和的正弦公式化简可得所求代数式的值.【解析】原式.故选：D.2．已知,都是锐角,,,则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意判断的范围,从而求出的值,将写为,再用两角和与差的余弦公式代入化简即可.【解析】由于,都是锐角,则,,因为,,所以,,所以,,所以.故选:B3．下列各式中，值为的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式和两角和与差的三角函数公式，结合特殊角三角函数值逐项判断即可.【解析】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误，故选:B.4．已知终边上一点，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由终边坐标求得正余弦值，结合倍角公式求值即可.【解析】由题意可知点，所以，，，，∴．故选：B．5．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用和角的正切公式求出，再利用齐次式法计算作答.【解析】，得，所以.故选：A6．设，则（    ）A．- B．- C．- D．【答案】D【分析】根据二倍角公式可将化简成，代入计算即可求得结果.【解析】由可得；所以.故选：D7．若， ，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用两角差的余弦公式和和差化积公式可得答案.【解析】因为，所以，因为，所以，所以，所以，故选：A．8．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】运用诱导公式及齐次化即可或解.【解析】由，得，所以，从而故选：B 二、多选题9．tan75°＝（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据两角和的正切公式及特殊角的三角函数值判断A，由正切半角公式判断BC，由，令即可判断出D.【解析】，故 A正确；由正切的半角公式知，故B错误；，故C正确；∵，令，得，可得D正确.故选：ACD.10．下列计算结果正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用三角恒等变换逐项判断即可.【解析】，A正确；，B正确；，C错误；由，可得，D正确；故选：ABD11．设的终边在第二象限，则的值可能为（    ）A．1 B．-1 C．-2 D．2【答案】AB【分析】先求得的范围，由此进行分类讨论，结合二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，化简求得所求表达式的值.【解析】∵的终边在第二象限，∴，，∴，，，故当，时，，当，时，，.故选：AB 三、填空题12．已知，，，则＝______．【答案】【分析】化切为弦，由正弦和角公式得到方程组，求出，利用正弦差角公式求出答案.【解析】由得，，则①，由得，②，联立①②解得，∴．故答案为：13．化简：______.【答案】【分析】根据诱导公式以及余弦的二倍角公式化简即可求解.【解析】.故答案为：14．已知sin 2θ＝，0＜2θ＜，则＝________．【答案】##0.5【分析】利用二倍角公式变形求出，根据三角恒等变换化简待求式为，即可代入求解.【解析】因为，所以，所以，因为所以，即故答案为： 四、解答题15．化简并求值．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）根据给定条件，利用切化弦、二倍角公式、辅助角公式化简计算作答.（2）根据给定条件，利用切化弦、诱导公式、二倍角公式、辅助角公式化简计算作答.（3）根据给定条件，利用特殊角的三角函数值、二倍角公式、凑角的思想结合和差角的正弦化简计算作答.【解析】（1）.（2）.（3）.16．证明：（1）；（2）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）结合和差化积公式证得结论成立.（2）结合和差化积公式、同角三角函数的基本关系式证得结论成立.【解析】（1）左边右边．（2）左边右边．17．求下列各式的值：（1）已知，求的值；（2）求的值；【答案】（1）； ；（2） ．【分析】（1）利用，计算即可；（2）利用倍角公式及两角和与差的正余弦公式计算.【解析】（1），．（2）原式．18．已知．(1)求的值；(2)已知，，，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正余弦函数的倍角公式与三角函数的商数关系，结合齐次式法即可得解；（2）先解二次方程，结合的取值范围求得，再结合（1）中结论求得的取值范围，从而利用正切函数的和差公式即可求得的值．【解析】（1）因为，易知，所以，所以.（2）因为，所以，解得或，因为，所以，又因为，，所以，故，因为，所以.02 三角恒等变换的应用 一、单选题1．函数的图像的一个对称中心是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，然后求对称中心即可.【解析】，令，，解得，，当时，，，所以是一个对称中心.故选：A.2．函数的最小正周期是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将解析式用正余弦的和差角公式展开化简，即可得到结果.