单元复习02 圆与方程【过习题】（考点练）- 2022-2023学年高二数学单元复习（苏教版2019选择性必修第一册）

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单元复习02 圆与方程
01 圆的方程
一、单选题
1．经过三个点的圆的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解.
【解析】由已知得，分别在原点、轴、轴上，
，
经过三点圆的半径为，
圆心坐标为的中点，即，
圆的标准方程为.
故选：C.
2．与圆同圆心，且过点的圆的方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为,代入点即可求解.
【解析】设所求圆的方程为，由该圆过点，得m＝4，
所以所求圆的方程为.
故选：B
3．若圆与圆C关于直线对称，则圆C的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由对称性得出的圆C圆心坐标，进而写出方程.
【解析】圆的标准方程为，其圆心为，半径为
因为关于直线对称的点为，所以圆C的方程为
即
故选：C

二、填空题
4．方程表示圆，则的取值范围为______．
【答案】或
【分析】由方程表示圆得到不等式，直接求解即可.
【解析】由题意知：，即，解得或.
故答案为：或.
5．已知圆关于直线对称的圆的方程为，则＝_______．
【答案】
【分析】由题意，设关于直线的对称点为，列出方程组，求解方程组即可得圆关于直线对称的圆的方程，从而即可得答案.
【解析】解：圆的圆心是坐标原点，半径为，
设关于直线的对称点为，
则，解得，
所以点关于直线对称的点的坐标为，
因为圆关于直线对称的圆的方程为，
所以圆关于直线对称的圆的方程为，即，
所以，即．
故答案为：.
6．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为______．
【答案】##
【分析】建立直角坐标系，利用列式化简，可得点的轨迹方程，再代入，从而可得答案.
【解析】以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系，
则，设，由，
所以，两边平方并整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
所以，
则有，
所以的最大值为.
故答案为：.


三、解答题
7．求下列圆的方程
(1)若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程；
(2)过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由对称性确定圆心为，由此可得圆的标准方程；
（2）由圆心在直线垂直平分线上，直线与直线垂直，可求得圆心的坐标，并利用两点间距离公式求得半径，由此可得圆的标准方程.
(1)
点关于直线对称的点为，
圆是以为圆心，为半径的圆，圆的标准方程为.
(2)
两点在圆上，圆的圆心在垂直平分线上；
，中点为，的垂直平分线方程为；
直线与圆相切于点，直线与直线垂直，
，直线方程为：，即；
由得：，圆心，半径，
圆的标准方程为.
8．已知以第二象限内点P为圆心的圆经过点和，半径为．
(1)求圆P的方程；
(2)设点Q在圆P上，试问使△的面积等于8的点Q共有几个？证明你的结论．
【答案】(1)；
(2)2个，证明见解析.

【分析】（1）求得线段垂直平分线的方程，设出圆的标准方程，结合其过点，即可求得方程；
（2）求得满足题意的点到直线的距离，结合圆上一点到定直线的距离，结合圆的对称性即可求解和证明.
(1)
因为点和，故其中点坐标为，斜率为，
则线段的垂直平分线方程为：，即，
故可设圆的圆心为，则其标准方程为，
又其过点，即，解得或，
因为圆心在第二象限，故，即圆心坐标为，
故圆的标准方程为：.
(2)
点Q共有2个，证明如下：
因为，又直线方程为：，
若使得△的面积为8，设点到直线的距离为，
则，解得.
因为圆心到直线的距离为，
故，，
根据圆的对称性可知，使△的面积等于8的点Q共有2个.
02 与圆有关的位置关系
一、单选题
1．若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用点和圆的位置关系列出不等式即可求解.
【解析】由题意可知，解得或a＞3，
则实数a的取值范围是，
故选：C.
2．直线和圆的位置关系为（       ）
A．相交 B．相切或相交 C．相离 D．相切
【答案】A
【分析】根据直线与圆的位置关系列式判断.
【解析】由，得，
所以圆心为，半径为.
因为圆心到直线的距离为
，
所以直线和圆相交.
故选：A
3．“a＝3”是“圆与圆相切”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】当两圆外切时，a＝－3或a＝3；当两圆内切时，a＝1或a＝－1．再利用充分必要条件的定义判断得解.
【解析】解：若圆与圆相切，
当两圆外切时，，所以a＝－3或a＝3；
当两圆内切时，，所以a＝1或a＝－1．
当时，圆与圆相切，
所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分条件．
当圆与圆相切时，不一定成立，
所以“a＝3”是“圆与圆相切”的不必要条件．
所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分不必要条件．
故选：A
4．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（       ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】B
【分析】由圆的面积被直线平分，可得圆心在直线上，求出，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆与圆的位置关系．
【解析】因为圆的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上，
所以，解得，所以圆的圆心为，半径为．
因为圆的圆心为，半径为，所以，
故，所以圆与圆的位置关系是相交．
故选：B．
5．已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（       ）
A．4条 B．2条 C．1条 D．0条
【答案】B
【分析】由圆和圆的位置关系判断即可.
【解析】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，因为，所以，即圆和圆相交，则同时与圆和圆相切的直线有2条.
故选：B
6．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据直线和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形，数形结合分析即可.
【解析】由题意，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，，可化为其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分，如图.

当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得.
设，则.由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则.
故选：C.
7．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围.
【解析】到点的距离为2的点在圆上，
所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，
即两圆相交，故，
解得或，
所以实数a的取值范围为，
故选：A．
8．若圆上存在点P，且点P关于直线y＝x的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用对称圆，把问题转化为两圆的位置关系问题进行处理.
【解析】根据题意，圆的圆心坐标为（0，1），半径为r，其关于直线y＝x的对称圆的方程为，根据题意，圆与圆有交点，既可以是外切，也可以是相交，也可以是内切．
又圆，所以圆与圆的圆心距为，所以只需，解得．故B，C，D错误.
故选：A.

