第八章 机械能守恒定律【思维导图+考点通关】-2022-2023学年高一物理单元复习（人教版2019必修第二册）

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第八章 机械能守恒定律
一、思维导图


二、考点通关
考点1功
1．功的理解
(1)由W＝Flcosα可知，功等于力F在位移方向上的分力Fcosα与位移l的乘积，即W＝Fcosα·l；或者说功等于力F与位移在力F方向上的分量lcosα的乘积，即W＝F·lcosα。
(2)功是一个过程量，描述了力的作用效果在空间上的积累，它总与一个具体运动过程相对应。
(3)功是标量，没有方向，但有正、负之分。一个力对物体做负功时，我们可以说成物体克服这个力做了功(正值)。如摩擦力对滑块做了－5 J的功，可以说成滑块克服摩擦力做了5 J的功。
2．对正功和负功意义的认识

动力学角度
能量角度
正功
力对物体做正功，这个力是动力，对物体的运动起推动作用
力对物体做正功，向物体提供了能量，使物体的能量增加
负功
力对物体做负功，这个力是阻力，对物体的运动起阻碍作用
力对物体做负功，物体对外输出能量(以消耗自身的能量为代价)，物体自身的能量减少
3.使用公式W＝Flcosα的注意事项
W＝Flcosα仅适用于恒力做功的计算。式中的l是力的作用点的位移，也是物体对地的位移。当力F与位移l同向时，α＝0°，W＝Fl；当力F与位移l反向时，α＝180°，W＝－Fl。
4．计算总功的两种方法
(1)先由W＝Flcosα计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3…，然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋…。
(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合lcosα计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的夹角。
5．作用力和反作用力做功的特点
作用力和反作用力作用在两个不同的物体上，它们大小相等，方向相反。可能都做正功、都做负功、都不做功，也可能一个做功一个不做功。做功的大小不一定相等，因为它们分别作用于两个物体上，每个物体都可能还受其他力，其位移情况可能不同。
6．摩擦力做功的特点
摩擦力既可能做负功，也可能做正功，还可能不做功。如下表所示：
图示
做功情况

做负功
滑动摩擦力
如图甲所示，物体A在力F作用下向右运动，地面对它的滑动摩擦力做负功
静摩擦力
如图乙所示，物体A、B在力F作用下一起向右加速运动(A、B相对静止)，物体A对B的静摩擦力做负功
做正功
滑动摩擦力
如图乙所示，物体A、B在力F作用下一起向右加速运动(A、B相对滑动)，物体B对A的滑动摩擦力做正功
静摩擦力
如图乙所示，物体A、B在力F作用下一起向右加速运动(A、B相对静止)，物体B对A的静摩擦力做正功
不做功
滑动摩擦力
如图乙所示，物体B在力F作用下向右运动，物体A仍静止，物体B对A的滑动摩擦力不做功
静摩擦力
如图甲所示，物体A在力F作用下仍静止在地面上时，地面对它的静摩擦力不做功
此外，一对相互作用的静摩擦力做功的代数和为零，而一对相互作用的滑动摩擦力做功的代数和不为零。
【典例1】如图所示，利用斜面从货车上卸货，每包货物的质量m＝20 kg，斜面倾角α＝37°，斜面的长度l＝0.5m，货物与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，货物从斜面顶端滑到底端的过程中(取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，下列说法正确的是(　　)

A．重力做功100 J B．支持力做功80 J
C．摩擦力做功16 J D．合力做功44 J
【答案】D
【解析】重力G对货物做的功W1＝mglsin37°＝20×10×0.5×0.6J＝60J，A错误；支持力FN与货物运动方向始终垂直，对货物不做功，W2＝0，B错误；摩擦力Ff对货物做负功，W3＝－Ffl＝－μmgcos37°·l＝－0.2×20×10×0.8×0.5J＝－16J，C错误；合力做的功为W＝W1＋W2＋W3＝60 J＋0－16 J＝44 J[若先计算合力再求功，则合力做的功W＝F合l＝(mgsin37°－μmgcos37°)l＝(20×10×0.6－0.2×20×10×0.8)×0.5 J＝44 J]，D正确。
规律点拨
计算恒力做功要注意的三个问题
(1)计算功时一定要明确是哪个力对哪个物体在哪段位移过程中做的功。
(2)力F与位移l必须互相对应，即l必须是力F作用过程中的位移。
(3)某力对物体做的功只跟这个力、物体的位移以及力与位移间的夹角有关，跟物体的运动情况、物体是否还受其他力以及其他力是否做功均无关。
【变式训练1】质量为M的木板放在光滑的水平面上，一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至B点，在木板上前进了L，而木板前进了l，如图所示。若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，求摩擦力对滑块、对木板做功各为多少？这一对摩擦力做功的代数和为多大？