【解析】因为                           所以，故选: B.3．函数在区间上的最小值为（    ）A．1 B．－1 C． D．【答案】D【分析】化简可得，再结合正弦函数的图象分析求解即可【解析】，故当时，，故当时， 取最小值故选：D4．已知函数，则函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先化简函数，再代入定义域，求函数的值域.【解析】 ,,，所以，所以函数的值域为.故选：B5．函数，下列结论正确的是（    ）A．在区间上单调递增B．的图像关于点成中心对称C．将的图像向左平移个单位后与的图像重合D．若，则【答案】D【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可；【解析】解：，对于A：若，所以，因为在上不单调，故A错误；对于B：，故关于直线对称，故B错误；对于C：将的图像向左平移个单位得到，故C错误；因为关于直线对称，又，即、关于对称，所以，故D正确；故选：D6．设，，，则a，b，c大小关系正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】通过三角恒等变形得到，结合的单调性即可比较大小.【解析】，，，因为函数在上是增函数，故，即.故选：C.7．函数，则下列结论正确则下列结论正确的是（    ）A．的最大值为，最小正周期为B．的图像向右平移个单位后得到一个偶函数的图像C．的图像关于直线对称D．的图像关于点对称【答案】B【分析】利用二倍角和辅助角公式化简可得，由正弦型函数最值可知A错误；由三角函数平移变换原则可得的图像向右平移个单位后所得函数，由奇偶性定义可知B正确；利用代入检验的方法来判断出、是否是对称轴和对称中心，知CD错误.【解析】；对于A，当时，，A错误；对于B，，又，为偶函数，的图像向右平移个单位后得到一个偶函数的图像，B正确；对于CD，当时，，又，图像关于点对称，不是的对称轴，CD错误.故选：B.8．方程 区间上恰有三个根，其根分别为，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意可得，即直线在与有三个交点，【解析】解：因为，所以，令，，因为，所以，函数图象如下所示：令，解得，令，则或，解得或，依题意直线在与有三个交点，则，不妨设，根据三角函数的图象及性质，可得，而，关于直线对称，那么，的取值范围．故选：D． 二、多选题9．已知函数，则（    ）A．B．的最小正周期为C．把向左平移可以得到函数D．在上单调递增【答案】ABD【分析】根据正切函数的函数值，周期，平移对应的解析式变化，和函数的单调性即可求解.【解析】,所以，故选项A正确；的最小正周期为，故选项B正确；把向左平移可以得到函数，故选项C错误；，，单调递增，所以在上单调递增，故D选项正确；故选：ABD.10．设函数，下列说法中，正确的是（    ）A．的最小值为B．在区间上单调递增C．函数的图象可由函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)而得到D．将函数的图象向左平移个单位，所得函数的图象关于y轴对称【答案】ABC【分析】先化简得到，从而得到的最小值为，A正确；B选项，由得到，整体法得到在区间上的单调性；C选项，根据平移变换和伸缩变换得到变换后的解析式，C正确；D选项，求出平移后的解析式，判断其图象不关于y轴对称.【解析】，当，即时，的最小值为，A正确；时，，由于在上单调递增，故在区间上单调递增，B正确；函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)得到，C正确；将函数的图象向左平移个单位，所得函数为，当时，，故不关于y轴对称，D错误.故选：ABC11．已知函数，下列结论正确的是（    ）A．是周期函数B．的图象关于原点对称C．的值域为D．的单调递减区间为，【答案】AC【分析】利用函数周期的定义可判断A选项；利用函数的奇偶性可判断B选项；考查函数在上的值域，可判断C选项；求出函数的单调递减区间，可判断D选项.【解析】对于A选项，因为，故函数为周期函数，A对；对于B选项，，为偶函数，B错；对于C选项，由A选项可知，函数是周期函数，且周期为，不妨考虑函数在上的值域即可，当时，则，，因为函数为偶函数，故函数在上的值域也为，因此，函数的值域为，C对；对于D选项，考虑函数在上单调递减区间，当时，，且，由可得，由可得，由可得，所以，函数在上的递减区间为，递增区间为、，由于函数为偶函数，故函数在上的减区间为、、，因此，函数的单调递减区间为、、，D错.故选：AC.12．已知函数，则下列有关说法正确的是（    ）A．若函数在区间上单调递增，则的最小值为B．若函数在区间上单调递增，则的最大值为C．若函数的图象向右平移个单位长度得到偶函数，则的最小值为D．若函数在区间上有且只有个零点，则的取值范围是【答案】BC【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性求出的取值范围，可判断AB选项；求出平移后的函数解析式，利用正弦型函数的奇偶性可判断C选项；根据函数在区间上的零点个数求出的取值范围，可判断D选项.【解析】.