二、多选题
9．已知点是圆上的任意一点，直线，则下列结论正确的是（       ）
A．直线与圆的位置关系只有相交和相切两种
B．圆的圆心到直线距离的最大值为
C．点到直线距离的最小值为
D．点可能在圆上
【答案】ACD
【分析】求出直线所过定点的坐标，判断点与圆的位置关系，可判断A选项；利用当直线与圆相切时，圆的圆心到直线距离最大可判断B选项；求出圆心到直线的距离，利用圆的几何性质可判断C选项；判断两圆的位置关系可判断D选项.
【解析】对于A选项，因为直线的方程可化为．
令解得，所以直线过定点，
直线是过点的所有直线中除去直线外的所有直线，
圆心到直线的距离为，即直线与圆相交，
又点在圆上，所以直线与至少有一个公共点，
所以直线与圆的位置关系只有相交和相切两种，A正确；
对于B选项，当直线为圆的切线时，点到直线的距离最大，且最大值为，B错误；
对于C选项，因为圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线距离的最小值为，C正确；
对于D选项，圆的圆心为原点，半径为，
因为，所以，圆与圆内切，故点可能在圆上，D正确.
故选：ACD.
10．圆和圆的交点为A，B，则有（       ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．公共弦AB所在直线的方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【答案】AD
【分析】对于AB，两圆方程相减消去二次项可求得公共弦AB所在直线的方程，对于C，求出圆心到公共弦的距离，然后利用弦心距，弦和半径的关系可求出公共弦的长，对于D，点P到直线AB距离的最大值为
【解析】由与作差可得，
即公共弦AB所在直线的方程为，故A正确，B错误；
对于C，圆心到直线的距离为，圆的半径，
所以，故C错误；
对于D，点P为圆上一动点，则点P到直线AB距离的最大值为，故D正确.
故选：AD.
11．已知两圆的方程分别为，，则下列说法正确的是（       ）
A．若两圆内切，则r＝9
B．若两圆的公共弦所在直线的方程为8x－6y－37＝0，则r＝2
C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3
D．若两圆有三条公切线，则r＝2
【答案】ABC
【分析】根据两圆内，外切切的条件可确定AD的正误，由两圆方程作差可得公共弦所在直线方程确定B的正误，根据两圆交点处的切线垂直可知两圆圆心距，半径可构成直角三角形即可判断D.
【解析】圆的圆心为（0，0），半径为4，圆的圆心为（4，－3），半径为r，两圆的圆心距．
对于A，若两圆内切，则，则r＝9，故A正确；
对于B，联立两圆的方程可得，令，得r＝2，故B正确；对于C，若两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，
（圆的切线与经过切点的半径垂直，又∵两圆切线相互垂直且交于一公共切点，所以两切线分别与另一圆的半径重合，半径经过圆心，所以此时两切线经过圆心）
分别设两圆的圆心为,则
如图，所以，解得r＝3，故C正确；

对于D，若两圆有三条公切线，则两圆外切，则，得r＝1，故D错误．
故选：ABC
12．已知圆上的三个点分别为，，，直线的方程为，则下列说法正确的是（       ）
A．圆的方程为
B．过作直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为
C．若直线被圆截得的弦长为2，则的方程为或
D．当点到直线的距离最大时，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为
【答案】CD
【分析】设圆的方程为，列出方程组，求得的值，可判断A错误；连接，，求得和，得到的斜率的取值范围，可判定B错误；由直线被圆截得的弦长为2，得到圆心到直线的距离，求得的值，可判定C正确；求得，进而得到四边形面积的最小值，可判定D正确.
【解析】设圆的方程为，则，
解得，所以圆的方程为，故A错误；
连接，，直线的斜率，直线的斜率，可得过点的直线与线段相交时，的斜率的取值范围为，故B错误；
由圆的标准方程为，
因为直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离，
则，解得或，
故直线的方程为或，故C正确；
由直线过定点，连接，，当时，点到直线的距离最大，，
当最小时，四边形的面积最小，
又由，所以四边形面积的最小值为，故D正确.
故选：CD.