【答案】－μmg(l＋L)，μmgl，－μmgL
【解析】滑块所受摩擦力大小Ff＝μmg，位移大小为(l＋L)，且摩擦力与位移方向相反，故摩擦力对滑块做的功为：W1＝－μmg(l＋L)
木板所受的摩擦力大小Ff′＝μmg，位移大小为l，且摩擦力与位移方向相同，故摩擦力对木板做的功W2＝μmgl
这一对摩擦力做功的代数和W＝W1＋W2＝－μmgL。
考点2功率
1．功率表示的是力做功的快慢，而不是做功的多少，功率大，做功不一定多，反之亦然。
2．区分平均功率和瞬时功率
(1)平均功率：与一段时间相对应。
①＝；
②＝F，其中为平均速度。
(2)瞬时功率：与某一瞬时相对应。
①当F与v方向相同时，P＝Fv，其中v为瞬时速度；
②当F与v夹角为α时，P＝Fvcosα，其中v为瞬时速度。
3．P＝Fv中三个量的制约关系
定值
各量间的关系
应用
P一定
F与v成反比
汽车上坡时，要增大牵引力，应换挡减小速度
v一定
P与F成正比
汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定
P与v成正比
汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度
【典例2】如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的足够长斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取g＝10 m/s2，求：

(1)前2s内重力做的功；
(2)前2s内重力的平均功率；
(3)2s末重力的瞬时功率。
【答案】(1)48J；(2)24W；(3)48W
【解析】(1)木块所受的合力
F合＝mgsinθ－μmgcosθ＝mg(sinθ－μcosθ)＝2×10×(0.6－0.5×0.8)N＝4N
木块的加速度a＝＝m/s2＝2m/s2
前2 s内木块的位移l＝at2＝×2×22m＝4m
所以，重力在前2 s内做的功为
W＝mglsinθ＝2×10×4×0.6J＝48J。
(2)重力在前2s内的平均功率为
P＝＝ W＝24W。
(3)木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率
P＝mgvsinθ＝2×10×4×0.6 W＝48 W。
【变式训练2】如图所示，高速公路上汽车定速巡航(即保持汽车的速率不变)通过路面abcd，其中ab段为平直上坡路面，bc段为水平路面，cd段为平直下坡路面。不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下列说法正确的是(　　)

A．在ab段汽车的输出功率逐渐减小
B．汽车在ab段的输出功率比bc段的大
C．在cd段汽车的输出功率逐渐减小
D．汽车在cd段的输出功率比bc段的大
【答案】B
【解析】汽车做匀速率运动，则在各直线路段受力始终平衡。设上、下坡路面与水平路面夹角分别为θ1、θ2，汽车受到的阻力为f，行驶速率为v。在ab段，根据平衡条件可知，牵引力F1＝mgsinθ1＋f，所以在ab段汽车的输出功率P1＝F1v不变，在bc段牵引力F2＝f＜F1，所以汽车的输出功率P2＝F2v 规律点拨功率的求解步骤
(1)首先明确要求的是哪个力的功率。
(2)求平均功率时需明确是哪段时间内的平均功率，可由公式P＝或P＝Fcosα求。
(3)求瞬时功率则需明确是哪一时刻或哪一位置，再确定受力F、速度v及F与v的夹角关系，然后再代入P＝Fvcosα进行求解。
考点3机车的两种启动方式
机车的两种启动方式对比
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P­t图
和v­t图