对于AB选项，当时，，因为函数在区间上单调递增，则，所以，，解得，因为，解得，，则，所以，，A错B对；对于C选项，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，函数为偶函数，则，解得，当时，取最小值，C对；对于D选项，当时，，因为函数在区间上有且只有个零点，则，解得，D错.故选：BC. 三、填空题13．已知，函数，，若，，有，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】利用三角恒等变换化简，由三角函数的性质求得，由题意得的值域是的子集，结合的单调性分类讨论求解即可．【解析】，∵，∴，∴，∴．∵，，有，∴的值域是的子集．①当时，，则，此时，解得；②当时，，则，此时，无解．综合①②，．故答案为：．14．若函数，在上恰有一个最大值点和两个零点，则实数的取值范围是________.【答案】【分析】首先根据和差角公式将函数化简，再由的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.【解析】解：，即，由，所以，又在上恰有一个最大值点和两个零点，则，解得，所以的取值范围是．故答案为：．15．已知函数，则的值域是______.【答案】【分析】对自变量进行讨论取绝对值，化简函数，再求函数的值域【解析】当，有，即时，，此时值域为；当，即，，此时值域为， 故的值域是.故答案为：16．已知函数 ，______，求在区间上的值域.从①若，的最小值为；②两条相邻对称轴之间的距离为；③若，的最小值为．这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【答案】条件选择见解析，值域为.【分析】从①②③任选一个作为条件，均可以得到的最小正周期为，故可求得，可得，结合，确定，利用正弦函数的性质，即可求得答案.【解析】由于 ,  若选①:若，的最小值为,则 图象相邻的最高点与最低点之间的水平距离为 ，则函数的最小正周期为；若选②两条相邻对称轴之间的距离为，则函数的最小正周期为；若选③若，的最小值为，则函数的最小正周期为；所以，①②③任选一个作为条件，均可以得到的最小正周期为，则,所以,                          由于，，所以，即的值域为，故答案为： 四、解答题17．已知函数，．(1)求的单调递增区间；(2)求在区间内的最小值及此时对应的x值．【答案】(1)(2)时， 【分析】（1）先根据降幂公式和辅助角公式化简，然后由正弦函数的单调性可得；（2）根据x的范围求得的范围，然后由正弦函数的性质可解.【解析】（1）由，得，∴的单调递增区间为（2）因为，所以故当，即时，18．已知函数，且的最小正周期为．(1)求的值及函数的单调递减区间；(2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求当时，函数的最大值．【答案】(1)1，(2) 【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，代入正弦函数的单调递减区间计算即可.(2) 函数的图象向右平移个单位长度后得到函数，根据所给，求出，结合正弦函数的性质即可求得最大值.【解析】（1），，，所以，.,解得，，所以函数的单调递减区间为.（2）由向右平移个单位长度后得，因为，则，则，则函数的最大值为.19．已知函数，且函数的图象与的图象关于直线对称.(1)求的解析式；(2)若函数，当时，的值域为，求的值：(3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由三角恒等变换化简，再由对称性可知即可得解；（2）根据所给自变量范围，利用正弦型函数的性质求出值域，列出方程即可得解；（3）化简不等式后，分三种情况讨论，利用函数的单调性求出函数最小值即可求解.【解析】（1），因为的图象与的图象关于直线对称，则，所以.（2）依题意可得.因为，所以，所以，所以.因为的值域为，所以解得.（3）由不等式，可得，即.当时，，若，因为，即恒成立，所以符合题意.若，因为在上单调递增，所以当时，取得最小值，原不等式恒成立可转化为恒成立，即1，因此.若，当时，取得最小值，则原不等式恒成立可转化为恒成立，即，因此.综上，的取值范围是.20．已知函数(1)化简的表达式.(2)若的最小正周期为，求的单调区间(3)将（2）中的函数f（x）图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称.若对于任意的实数a，函数与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围.【答案】(1)(2)在上单调递增，在上单调递减(3)【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数；（2）根据最小正周期公式求，再采用代入的方法求函数的单调区间；（3）首先根据三角函数平移变换，以及函数性质求，并求得，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求的取值范围.【解析】（1）依题意，（2）由（1）知，，解得，则，当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，由得：，由得：，所以在上单调递增，上单调递减;（3）由（2）及已知，，因图像关于对称，则，解得:,又，即有，，于是.由得：，，而函数的周期，依题意，对于在上均有不少于6个且不多于10个根，则有,即，解得：，所以正实数λ的取值范围是.