三、填空题
13．圆与圆，则圆A与圆B的公切线方程为___________.
【答案】，，或
【分析】首先求出圆心与半径，判断两圆的位置关系，确定公切线有条，再利用点到直线的距离公式即可求解.
【解析】，圆心，半径；
，圆心，半径，
因为两圆的圆心距，
所以两圆相离，即圆A与圆B的公切线有条，
当直线的斜率不存在时，与两圆均相切；
当直线的斜率存在时，设，即，
所以，解得 ，或，
所以圆A与圆B的公切线方程有， 或
，
故答案为：，，或
14．已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A和B．若圆心O到直线的距离的最大值为，则实数m=________．
【答案】4
【分析】由平面几何知识可知圆心O到直线的距离的最大时，的最小，利用点到直线的距离公式即得.
【解析】
连接，，，，设与相交于点，
易知被垂直平分，，圆心到直线的距离为，
中，有，即，
∵圆心O到直线的距离的最大值为，
则的最小值为，
依題意，知的最小值为点到直线的距离，
∴，即，
∵，∴.
故答案为：4.
03 圆的弦长与切线（长）
_
一、单选题
1．直线被圆所截得的弦长为（       ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可.
【解析】由题意圆心，圆C的半径为3，
故C到的距离为，
故所求弦长为.
故选：A.
2．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由垂径定理可知，，可得直线斜率，及直线方程.
【解析】由圆，得，
，
由垂径定理可知，
所以直线斜率满足，即，
所以直线的方程为：，即，
故选：D.
3．已知的圆心是坐标原点O，且被直线截得的弦长为6，则的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设的方程为，根据弦长公式或弦长的一半，半径，圆心距的关系求出半径即可得解．
【解析】由题可设的方程为．∵被直线截得的弦长为6，且圆心到直线的距离，∴，解得，可得的方程为．
故选：C．
4．已知直线与圆C：相交于点A，B，若是正三角形，则实数（       ）
A．－2 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由圆心到直线的距离为得出.
【解析】设圆的半径为，由可得，
因为是正三角形，所以点到直线的距离为
即，两边平方得，
故选：D
5．已知圆C：x2+y2+2x-4y+1=0，若在圆C中存在弦AB，满足AB=2，且AB的中点M在直线2x+y+k=0上，则实数k的取值范围是（       ）
A．[-2，2] B．[-5，5] C．(-，) D．[-，]
【答案】D
【分析】根据给定条件求出点M的轨迹，再利用点M的轨迹与直线2x+y+k=0有公共点即可列式计算作答.
【解析】圆C：x2+y2+2x-4y+1=0的圆心，半径，因M为线段AB的中点，则，
此时，，于是得点M的轨迹是以点C为圆心，1为半径的圆，而点M在直线2x+y+k=0上，
因此，直线2x+y+k=0与点M的轨迹有公共点，从而得，解得，
所以实数k的取值范围是.
故选：D
6．已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形周长取最小值时，四边形的外接圆方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用切线长定理求出四边形周长最小时点M的坐标即可求解作答.
【解析】圆的圆心，半径，点C到直线l的距离，
依题意，，四边形周长，
当且仅当时取“=”，此时直线，由得点，
四边形的外接圆圆心为线段中点，半径，方程为.
故选：D
7．在定圆内过点作两条互相垂直的直线与C分别交于A，B和M，N，则 的范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设，求出两种临界值下的最值，进而求出的范围，再结合基本不等式和对勾函数即可求解
【解析】设，当，，，交换位置可得，故，，又，显然能取到，故，由对勾函数性质可知，当或时，，故，
故选：D

8．已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（       ）
A．8 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆的切线性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可.
【解析】圆的圆心坐标为，半径为，
因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，
所以有，，
因此有，
要想四边形周长最小，只需最小，即当时，
此时，此时，
即最小值为，
故选：A


【点睛】关键点睛：利用圆切线性质是解题的关键.

二、多选题
9．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝16，直线l：（2m﹣1）x+（m﹣1）y﹣3m+1＝0．下列说法正确的是（       ）
A．直线l恒与圆有两个公共点
B．圆C被y轴截得的弦长为
C．直线l恒过定点（2，1）
D．直线l被圆C截得弦长存在最小值，此时直线l的方程为x﹣2y﹣4＝0
【答案】ABD
【分析】AC易得直线过定点判断；B.令求解判断；D.由圆心与定点连线与直线l垂直时，圆C截得弦长最小求解判断.
【解析】直线l：（2m﹣1）x+（m﹣1）y﹣3m+1＝0可化为，
由，解得，所以直线过定点，又，
所以点在圆内，所以直线l恒与圆有两个公共点，故A正确，C错误；
令，得，则，所以圆C被y轴截得的弦长为，故B正确；
由，当圆心与定点连线与直线l垂直时，圆C截得弦长最小，此时直线l的斜率是，则直线方程为，即，故D正确；
故选：ABD
10．圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（　　）
A．直线与圆相交 B．若点到直线的距离为3，则点有2个
C．的最小值是 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是
【答案】BC
【分析】利用圆心到直线的距离判断A选项；通过判断BC选项；通过勾股定理计算切线长判断D选项.
【解析】圆，圆心，半径，圆心到直线的距离，
故直线与圆相离，A错误；的最小值是5-4=1，最大值是5+4=9，故点到直线的距离为3时，点有2个，B正确，C正确；
设点向圆引切线，，最小时，即最小，的最小值为圆心到直线的距离，
此时，D错误.
故选：BC.
11．已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦AE、BF．则下列结论正确的是(       )
A．圆的方程为：
B．弦AE的长度的最大值为
C．四边形ABEF面积的最大值为
D．该线段AE、BF的中点分别为M、N，直线MN恒过定点
【答案】AD
【分析】设圆的圆心为C(－2，b)，根据题意圆心到直线的距离等于圆心到Q的距离，据此即可解出b，求出半径r，从而求得圆的标准方程；
当AE为直径时AE长度最长；
，设圆心到BF的距离为d，则0≤d≤1，根据几何关系表示出，根据函数单调性可求四边形ABEF面积的最大值；
根据MDNC为矩形，对角线互相平分即可判断MN经过CD中点﹒
【解析】设圆心为C，圆的半径为r，
由题可知，，
∴圆的方程为：，故A正确；
当AE过圆心C时，AE长度最长为圆的直径4，故B错误；
如图，