OA
段
过程
分析
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
a＝不变⇒F不变，v↑⇒P＝Fv↑，直到P额＝Fv1
运动
性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB
段
过程
分析
F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
运动
性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速直线运动
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
BC段
无
F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝，以vm做匀速直线运动
说明：(1)从运动性质来看，以恒定加速度启动只是多了一个匀加速直线运动过程，其他运动过程完全相同。
(2)无论哪种启动方式，同一路面，同一辆车最后能达到的最大速度是一样的，都为vm＝。
【典例3】(多选)如图甲所示，“水上飞人”是一种水上娱乐运动。喷水装置向下持续喷水，总质量为M的人与喷水装置，受到向上的反冲作用力腾空而起，在空中做各种运动。一段时间内，人与喷水装置在竖直方向运动的v­t图像如图乙所示，水的反冲作用力的功率恒定，规定向上的方向为正，忽略水管对喷水装置的拉力以及空气的阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)

A．t1～t2时间内，水的反冲作用力越来越大
B．水的反冲作用力的功率为Mgv2
C．t1时刻，v­t图像切线的斜率为g
D．t2～t3时间内，水的反冲作用力做的功为Mgv2t3
【答案】BC
【解析】设水的反冲作用力的恒定功率为P，由P＝Fv，可得水的反冲作用力F＝，由v­t图像可知t1～t2时间内，人与喷水装置的速度v越来越大，则水的反冲作用力越来越小，A错误；t2时刻，人与喷水装置的速度达到最大值v2，开始匀速上升，此时水的反冲作用力F＝Mg，水的反冲作用力的恒定功率P＝Fv＝Mgv2，B正确；由v­t图像可知t1时刻，人与喷水装置的速度为v1，设水的反冲作用力为F1，由P＝Mgv2，P＝F1v1，可知F1＝Mg，由牛顿第二定律有F1－Mg＝Ma1，可得t1时刻，v­t图像切线的斜率即人与喷水装置的加速度a1＝g，C正确；由P＝，可得W＝Pt，结合P＝Mgv2，可知t2～t3时间内，水的反冲作用力做的功W＝Mgv2(t3－t2)，D错误。
【变式训练3】汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车的质量为4 t，当它行驶在坡度为0.02(sinα＝0.02)的长直公路上时，如图所示，所受摩擦阻力为车重的0.1倍(g＝10 m/s2)，求：

(1)汽车所能达到的最大速度vm；
(2)若汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间？
【答案】(1)12.5m/s；(2)13.9 s
【解析】(1)汽车在坡路上行驶，所受阻力由两部分构成，即
f＝0.1mg＋mgsinα＝4000 N＋800 N＝4800 N
又因为F＝f时，额定功率P＝fvm
所以vm＝＝ m/s＝12.5 m/s。
(2)汽车从静止开始，以a＝0.6 m/s2匀加速行驶，由牛顿第二定律，有F′－f＝ma
解得F′＝ma＋f＝4×103×0.6 N＋4800 N＝7.2×103 N
保持这一牵引力，汽车可达到匀加速行驶的最大速度，设为vm′，有
vm′＝＝ m/s＝ m/s
由运动学规律可以求出匀加速行驶的时间t＝≈13.9 s。
规律总结
机车启动问题的解题方法
(1)不管什么情况，机车匀速运动时都有P＝fv。其中的f指阻力，注意阻力不一定是摩擦力，各种性质的力都可以为阻力，作用是阻碍物体的运动。比如物体上升时，重力和空气阻力都是其阻力。
(2)对于机车匀加速启动问题，要综合应用牛顿运动定律和匀变速直线运动规律，注意分析各物理量如a、F、f、P、v之间的关系及它们的变化规律，抓住不变的物理量作为突破口。
考点4重力做的功与重力势能
1．重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只与物体运动的始末位置有关，而与物体运动的路径无关。
(1)理解：通常情况下，重力是恒力，而恒力做功W＝Flcosα，就是力F与在力F方向上的位移的乘积，而重力方向上的位移与路径无关，只与高度差Δh有关。
(2)重力做功的特点可以推广到任一恒力做功，即恒力做功的特点为：与物体运动的具体路径无关，只与起点和终点两个位置有关，恒力做的功等于力与沿着力方向的位移的乘积。
(3)物体在同一水平面上运动时，重力总是不做功。
(4)物体的竖直位移等于零，则重力做功的代数和等于零，但过程中重力可能做功。
2．重力势能：mgh的特殊意义在于它一方面与重力做的功密切相关，另一方面它随着高度的增加而增加、随着质量的增加而增加，恰与重力势能的特征一致。因此，我们把mgh叫作物体的重力势能，常用Ep表示，即Ep＝mgh。
3．重力做功与重力势能变化的关系
重力做功WG＝Ep1－Ep2。Ep1＝mgh1表示物体在初位置的重力势能，Ep2＝mgh2表示物体在末位置的重力势能。重力做多少正功，重力势能减少多少；重力做多少负功，重力势能增加多少。
4．重力势能的系统性
重力是地球与物体之间的相互作用力，如果没有地球，就不会有重力，也不存在重力势能，所以严格地说，重力势能是由地球与地球上的物体所组成的“系统”共有的，而不是地球上的物体单独具有的。平时所说的“物体”的重力势能只是一种简化的说法。
【典例4】如图所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下，经过水平面BC后再滚上另一斜面，当它到达h的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做的功为(　　)

