统考版高中数学（文）复习12-1数系的扩充与复数的引入学案

这是一份统考版高中数学（文）复习12-1数系的扩充与复数的引入学案，共10页。学案主要包含了必记3个知识点，必明3个常用结论，必练4类基础题等内容，欢迎下载使用。

·最新考纲·
1．理解复数的基本概念．
2．理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示及其几何意义．
4．能进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
·考向预测·
考情分析：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，复数的代数形式的四则运算仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．
学科素养：通过复数的概念、运算及其几何意义考查数学运算的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实 赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的________和________．若________，则a＋bi为实数，若________，则a＋bi为虚数，若______________，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔____________(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔________(a，b，c，d∈R)．
(4)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．________叫做实轴，________________叫做虚轴．实轴上的点都表示________；虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示________________．
复数集C和复平面内的______________组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以______________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．
(5)复数的模
向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝____________．
2．复数的几何意义
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝____________________．
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝____________________．
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝____________________．
④除法：z1z2＝a+bic+di＝a+bic-dic+dic-di＝__________________(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、必明3个常用结论
1．(1±i)2＝±2i；1+i1-i＝i；1-i1+i＝－i；
2．－b＋ai＝i(a＋bi)；
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．( )
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i，3＋4i>3＋3i等．( )
(4)原点是实轴与虚轴的交点．( )
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )
(6)复数z＝－1＋2i的共轭复数对应点在第四象限．( )
(二)教材改编
2．[选修2－2·P103例题改编]已知z＝(m＋1)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－1，1) B．(－1，3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
3．[选修2－2·P116复习参考题A组T1(2)改编]复数z＝2+i1-i(i为虚数单位)的共轭复数是________．
(三)易错易混
4．(对复数的虚部认识不清)已知复数z1满足(2－i)z1＝6＋2i，z1与z2＝m－2ni(m，n∈R)互为共轭复数，则z1的虚部为________，m＋n＝________．
5．(复数的几何意义出错)如图所示，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则z2z1＝________．
(四)走进高考
6．[2022·全国乙卷]设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－1 B．a＝1，b＝1
C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
提 升 关键能力——考点突破 掌握类题通法
考点一 复数的有关概念 [基础性]
1．若复数z满足zi＝3－5i，则z的虚部为( )
A．－3 B．3 C．5 D．－5
2．[2022·广东深圳市高三质量评估]若复数z＝1+ia+i－i为纯虚数，则实数a的值为( )
A．－1 B．－12 C．0 D．1
3．已知z为复数，i为虚数单位．若复数z-iz+i为纯虚数，则|z|＝( )
A．2 B．2 C．1 D．22
反思感悟 求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解．
考点二 复数的代数运算 [基础性]
[例1] (1)[2021·北京卷]在复平面内，复数z满足(1－i)z＝2，则z＝( )
A．2＋i B．2－i C．1－i D．1＋i
(2)[2021·全国乙卷]设2(z＋z)＋3(z－z)＝4＋6i，则z＝( )
A．1－2i B．1＋2i C．1＋i D．1－i
(3)[2021·全国甲卷]已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝( )
A．－1－32i B．－1＋32i
C．－32＋i D．－32－i
听课笔记：
反思感悟 复数代数形式运算问题的解题策略
【对点训练】
1．设复数z满足1+2z1-z＝i，则z＝( )
A.15+35i B．15-35i
C.－15+35i D．－15-35i
2．若复数z满足z(1＋2i)＝(1＋i)2(i为虚数单位)，则|z＋i2 021|＝( )
A.45 B．655 C．35 D．1
3．[2022·浙江省舟山中学高三月考]若z＝2＋i，则|z|＝________，2iz·z-i＝________．
考点三 复数的几何意义 [基础性、应用性]
[例2] (1)复数2-i1-3i在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限 B．第二象限
C.第三象限 D．第四象限
(2)[2023·开封市模拟考试]在复平面内，复数a+i1+i对应的点位于直线y＝x的左上方，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，0) B．(－∞，1)
C.(0，＋∞) D．(1，＋∞)
听课笔记：
反思感悟 复数几何意义及应用
(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ＝(a，b)．
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
[提醒] |z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝x2+y2，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离．
【对点训练】
1．[2023·重庆市高三月考]在复平面内，复数2i1-i对应的点的坐标为( )
A.(－1，1) B．(1，－1)
C.(－1，i) D．(i，－1)
2．[2023·合肥市教学质量检测]设复数z满足|z－1|＝|z－i|(i为虚数单位)，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A.y＝－x
B.y＝x
C.(x－1)2＋(y－1)2＝1
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
第十二章 复数、推理与证明、算法
第一节 数系的扩充与复数的引入
积累必备知识
一、
1．(1)实部 虚部 b＝0 b≠0 a＝0且b≠0 (2)a＝c且b＝d (3)a=c，b=-d
(4)x轴 y轴除去原点 实数 纯虚数 实部不为0的虚数 点 原点 (5)a2+b2
3．(a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i (ac－bd)＋(ad＋bc)i ac+bd+bc-adic2+d2
三、
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×
2．解析：要使复数z对应的点在第四象限，应满足m+1＞0m-1＜0，解得－1＜m＜1.