线段AE、BF的中点分别为M、N，设，
则，
，，
，
∴时，四边形ABEF面积有最大值，故C错误；
∵四边形MDNC为矩形，则MN与CD互相平分，即MN过CD中点()，故D正确.
故选：AD.
12．已知圆上两点A、B满足，点满足：，则下列结论中正确的是（       ）
A．当时，
B．当时，过M点的圆C的最短弦长是
C．线段的中点纵坐标最小值是
D．过M点作图C的切线且切点为A，B，则的取值范围是
【答案】CD
【分析】根据给定条件可得点在线段的垂直平分线上，对于A，利用弦长公式求得线段的长，由线段的垂直平分线平行于轴，即可判断出A；对于B，当 时，点在圆内，结合弦长和半径即可判断出结果；对于C，令线段的中点，根据勾股定理结合放缩法即可求得结果；对于D，利用切线长定理即可求得的取值范围，即可判断出D．
【解析】解：圆的圆心，半径，令圆心到直线距离为，
对于A，令直线，即，显然有，
线段的垂直平分线平行于轴，此时点不存在，即不存在，A不正确；
对于B，当 时，点在圆内，而圆的直径长为2，则过 点的圆的最短弦长小于2，而，B不正确；
对于C，令线段的中点，则，
则，即，解得，当且仅当时取等号，
所以，C正确；
对于D，依题意及切线长定理得：，
解得或，
所以的取值范围是，D正确．
故选：CD．


三、解答题
13．已知圆，直线，．
(1)若圆上存在两点关于直线对称，求实数的值；
(2)若，被圆所截得的弦的长度之比为，求实数的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由题意知直线过圆心，代入点的坐标求出的值；
（2）求出圆心到直线的距离和被圆所截得的弦长，再求出直线被圆所截得的弦长与圆心到直线的距离，列方程求出的值．
(1)
解：圆的圆心为，
圆上存在两点关于直线对称，
则直线过圆心，，解得；
(2)
解：由直线，得，
则圆心到直线的距离为，
被圆所截得的弦长为；
又直线、被圆所截得的弦长之比为，
被圆所截得的弦长为，
由，得；
则圆心到直线的距离，
整理得，
解得．
14．在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为．当m变化时，解答下列问题：
(1)以AB为直径的圆能否经过点C？说明理由；
(2)过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)以AB为直径的圆经过点C，理由见解析
(2)圆在y轴上截得的弦长为定值2

【分析】（1）设，，利用韦达定理求得，在判断直线AC与BC的斜率之积是否等于，即可得出结论；
（2）由（1）求得过A，B，C三点的圆的方程，再令，即可得出结论.
（1）解：以AB为直径的圆经过点C，理由如下：设，，则，直线AC与BC的斜率之积为，∴，∴以AB为直径的圆经过点C；
（2）解：设AB的中点为M，则，则，，由（1）知过A，B，C三点的圆的方程为，令，得，∴圆在y轴上截得的弦长为定值2．
15．已知圆与直线相切．
(1)若直线与圆交于两点，求；
(2)设圆与x轴的负半轴的交点为，过点作两条斜率分别为的直线交圆于两点，且，试证明直线恒过一点，并求出该点的坐标．
【答案】(1)4
(2)证明见解析，

【分析】（1）求得圆心到直线的距离，求得圆，求出圆心到直线的距离，结合弦长公式，即可求解；
（2）由，设，则直线，联立方程组，利用根与系数的关系和斜率公式，结合已知条件求得直线的方程，进而确定直线过定点.
(1)
解：由题意，圆心到直线的距离，
即，所以圆，
又因为圆心到直线的距离，
所以.
(2)
解：由圆，可得，
设，则直线，
又由，整理得，
所以，即，所以，
因为，可得，
将代入，可得点，
所以，所以，
即
化简得，所以直线恒过一定点，该定点为.

04 最值与求参数范围问题
一、单选题
1．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（       ）
A． B．5 C． D．10
【答案】B
【分析】由题意已知可表示直线上的点到点的距离最小值，代入点到直线的距离即可求得答案.
【解析】解：由题意知，圆的一般方程为
圆的标准方程为：
因为恰好过圆心，且圆心为，代入得：
的最小值可表示点到直线的距离平方的最小值
又由到直线距离为
所以得最小值为5.
故选：B
2．已知过点的动直线l与圆C：交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点N．若动点，则的最小值为（       ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】先判断出四点在以为直径的圆上，求出该圆方程，进而求得方程，由点在直线上得出点轨迹为，又在圆上，进而将的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，即可求解.
【解析】
易得圆心，半径为4，如图，连接，则，则四点在以为直径的圆上，
设，则该圆的圆心为，半径为，圆的方程为，又该圆和圆的交点弦即为，
故，整理得，又点在直线上，
故，即点轨迹为，又在圆上，故的最小值为
圆心到直线的距离减去半径1，即.
故选：B.
3．已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（       ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【分析】由题意得点轨迹，转化为有交点问题
【解析】，记中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
又P在圆C上，所以两圆有交点，则，而，
得．
故选：B
4．圆与圆至少有三条公切线，则m的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题知两圆的位置关系为外切或相离，进而根据圆心距与半径和的关系求解即可.
【解析】解：将化为标准方程得，即圆心为半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆至少有三条公切线，
所以两圆的位置关系为外切或相离，
所以，即，解得.
故选：D
5．已知点为圆上一点，点，，，若对任意的点，总存在点，，使得，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】易求直线的方程，可求圆心到直线的距离，进而可求圆上的点到直线的距离的范围，因为对任意的点，总存在点，，使得，则以为直径的圆包含圆，故，化简即得所求.
【解析】由题可得点，在直线上，
圆的方程为，则圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线的距离的范围为.
因为对任意的点，总存在点，，使得，
所以以为直径的圆包含圆，故，
所以，得，
故选：A.
6．已知圆，圆，M､N分别是圆､上的动点，P为x轴上的动点，当P点横坐标为时取得最小值，则此时（       ）
A． B． C． D．9
【答案】B
【分析】求得圆关于轴的对称圆的方程，结合的圆心、半径求得的最小值以及此时，从而求得正确答案.
【解析】圆的圆心为，半径为.
圆关于轴的对称圆的方程为，圆心为，半径.
圆的圆心为，半径为.
所以的最小值为.
此时直线的方程，也即直线的方程为，
即，令，解得.
所以.
故选：B
7．在正三角形中，为中点，为三角形内一动点，且满足，则最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设边长为，由向量坐标运算可表示出点轨迹，利用两点间距离公式可得；当时，可求得；当时，令，根据的几何意义，利用直线与圆的位置关系可求得的范围，进而得到最小值；综合两种情况可得结果.
【解析】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，

