第五章 一元函数的导数及其应用【章末复习】-2022-2023学年高二数学单元复习（人教A版2019选择性必修第二册）

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例1已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=- x+3垂直,求切点坐标与切线方程.分析求出函数的导数:(1)可利用切点(2,-6)求出切线斜率,写出切线方程; (2)设出切点坐标,表示出切线方程,利用切线过原点求解,也可以利用切点与原点连线的斜率等于导函数在切点处函数值列式求解;(3)设出切点坐标,利用两直线互相垂直时,斜率之积为-1,列方程求解.
(方法2)设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.k=3×(-2)2+1=13.∴直线l的方程为13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).
答案　2x＋y＋1＝0
题型2：函数的单调性、极值、最值问题
1.利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题. 是最近几年高考的重点内容，难度中高档.2.通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养.
设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
【训练2】　已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)，讨论f(x)的单调性.
分析(1)求出函数的导数,根据导数的符号确定极值点,利用极大值为2求a,b满足的关系式;(2)可利用极值点x=a与区间[0,3]的位置关系,确定分类讨论标准后,分类讨论求最小值.
解 (1)f'(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+1),令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=a,因为a>0,所以x1