A.mgh B．mgh C．mgh D．0
【答案】B
【解析】重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关。该过程重力做功为WG＝mgΔh＝mg＝mgh，故选B。
【变式训练4】一只100 g的球从1.8 m的高度处落到一个水平板上又弹回到1.25 m的高度，则整个过程中重力对球所做的功及球的重力势能的变化是(g＝10 m/s2)(　　)
A．重力做功为1.8 J
B．重力做了0.55 J的负功
C．球的重力势能一定减少0.55 J
D．球的重力势能一定增加1.25 J
【答案】C
【解析】整个过程重力对球做正功，其大小为W＝mgΔh＝mg(h1－h2)＝0.55 J，A、B错误；重力做正功，重力势能减少，且重力做多少正功，重力势能就减少多少，因此球的重力势能减少了0.55 J，C正确，D错误。
规律总结：
1.在物体运动的过程中重力可能会反复做正功、负功，但是这些正功、负功高度差相同的部分就会抵消，无论往复多少次，最后只看始末位置的高度差；往上运动重力做负功，往下运动重力做正功，其值都为mgΔh，Δh为始末位置的高度差。
2．求重力做功的两种方法
(1)根据功的定义式求解：先求始末位置的高度差，再求出重力与此高度差的乘积，即为重力做的功(前面已讲)。
(2)根据重力势能的变化与重力做功的关系求解：重力做的功等于重力势能变化量的负值：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
考点5弹性势能
1．弹性势能的产生原因
(1)物体发生了弹性形变。
(2)各部分间有弹力作用。
2．影响弹簧的弹性势能的因素
在弹性限度内，弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数k和形变量l有关，且k越大，l越大，弹性势能越大。
3．弹性势能变化与弹力做功的关系
(1)定性关系：弹力做负功时，弹性势能增大。弹力做正功时，弹性势能减小。
(2)弹力做功与弹性势能的关系式为W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2。
【典例5】如图所示，质量为m的物体静止在地面上，物体上面连着一个轻弹簧，用手拉住弹簧上端上移H，将物体缓缓提高h，拉力F做功WF，不计弹簧的质量，则下列说法正确的是(　　)

A．重力做功－mgh，重力势能减少mgh
B．弹力做功－WF，弹性势能增加WF
C．重力势能增加mgh，弹性势能增加FH
D．重力势能增加mgh，弹性势能增加WF－mgh
【答案】D
【解析】可将整个过程分为两个阶段：一是弹簧伸长到物体刚要离开地面，拉力克服弹力做功WF1＝－W弹，等于弹性势能的增量；二是弹簧长度不变，物体上升h，拉力克服重力做功WF2＝－WG＝mgh，等于重力势能的增量，在拉力作用过程中，有WF＝WF1＋WF2，得－W弹＝WF－mgh，A、B、C错误，D正确。
【变式训练5】在惯性参考系中，力对质点所做的功仅取决于质点的初始位置和末位置，而与质点通过的路径无关时，这种力称为保守力，重力、弹簧弹力、静电力、万有引力等均为保守力。保守力做功的特点决定了质点在惯性系中的每一个位置都有一种由该位置确定的能量，称为势能；势能随位置变化的曲线称为势能曲线。如图所示为两个势能曲线，下列说法正确的是(　　)