不妨设正三角形的边长为，则，，，
设，则，，
，，
，即；
点轨迹为：，
；
当时，，；
当时，令，则表示与连线的斜率，
设直线与圆相切，
则圆心到直线距离，解得：或，
，
则当时，取得最小值，；
综上所述：最小值为.
故选：D.
8．在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点满足，直线l：与动点Q的轨迹交于A，B两点，记动点Q轨迹的对称中心为点C，则当面积最大时，直线l的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用，求出点Q的轨迹方程，求出直线l过定点，设，结合直线与圆的位置关系得到，即可求出面积最大时，直线l的方程．
【解析】解：设，由题意得，化简可得动点Q的轨迹方程为，
圆心为，半径为．
又由，可得．
则由解得所以直线l过定点，
因为，所以点在圆C的内部．

作直线，垂足为D，设，因为，
所以，所以，
所以，
所以当，即时，．
此时，又，
所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查圆有关的轨迹问题，考查直线与圆的位置关系，直线系方程过定点，涉及三角形面积计算以及函数最值，考查学生计算能力，解题的关键是求出点Q的轨迹方程和直线过的定点，画出图形，结合图形求解，属于较难题．

二、多选题
9．若动直线与圆相交于两点，则（       ）
A．的最小值为
B．的最大值为
C．为坐标原点）的最大值为78
D．的最大值为18
【答案】ABD
【分析】由题可知直线恒过定点，利用圆的性质可判断A，利用余弦定理及数量积的定义可判断B，利用韦达定理法可得，然后利用基本不等式可判断C，利用向量数量积的定义及圆的性质可判断D.
【解析】由，可得，
故直线恒过定点，又圆，圆心为，半径为3，
由圆的性质可得当⊥时，取得最小，

此时，，故A正确；
∵，
∴，故B正确；
由，可得，
设，则，
∴
，
∴，
要使最大，则最大，
要求的最大值，不妨令，（当时不合题意）
则，
当且仅当，即取等号，
故，故C错误；
由题可知，
∴，故D正确.
故选：ABD.
10．已知圆，过点的直线交圆于A，B两点，下列说法正确的是（       ）
A．当时，的最小值是
B．当时，的取值范围是
C．当时，为定值
D．当，且时，
【答案】ABCD
【分析】根据圆的几何性质判断A，由圆上点与圆内点的距离最值分别为过该点直径端点判断B，根据直线与圆相交，根与系数的关系，向量运算判断C，根据圆的几何性质及线段中点求解判断D.
【解析】当时，，则，点在圆内，当为直线AB的中垂线时，
，故A正确；
当时，，则，点在圆内，
由圆的性质知，，，故的取值范围是，故B正确；
当时，在圆外，当直线斜率存在时，设直线为，
设，联立方程可得，当时，
，，
，
当直线斜率不存在时，直线为，则，
，综上为定值,
故C正确；
当时， ，在圆外，设且交点为，则,由知，设，
则，解得，所以在直角三角形中，故，所以，故D正确.
故选：ABCD
11．如图所示，M，N是圆O：上的两个动点，线段MO的延长线与直线l：交于点P，若，则下列结论正确的是（       ）

A．的最小值为
B．的最大值为
C．
D．的最大值为
【答案】ABC
【分析】点O到直线l上的点的距离即为的最小值，过点P作圆O的切线为切点，则有，可判断出选项AB的正误；假设，可推出，不符题意，故选项C正确；取，此时，可得到，故选项D错误．
【解析】如图所示，

过点P作圆O的切线为切点，则有，所以，则，又因为P为直线l：上的动点，所以点O到直线l上的点的距离的最小值为，故A，B正确；
若，则与，不合题意，故，故C正确；
当时，，，，故D错误．
故选：ABC．
12．已知圆M：，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（       ）
A．四边形PAMB周长的最小值为 B．的最大值为2
C．若，则的面积为 D．若，则的最大值为
【答案】ACD
【分析】对A，可将四边形PAMB周长转化为，结合勾股定理可求最值；对B，由圆内最长的弦为直径可判断错误；对C，由几何关系先求出，由等面积法可求出，结合面积公式可求；对D，分点是否与原点重合分类讨论，当点不与原点重合时，求出切线长方程和直线方程，联立可求动点轨迹，由点与圆的位置关系可求.
【解析】如图所示，对于选项A，四边形PAMB的周长为，

因为，所以四边形PAMB的周长为，设，当与原点重合时最小，则，则四边形PAMB的周长为，则当t取最小值2时，四边形PAMB的周长最小，为，故A正确；
对于选项B，因为圆M：的直径为2，所以，故B错误；
对于选项C，因为，所以，，由等面积法可得，求得，， ，所以的面积为，故C正确；
对于选项D，当点P与原点重合时，，则，则，则，则；当点P不与原点重合时，设（），则切点弦AB的方程为（利用结论：过圆外一点的切线弦方程为求得），直线MP的方程为，联立两方程，可得，消去m，得动点C的轨迹方程为．又因为，所以，故D正确．
故选：ACD．