答案：A
3．解析：因为z＝2+i1-i＝2+i1+i1-i1+i＝1+3i2＝12+32i，所以，其共轭复数为12-32i.
答案：12-32i
4．解析：由(2－i)z1＝6＋2i，得z1＝6+2i2-i＝6+2i2+i2-i2+i＝10+10i5＝2＋2i，则z2＝2－2i，则m＝2，n＝1，所以m＋n＝3.
答案：2 3
5．解析：由题图得：z1＝－2－i，z2＝i，所以z2z1＝i-2-i＝i-2+i-2-i-2+i＝-2i-15＝－15-25i.
答案：－15-25i
6．解析：由（1＋2i）a＋b＝2i，得a＋2ai＋b－2i＝0，即（a＋b）＋（2a－2）i＝0，所以a＋b＝0，2a－2＝0，解得a＝1，b＝－1.故选A.
答案：A
提升关键能力
考点一
1．解析：由复数的运算法则，可得z＝3-5ii＝-3i+5i2i×-i＝－5－3i，所以复数z的虚部为－3.
答案：A
2．解析：化简原式可得：z＝1+ia+i－i＝1+ia-ia2+1－i＝a+1+a-a2-2ia2+1.z为纯虚数时，a+1a2+1＝0，a－a2－2≠0即 a＝－1.
答案：A
3．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，所以复数z-iz+i＝a+b-1ia+b+1i
＝a+b-1ia-b+1ia2+b+12
＝a2+b2-1-2aia2+b+12.因为复数z-iz+i为纯虚数，所以a2＋b2＝1，a≠0.所以|z|＝a2+b2＝1.
答案：C
考点二
例1 解析：(1)由题意可得：z＝21-i＝21+i1-i1+i＝21+i2＝1＋i.
(2)设z＝a＋bi，则z＝a－bi，则2(z＋z)＋3(z－z)＝4a＋6bi＝4＋6i，
所以，4a=46b=6，解得a＝b＝1，因此，z＝1＋i.
(3)(1－i)2z＝－2iz＝3＋2i，z＝3+2i-2i＝3+2i·i-2i·i＝-2+3i2＝－1＋32i.
答案：(1)D (2)C (3)B
对点训练
1．解析：由1+2z1-z＝i得1＋2z＝i－iz，所以z＝-1+i2+i＝-1+i2-i2+i2-i＝－15+35i.
答案：C
2．解析：由z(1＋2i)＝(1＋i)2得复数z＝1+i21+2i＝2i1-2i5＝4+2i5，
∴z＝4-2i5.z＋i2 021＝4-2i5＋i＝4+3i5，
∴|z＋i2 021|＝4+3i5＝452+352＝1.
答案：D
3．解析：因为z＝2＋i，所以|z|＝22+12＝5；
2iz·z-i＝2i2+i·2-i-i＝2i5-i＝2i5+i5-i5+i＝-2+10i26＝-1+5i13.
答案：5 -1+5i13
考点三
例2 解析：(1)2-i1-3i＝2-i1+3i10＝5+5i10＝1+i2，所以该复数对应的点为12，12，该点在第一象限．
(2)因为a+i1+i＝a+i1-i1+i1-i＝a+1+1-ai2，复数a+i1+i对应的点在直线y＝x的左上方，所以1－a>a＋1，解得a<0.故实数a的取值范围是(－∞，0)．
答案：(1)A (2)A
对点训练
1．解析：由2i1-i＝2i1+i1-i1+i＝2i+2i22＝－1＋i，则复数2i1-i对应的点的坐标是(－1，1)．
答案：A
2．解析：z在复平面内对应的点为(x，y)，则z＝x＋yi(x，y∈R)，又|z－1|＝|z－i|，所以(x－1)2＋y2＝x2＋(y－1)2，所以y＝x.
答案：B
复数的
加减法
在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
复数的
乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
复数的
除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式