A．图甲中势能为零的位置，质点所受保守力为零
B．图甲中质点所受保守力的方向沿x轴的正方向
C．图乙中质点从x1运动到x2的过程中保守力做正功
D．图乙中质点在x1位置所受保守力大于质点在x2位置所受保守力
【答案】D
【解析】根据ΔEp＝－W保＝－F保Δx，图甲中质点所受保守力为恒力，A错误；根据ΔEp＝－W保，势能增加，说明保守力做负功，所以图甲中质点所受保守力的方向沿x轴的负方向，B错误；根据ΔEp＝－W保，图乙中质点从x1运动到x2的过程中势能增加，则保守力做负功，C错误；根据ΔEp＝－W保＝－F保Δx可知，在Ep­x图像中图像的斜率绝对值表示保守力的大小，所以图乙中质点在x1位置所受保守力大于质点在x2位置所受保守力，D正确。
规律总结：
(1)弹力做功和重力做功一样，也和路径无关；弹性势能只与弹力做功有关，跟其他任何力是否做功、做多少功没有关系。
(2)一般来说，弹簧为原长时弹性势能为零，所以弹簧伸长时和弹簧压缩时弹性势能都增加，且伸长量和压缩量相同时，弹性势能相同。
考点6动能定理的理解及应用
1．动能定理的理解
(1)内容：公式为W＝mv－mv或W＝Ek2－Ek1或W＝ΔEk。力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
(2)合力做功是引起物体动能变化的原因。当合力对物体做正功时，末动能大于初动能，动能增加。当合力对物体做负功时，末动能小于初动能，动能减少。
(3)动能定理从能量变化的角度反映了力改变运动状态在空间上的累积效果。
2．动能定理的适用条件：动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得到的。当物体受变力作用，或做曲线运动时，我们可以采用微元法，把运动过程分解成许多小段，认为物体在每小段运动中受到的是恒力，运动的轨迹是直线，这样也能得到动能定理。即对于变力做功和曲线运动的情况，动能定理同样适用。
3．应用动能定理解题的一般步骤
(1)选取研究对象(通常是单个物体，或相对静止物体组成的系统)，明确它的运动过程。
(2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出各力做功的代数和W。
(3)明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2。
(4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算。
动能定理表达式中的v指合速度，不能对分运动列动能定理表达式。
【典例6】有一质量为m的木块从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示。如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是(　　)

A．木块所受的合力为零
B．因木块所受的力都不对其做功，所以合力做的功为零
C．重力和摩擦力的合力做的功为零
D．重力和摩擦力的合力为零
【答案】C
【解析】木块做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，故合力不为零，A错误；速率不变，动能不变，由动能定理知，合力做的功为零，而支持力始终不做功，重力做正功，摩擦力做负功，重力与摩擦力的合力所做的功为零，但摩擦力方向不断改变，重力和摩擦力的合力不可能为零，故C正确，B、D错误。
【变式训练6】在温州市科技馆中，有个用来模拟天体运动的装置，其内部是一个类似锥形的漏斗容器，如图甲所示。现在该装置的上方固定一个半径为R的四分之一光滑管道AB，光滑管道下端刚好贴着锥形漏斗容器的边缘，如图乙所示。将一个质量为m的小球从管道的A点静止释放，小球从管道B端射出后刚好贴着锥形容器壁运动，由于摩擦阻力的作用，运动的高度越来越低，最后从容器底部的孔C掉下(轨迹大致如图乙虚线所示)，已知小球离开C孔的速度为v，A到C的高度为H，重力加速度为g。求：