三、填空题
13．在等腰直角△BCD中，BD=CD=1，点A在△BCD所在的平面内，若，则正整数的最大值为___________.
【答案】4
【分析】由，可求点满足的两个方程，由两曲线有交点可求.
【解析】如图以为原点建立平面直角坐标系，则，设，

由知，
，
由得，
即，所以点A在圆心为，半径为2的圆上，
由得，，当时显然不合题意，
当时，，所以A又在圆心为，半径为的圆上，
所以两圆有公共点，
∴，
∴
可得又为正整数，
∴正整数的最大值为4.
故答案为：4.
14．已知点且点点M在点N的左面是直线上的两个动点且，则的取值范围为__________．
【答案】
【分析】先确定P，Q分别在C，O为圆心，半径为2的圆的内部，再确定OC在给定直线上的射影的长度，进而确定向量在向量方向上的射影的最大值和最小值，根据等于的长度与在向量方向上的射影的乘积求得的取值范围
【解析】设 ，由 可得：
，即 ，而，
由此可得P，Q分别在以，为圆心，半径为的圆内，包括圆周，
取直线上一点，
则为直线的一个方向向量，正好与向量相等，
两圆心所确定的向量在向量方向上的投影为： ，
在向量方向上的投影的最小值为，
最大值为，
的最小值为，
最大值，
当P，Q在所在的圆周及其内部区域自由运动时，将连续变化，
的取值范围是，
故答案为：
15．若任意两圆交于不同的两点，，且满足，则称两圆为“→心圆”．已知圆与圆为“→心圆”，则实数的值为______．
【答案】
【分析】可转化为，将两点，分别代入两圆方程，点差法化简，联立即得解
【解析】设圆与圆交于不同的两点，，
则，．
将，分别代入，
得①，②，
①-②得，
，．
将，分别代入，
得③，④，
③-④得，
，即，
将代入得，解得．
故答案为：
16．已知实数，，，满足：，，，则的最大值为___________.
【答案】35
【分析】设，.先判断出AB两点在圆上且.设点A到直线的距离，点B到直线的距离，所以.利用几何法判断出当点A，B在第三象限，且直线AB与直线平行时最大，进而求出最大值.
【解析】设，.则，.
因为实数，，，满足：，，，
所以AB两点在圆上，且.
又，所以，所以，所以为等边三角形，.
点A到直线的距离，点B到直线的距离，所以.
要使最大，只需点A，B在第三象限，

设直线为直线l，过A作AD⊥l于D, 过B作BE⊥l于E,取AB中点F，过F作FG⊥l于G.由梯形的中位线性质可知：,即.
只需F到直线l距离最大，所以直线AB与直线平行.
此时，设，
由圆心到直线AB的距离为，可得：，即，解得：.
所以两平行线间的距离为，
所以，
所以.
故答案为：35.
【点睛】解析几何中最值的计算方法有两类：
（1）几何法：利用几何图形求最值；
（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值.
05 解答题专练（韦达定理与平面解析几何初步）
一、解答题
1．已知方程表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围；
(2)求圆的周长的最大值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据圆的一般式与标准式的转化，根据标准式即可求解.
（2）根据二次函数的性质可求解半径的最大值，进而可求圆周长的最大值.
（1）
原方程可化为，
若方程表示一个圆，则，解得，
即实数m的取值范围是.
（2）
圆的半径，当且仅当时，半径r取得最大值，所以圆的周长的最大值为.
2．1.已知圆：，其中．
(1)如果圆与圆外切，求的值；
(2)如果直线与圆相交所得的弦长为，求的值．
【答案】(1)20
(2)8

【分析】（1）两圆外切，则两圆的圆心距等于两圆半径之和，列出方程，进行求解；（2）先用点到直线距离公式，求出圆的圆心到直线的距离，再用垂径定理列出方程，求出的值.
(1)
圆的圆心为，半径为，若圆与圆外切，故两圆的圆心距等于两圆半径之和，故，解得：
(2)
圆的圆心到直线的距离为，由垂径定理得：，解得：
3．已知圆C：，直线l：与圆C相交于A､B两点.
(1)已知点在圆C上，求的取值范围：
(2)若O为坐标原点，且，求实数m的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）令，临界条件为直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得 z的取值范围，进而得解；
（2）利用圆的弦长公式及，可求实数m的值.
(1)
将圆的方程变形为，圆心 ，
令，即，
如图，临界条件为直线与圆相切，当直线为位置时取，当直线为位置时取

圆心到直线的距离，即 ，解得或
所以的取值范围为
(2)
，
圆心到直线的距离
由点到直线的距离公式，即 ，解得
所以实数m的值为
4．已知圆．
(1)直线过点，且与圆C相切，求直线的方程；
(2)设直线与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求的面积S的最大值．
【答案】(1)x＝－1或4x－3y＋7＝0
(2)

