统考版高中数学（文）复习11-3概率与统计的综合问题学案

这是一份统考版高中数学（文）复习11-3概率与统计的综合问题学案，共9页。

[例1] 某社区组织了以“共同保护生态环境，共建绿色生态环境家园”为主题的垃圾分类、环境保护宣传咨询服务活动．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20，30)，第2组[30，40)，第3组[40，50)，第4组[50，60)，第5组[60，70]，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第4组的概率；
(2)已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成宣传志愿者服务小组，求至少有1名男性的概率．
反思感悟
破解概率与统计图表综合问题的3步骤
【对点训练】
学校将高二年级某班级50位同学期中考试的数学成绩(均为整数)分为7组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中信息，回答下列问题．
(1)试估计该班级同学数学成绩的平均分；
(2)现准备从该班级数学成绩不低于130分的同学中随机选出两人参加某活动，求选出的两人在同一组的概率．
考点二 概率与随机抽样的综合[综合性]
[例2] 已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩统计，先将800人按001，002，003，…，800进行编号．
(1)如果从随机数表的第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取到的3个人的编号；
(2)所抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：
成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如表中数学成绩为良好的人数为20＋18＋4＝42.若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a，b的值；
(3)若a≥10，b≥8，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的概率．
附：(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67
21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75
12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38
15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
反思感悟
破解概率与随机抽样综合问题的3步骤
【对点训练】
海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
考点三 概率与数字特征的综合[应用性、综合性]
[例3] 2019年高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分)．
(1)求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)用样本估计总体，若高三年级共有2 000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于70分的人数；
(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的分析会，试求成绩在[80，100]的学生至少有1人被抽到的概率．
【对点训练】
第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在中国北京举行．为迎接此次冬奥会，北京市组织大学生开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考核．为了了解本次培训活动的效果，从A、B两所大学随机各抽取10名学生的考核成绩，并作出如图所示的茎叶图．
(1)计算A、B两所大学学生的考核成绩的平均值；
(2)由茎叶图判断A、B两所大学学生考核成绩的稳定性；(不用计算)
(3)将学生的考核成绩分为两个等级，如表所示，现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，求2人来自同一所大学的概率．
第三节 概率与统计的综合问题
提升关键能力
考点一
例1 解析：(1)第2组的频率为1－(0.005＋0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.35，
第4组的频率为0.02×10＝0.2，
所以被采访人恰好在第2组或第4组的概率为0.35＋0.2＝0.55；
(2)第1组的频数为120×0.005×10＝6，其中男性有2人，记为x1，x2，女性有4人，记为y1，y2，y3，y4.
随机抽取2名群众的基本事件是：(x1，x2)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x1，y3)，(x1，y4)，
(x2，y1)，(x2，y2)，(x2，y3)，(x2，y4)，
(y1，y2)，(y1，y3)，(y1，y4)，(y2，y3)，(y2，y4)，(y3，y4)，共有15种．
其中至少有1名男性的基本事件是：(x1，x2)，
(x1，y1)，(x1，y2)，(x1，y3)，(x1，y4)，
(x2，y1)，(x2，y2)，(x2，y3)，(x2，y4)共9种．所以至少有1名男性的概率为915＝35.
对点训练
解析：(1)由频率分布直方图可知，所求数学成绩的平均分为85×0.06＋95×0.1＋105×0.24＋115×0.28＋125×0.2＋135×0.08＋145×0.04＝113.6，
故该班级同学数学成绩的平均分约为113.6分．
(2)由频率分布直方图可知，数学成绩不低于130分的人数为50×0.08＋50×0.04＝4＋2＝6，其中，分数在[130，140)的有4人，分别记作a，b，c，d，分数在[140，150]的有2人，分别记作m，n.
从该班级数学成绩不低于130分的同学中选出2人共有15个基本事件，列举如下：
ab，ac，ad，am，an，bc，bd，bm，bn，cd，cm，cn，dm，dn，mn.
其中，选出的两人在同一组的有7个基本事件，分别是：ab，ac，ad，bc，bd，cd，mn.
故选出的两人在同一组的概率P＝715.
考点二
例2 解析：(1)依题意，最先抽取到的3个人的编号依次为785，567，199.
(2)由题意可得7+9+a100＝0.3，解得a＝14.
因为7＋9＋a＋20＋18＋4＋5＋6＋b＝100，所以b＝17.
(3)由题意知a＋b＝31，且a≥10，b≥8，则满足条件的(a，b)有(10，21)，(11，20)，(12，19)，(13，18)，(14，17)，(15，16)，(16，15)，(17，14)，(18，13)，(19，12)，(20，11)，(21，10)，(22，9)，(23，8)，共14组．
其中满足“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的(a，b)有(10，21)，(11，20)，(12，19)，(13，18)，(14，17)，(15，16)，共6组．
故所求概率P＝614＝37.
对点训练
解析：(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为6300＝150，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.
考点三
例3 解析：(1)由频率分布直方图可得第4组的频率为
1－(0.01＋0.03＋0.03＋0.01)×10＝0.2，则x＝0.02.
故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为(55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01)×10＝74(分)．
由于前两组的频率之和为0.1＋0.3＝0.4，前三组的频率之和为0.1＋0.3＋0.3＝0.7，故中位数在第3组中．
设中位数为t分，则有(t－70)×0.03＝0.1，得t＝2203，
即所求的中位数为2203分．
(2)由(1)可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，用样本估计总体，可以估计高三年级2 000名学生中成绩不低于70分的人数为2 000×0.6＝1 200.
(3)由(1)可知，后三组中的人数分别为15，10，5，由分层抽样的知识得这三组中所抽取的人数分别为3，2，1.
记成绩在[70，80)的3名学生分别为a，b，c，成绩在[80，90)的2名学生分别为d，e，成绩在[90，100]的1名学生为f，则从中随机抽取3人的所有可能结果为(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e，f)，共20种．
其中成绩在[80，100]的学生没人被抽到的可能结果为(a，b，c)，只有1种，
故成绩在[80，100]的学生至少有1人被抽到的概率P＝1－120＝1920.
对点训练
解析：(1) xA＝64+75+78+78+79+72+85+86+91+9210＝80010＝80，
xB＝67+62+70+79+78+87+84+85+95+9310＝80010＝80；
(2)由茎叶图可知，A所大学学生的成绩比B所大学学生的成绩稳定；
解析：(3)记事件M为“从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，2人来自同一所大学”．
样本中，A校考核等级为优秀的学生共有3人，分别记为a，b，c，
B校考核等级为优秀的学生共有3人，分别记为A，B，C，
从这6人中任取2人，所有的基本事件个数为ab，ac，aA，aB，aC，bc，bA，bB，bC，cA，cB，cC，AB，AC，BC共15种，
而事件M包含的基本事件是ab，ac，bc，AB，AC，BC共6种，
因此P(M)＝615＝25.
人数
数学
优秀
良好
及格
地理
优秀
7
20
5
良好
9
18
6
及格
a
4
b
地区
A
B
C
数量
50
150
100
考核成绩
[60，85]
[86，100]
考核等级
合格
优秀