(1)小球到达B端的速度大小；
(2)小球在管口B端受到的支持力大小；
(3)小球在锥形漏斗表面运动的过程中克服摩擦阻力所做的功。
【答案】(1)；(2)3mg；(3)mgH－mv2
【解析】(1)设小球到达B端的速度大小为vB，小球在从A端运动到B端的过程中，由动能定理可得mgR＝mv
解得vB＝。
(2)设小球在管口B端受到的支持力大小为FN，由牛顿第二定律有FN－mg＝m
解得FN＝3mg。
(3)设小球在锥形漏斗表面运动过程中克服摩擦阻力做的功为Wf，小球在从A端运动到C孔的过程中，根据动能定理得
mgH－Wf＝mv2
解得Wf＝mgH－mv2。
规律总结：
动能定理在解题中的应用
动能定理与牛顿运动定律是解决力学问题的两种重要方法。通常情况下，若问题涉及时间、加速度或过程的细节，要用牛顿运动定律解决；而曲线运动、变力作用或多过程问题等，一般应用动能定理解决。
一个变力和若干个恒力都对物体做功时，可以先求出恒力做的功，然后用动能定理间接求变力做的功，即W变＋W恒＝ΔEk。
考点7机械能守恒定律的理解
1．机械能守恒的几种常见情况
做功情况
例证
只有重
力做功
所有做抛体运动的物体(不计空气阻力)机械能守恒
只有弹
力做功
轻质弹簧拉着物块在光滑水平面上做往复运动，物块和弹簧组成的系统机械能守恒

只有重力
和系统内
弹力做功
如图，不计空气阻力，球在运动过程中，只有重力和弹簧与球间的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒。但对球(或者弹簧)来说，机械能不守恒

如图，所有摩擦不计，A自B上自由下滑过程中，只有重力和A、B间弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒。但对B来说，A对B的弹力做正功，而这个力对B来说是外力，B的机械能不守恒，同理A的机械能也不守恒

2.机械能守恒的判断方法
(1)做功条件分析：只有重力和系统内弹力做功，其他力不做功，则机械能守恒。
(2)能量转化分析：系统内只有动能、重力势能及弹性势能间相互转化，即系统内只有物体间的机械能相互转移，则机械能守恒。
(3)定义判断法：如物体沿竖直方向或沿斜面匀速运动时，动能不变，势能变化，机械能不守恒。
【典例7】如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)

A．图甲中，火箭升空的过程中，若匀速升空机械能守恒，若加速升空机械能不守恒
B．图乙中物体匀速运动，机械能守恒
C．图丙中小球做加速运动，机械能守恒
D．图丁中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒
【答案】D
【解析】向题图甲中无论火箭匀速上升还是加速上升，都有推力做正功，机械能增加，A错误；题图乙中物体沿斜面匀速上升，动能不变，重力势能增加，机械能增加，B错误；题图丙中，小球沿粗糙斜面加速滚下过程中，除了重力做功，还有摩擦力做负功，机械能减少，C错误；题图丁中，弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能转化为两小车的动能，两小车组成的系统机械能增加，而两小车与弹簧组成的系统机械能守恒，D正确。
【变式训练7】(多选)质量为m的物体以加速度a＝g匀加速下落h，g为重力加速度，则 (　　)
A．物体重力势能减小mgh B．物体重力势能减小mgh
C．物体动能增加mgh D．物体机械能减小mgh
【答案】B
【解析】重力势能减少量等于重力做的功，所以重力势能减小mgh，故A错误，B正确；物体动能增量ΔEk等于合力做的功，故ΔEk＝mah＝mgh，C正确；由动能和重力势能的变化得物体机械能减小mgh，D正确。
规律总结：
判断机械能是否守恒应注意的问题
(1)合力为零是物体处于平衡状态的条件。物体受到的合力为零时，它一定处于匀速直线运动状态或静止状态，但它的机械能不一定守恒。
(2)合力做功为零是物体动能不变的条件。合力对物体不做功，它的动能一定不变，但它的机械能不一定守恒。
(3)只有重力对物体做功时，物体的机械能一定守恒；只有重力或系统内弹力做功时，系统的机械能一定守恒，但系统内单个物体的机械能不一定守恒。
考点8机械能守恒定律的应用
1．机械能守恒定律常用的三种表达式