【分析】（1）根据直线的斜率是否存在，分别设出直线方程，再根据圆心到直线的距离等于半径，即可解出；
（2）根据弦长公式求出，再根据几何性质可知，当时，点P到直线距离的最大值为半径加上圆心到直线的距离，即可解出．
（1）
由题意得C（2，0），圆C的半径为3．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－l＝k（x＋1），即kx－y＋k＋1＝0，
由直线与圆C相切，得，解得，所以直线的方程为4x－3y＋7＝0．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆C相切．
综上，直线的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0．
（2）
由题意得圆心C到直线的距离，
设圆C的半径为r，所以r＝3，所以，
点P到直线距离的最大值为，
则的面积的最大值．
5．已知圆，直线，当时，直线l与圆O恰好相切．
(1)求圆O的方程；
(2)若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在一点P，使得，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径可求解.
（2）分直线l与圆有公共点和无公共点两种情况讨论，再结合，则点P在以MN为直径的圆上，由两圆有公共点即可求解.
（1）
当时．圆心O到直线l的距离为，则r＝2，
所以圆O的方程为．
（2）
圆心O到直线l的距离
①当直线l与圆O有公共点，即，解得，
若点P与点M（或N）重合，则满足，符合题意．
②当直线l与圆O无公共点，即，解得或，
由，可知点P在以MN为直径的圆上，设线段MN的中点为，
则圆Q的方程为，
又圆Q与圆O有公共点，设圆Q的半径 ，圆O的半径，
则，
只需点O到直线l的距离，
所以或．
综上，实数k的取值范围为．
6．在①，②最小，③过A，B两点分别作圆C的切线，切线交于点P（2，0）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
在平面直角坐标系中，已知圆，直线l过定点M（1，1）．设直线l与圆C交于A，B两点，当______时，求直线l的方程．
【答案】
【分析】若选条件①，根据勾股定理可知，设出直线方程，再根据弦长公式即可求出；
若选条件②，由点M（1，1）在圆内，可知当点M（1，1）为弦AB的中点时，最小，此时，由此可得直线斜率，从而解出；
若选条件③，由圆与圆的位置关系可知，由此可得直线斜率，从而解出．
【解析】将圆的方程化为，则C（0，2），半径r＝2．
方案一：选条件①．
因为，所以，所以．
当直线l的斜率不存在时，方程为x＝1，此时，不符合题意．
当直线l的斜率存在时，设方程为，即，
由题意可知，即，解得k＝1，所以直线．
方案二：选条件②．
当直线所过定点M（1，1）为弦AB的中点时，最小，此时，，所以直线l的斜率为1，所以直线．
方案三：选条件③．
因为过A，B两点分别作圆C的切线，切线交于P（2，0），所以，，所以直线l的斜率为1，又直线过定点M（1，1），所以直线．
7．已知圆，平面上一动点P满足：且，.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过点N的直线l（斜率为正）交圆G于A､C两点，交P的轨迹于B､D两点（A､B在第一象限），若，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）设，利用平面直角坐标系中两点的距离公式计算可得；
（2）设直线，求出圆心到直线的距离，即可求出弦长，依题意，即可得到方程，解得即可.
(1)
解：设，则，
整理得：.
(2)
解：由题知l斜率为正，设直线，
则原点到直线l的距离为：，
故，
又圆，所以圆心，半径为2，
所以G到直线l的距离为：，
故，
又，所以，
所以，
整理得：，
解得：，（舍负），
所以直线l的方程为：.
8．已知圆，点.


(1)求过点G并与圆C相切的直线方程；
(2)设P为圆C上任意一点，线段AB在x轴上运动（A在B左边），且，求的最小值.
【答案】(1)或
(2)

【分析】（1）设切线方程为，利用点到直线的距离等于圆的半径可得答案；
（2）的最小值可转化为到圆心的距离减去半径的最小值，所求的最小值即求的最小值，设，则，由，转化为到和的距离的最小值减去1，结合图象可得答案.
（1）圆，由已知过点的切线的斜率存在，设其切线方程为，所以圆心到切线的距离为，解得或，所以切线方程为或，即或.
（2）
的最小值可转化为到圆心的距离减去半径的最小值，所以求即求的最小值，设，则，所以，可看作到和的距离的最小值减去1，取点关于原点对称的点，连接，此时的长度最小即最小，且，所以的最小值为，此时直线的方程为，即.
9．已知定点，动点满足，设动点P的轨迹为曲线，直线．
(1)求曲线的轨迹方程．
(2)若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线QM，QN，切点分别为，判断直线是否过定点．若过定点，写出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)直线过定点．

【分析】（1）设点，根据两点间的距离公式即得；
（2）设，由题可得以线段为直径的圆的方程，进而可得直线的方程，即得.
（1）
设点的坐标为，
因为，
所以，
化简，得，
所以曲线的轨迹方程为；
（2）
由题意，可知，，
所以点都在以线段为直径的圆上，
又是直线上的动点，设，
所以以线段为直径的圆心为，
所以圆的方程为，即，
因为点在曲线上，
所以，可得，
所以直线的方程为，即，
由，得，
所以直线过定点．
10．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点，直线与相交于点．

(1)求圆的方程；
(2)当时，求直线的方程．
(3)是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)定值，﹒

【分析】(1)设出圆的半径，根据以点为圆心的圆与直线相切．点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；
(2)根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线过点，求出直线的斜率，进而得到直线的方程；
(3)由直线过点，我们可分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别讨论是否为定值，综合讨论结果，即可得到结论．
(1)
设圆的半径为，由于圆与直线相切，

圆的方程为．
(2)
①当直线与轴垂直时，易知符合题意
②当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，即，
连接，则
，，
则由，得，直线．
故直线的方程为或
(3)
，
①当与轴垂直时，易得，则，又，

②当的斜率存在时，设直线的方程为，
则由，得，，则

综上所述，是定值，且．

11．已知直线：与圆：．
(1)求证：直线过定点，并求出此定点坐标；
(2)若直线与圆相切，求直线的方程；
(3)设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析，定点坐标为
(2)或
(3)为定值，

【分析】（1）直接由直线系方程求解直线恒过定点的坐标；
（2）设直线方程，利用几何法直接求出直线与圆相切时直线方程；
（3）设直线方程，联立方程组，化为关于的一元二次方程，利用斜率公式及根与系数关系即可证明为定值.
(1)
由直线：，
得，
联立，解得，
所以直线恒过定点；
(2)
由圆：，得圆心，半径，
又由（1）得直线恒过定点，
当直线斜率不存在时，方程为，直线与圆相切成立，
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
圆心到直线的距离
由直线与圆相切可得，即，
解得，直线方程为，即，
综上所述：直线的方程为或；
(3)
由（2）可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，，
联立方程，即，
，即，
，，
又，，
，
所以为定值，.
12．已知圆，圆.
(1)试判断圆与圆是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交说明理由；
(2)点是直线上一点，过作圆的切线段、，、为切点，求四边形面积的最小值.
【答案】(1)圆与圆相交，公共弦所在直线方程为：；
(2)最小值为9.