表达式
物理意义
从不同
状态看
Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1
mv＋mgh2＝mv＋mgh1
E2＝E1
末状态的机械能等于初状态的机械能
从转化
角度看
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2
ΔEk＝－ΔEp(或ΔEp＝－ΔEk)
动能的增加量等于势能的减少量(反之也成立：势能的增加量等于动能的减少量)
从转移
角度看
EA2－EA1＝EB1－EB2
ΔEA＝－ΔEB(或ΔEB＝－ΔEA)
当系统只有A、B两物体时，A机械能的增加量等于B机械能的减少量(反之也成立：B机械能的增加量等于A机械能的减少量)
第一种表达式，必须选择零势能面才可以解题。第二种表达式的好处是不用选择零势能面，势能的变化与零势能面的选取无关。第三种表达式是对两个物体总机械能守恒而言的。
2．应用机械能守恒定律解题的步骤
(1)对研究对象(某个物体或多个物体)进行正确的受力分析，判断各个力是否做功，分析是否满足机械能守恒的条件。
(2)若机械能守恒，选择合适的表达式列出方程，或再辅以其他方程进行求解。
【典例8】如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　)

A．2R B． C． D．
【答案】C
【解析】设A、B的质量分别为2m、m，当A落到地面，B恰运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为研究对象，机械能守恒，故有2mgR－mgR＝(2m＋m)v2，当A落地后，B球以速度v竖直上抛，到达最高点时上升的高度为h′＝＝，故B上升的总高度为R＋h′＝R，C正确。
【变式训练8】如图所示，不可伸长细绳的一端固定在O点，另一端系着一金属小球，小球的质量为m，细绳长为l。将细绳拉直，让细绳从偏离水平方向30°的位置由静止释放小球，已知重力加速度为g。求：

(1)细绳刚伸直时小球的速度大小；
(2)小球运动到最低点A时细绳受到的拉力。
【答案】(1)；(2)3.5mg
【解析】(1)小球先做自由落体运动，设细绳刚伸直时小球的速度大小为v1，小球下降的高度
h＝2lsin30°
根据机械能守恒定律得mgh＝mv
解得v1＝。
(2)细绳伸直后瞬间，设小球在垂直细绳方向的速度为v2，根据运动的分解得
v2＝v1cos30°＝
设小球运动到最低点A时的速度为v3，以过A点的水平面为零势能面，根据机械能守恒定律得
mv＋mgl(1－sin30°)＝mv
联立解得v3＝
小球在最低点，由牛顿第二定律得
T－mg＝m
解得细绳对小球的拉力T＝3.5mg
由牛顿第三定律可知，小球运动到最低点A时细绳受到的拉力为3.5mg。
【变式训练9】跷跷板是一种常见的游乐设施。游乐时两人对坐两端，轮流用脚蹬地，使一端上升，另一端下落，如此反复。如图所示，质量分别为2m、m的甲、乙两人对坐在跷跷板的两端，跷跷板的长度为L，开始时甲所在端着地，跷跷板与水平面之间的夹角为α＝30°，甲蹬地后恰好让乙所在端着地，该过程中甲、乙两人的速度大小始终相等且乙的脚未与地面接触。假设在跷跷板转动过程中甲、乙两人均可看成质点，跷跷板的质量、转轴处的摩擦和甲蹬地过程中跷跷板转动的角度均忽略不计，重力加速度为g，求：

(1)甲蹬地结束时甲的速度大小v；
(2)甲蹬地结束至乙所在端着地过程中，跷跷板对乙做的功W。
【答案】(1)；(2)－mgL
【解析】(1)甲蹬地结束时，甲、乙的速度大小均为v，设水平地面为零势能面，跷跷板转动过程，对甲、乙组成的系统，由机械能守恒定律得
·2mv2＋mv2＋mgLsinα＝2mgLsinα
解得v＝。
(2)对乙由动能定理得
W＋mgLsinα＝0－mv2
解得W＝－mgL。
规律总结：
多物体组成的系统机械能守恒的分析技巧
(1)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(2)当研究对象为两个物体时：若两个物体的势能都在减小(或增加)，或动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解；若A物体的机械能增加(或减小)，B物体的机械能减小(或增加)，可优先考虑应用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。