【分析】（1）用圆心距与两圆半径的关系判断两圆位置关系，用两圆方程相减消去二次项得相交弦所在直线方程；
（2）要使四边形的面积达到最小，即为圆心到直线的距离时，切线长、达到最小，运用点到直线的距离公式求得，再求得，即可求解.
(1)
将､化为圆的标准方程：，，
可得：，，，，
所以，，，
因为，
所以圆与圆相交，
将两个圆方程相减，得，
化简得两圆公共弦所在直线方程为：；
(2)
要使四边形的面积达到最小，则圆心与点的距离达到最小，即为圆心到直线的距离时，切线长、达到最小，因为圆心到直线的距离为：，则，
所以四边形面积的最小值为：，
故四边形面积的最小值为9.
13．如图，在平面直角坐标系中，圆交轴于、两点，交直线于、两点．

(1)若，求的值；
(2)设直线、的斜率分别为、，试探究斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
(3)证明：直线、的交点必然在一条定直线上，并求出该定直线的方程．
【答案】(1)；
(2)恒为定值；
(3)证明见解析，交点恒在定直线上.

【分析】（1）利用勾股定理可求得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可求得实数的值；
（2）设点、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值，即可证得结论成立；
（3）设直线的斜率为，可得出，写出直线、的方程，求出两直线交点的纵坐标，即可证得结论成立.
(1)
解：圆的圆心为，到直线的距离为，
，可得，解得.
(2)
解：将代入圆О方程，并整理得，
则，设点、，
由韦达定理，．
，所以，，同理，
于是（定值）.
(3)
解：注意到，设直线的斜率为，则，即．

直线的方程为，直线的方程为的交点满足，
即，解得，故直线、交点必在定直线上．
14．已知、，．
(1)若直线过点，且被截得的弦长为，求直线的方程；
(2)过作直线交圆于、两点，且为的中点，求直线的方程；
(3)对于线段上的任意一点，若在以点为圆心的圆上都存在不同的两点、，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围．
【答案】(1)或
(2)和
(3)

【分析】（1）求得圆心到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式可求出直线的斜率，可得出直线的方程，在直线的斜率不存在时，直接验证即可，综合可得出直线的方程；
（2）取的中点，连接，设，，根据勾股定理可得出关于的方程，求出的值，可得出的值，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可求得的值，即可得出直线的方程；
（3）设点的坐标，可得出点的坐标，代入圆的方程，可得出以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，由此可求得的取值范围.
(1)
解：的圆心，半径为，由弦长为，
则圆心H到的距离．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
则，解得，则的方程；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，满足题意．
综上，直线的方程是或.
(2)
解：取的中点，连接，由圆的垂径定理可得，且，
又，设，，可得，

在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
即有，解得，则，
若直线的斜率不存在，则直线与圆相离，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设为，直线的方程为，即为，
则，解得或，
所以直线的方程为和.
(3)
解：直线的方程为，设，．
因为点是点的中点，所以，
又、都在半径为的圆上，所以，
即，
因为该关于、的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，
所以，
又，所以对任意成立．
而在上的值域为，
故，即，
又线段与圆无公共点，所以或对任意成立，即或，
所以，，解得，
故圆的半径的取值范围为．
【点睛】方法点睛：解析几何中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用二次曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
15．在直角坐标系中，直线交x轴于M，以O为圆心的圆与直线l相切.
(1)求圆O的方程；
(2)设点为直线上一动点，若在圆O上存在点P，使得，求的取值范围；
(3)是否存在定点S，对于经过点S的直线L，当L与圆O交于A，B时，恒有？若存在，求点S的坐标：若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点S的坐标为

【分析】(1)求出点O到直线l的距离即可求得圆O的方程.
(2)对于直线上的每一点N，当NP与圆O相切时，最大，由即可计算得解.
(3)当直线L斜率存在时，设其方程为，与圆O的方程联立，利用给定条件并
借助韦达定理探求k，m的关系即得，再讨论直线L斜率不存在的情况即可判断作答.
(1)
原点O到直线的距离为，因圆O与直线l相切，
所以圆O的方程为：.
(2)
点O到直线的距离为，即直线与圆O：相离，对于此直线上的每一点N，
点P在圆O上，当NP与圆O相切时，点O到直线NP距离为圆O半径2，是点O到由点N与圆O上任意点确定的直线距离最大的，如图，

，要圆O上存在点P，使得，当且仅当NP与圆O相切且，
即，则有，因此，，
而，即，解得，
所以的取值范围是.
(3)
直线L斜率存在时，设其方程为，由消去y并整理得：，
设，则，而点，要成立，
当且仅当直线AM，BM斜率互为相反数，即，则，
整理得，即，化简得，
直线L：恒过定点，显然点在圆O内，方程有两个不等实根，
当直线L斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，恒有成立，
此时，直线L可为和圆O：相交且与x轴垂直的每一条直线，直线为其中之一，
综上得，无论直线L斜率存在与不存在，只要L过点就恒有成立，
所以存在定点S，对于经过点S的直线L，当L与圆O交于A，B时，恒有.