单元复习06 空间向量与立体几何【过习题】（分级培优练）-2022-2023学年高二数学单元复习（苏教版2019选择性必修第二册）

单元复习06 空间向量与立体几何

一、单选题

1．已知向量，则与同向共线的单位向量（    ）

A． B． C． D．

2．以下四组向量在同一平面的是（    ）

A．、、 B．、、

C．、、 D．、、

3．在下列命题中：

①若向量共线，则向量所在的直线平行；

②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；

③若三个向量两两共面，则向量共面；

④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得.

其中正确命题的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

4．如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（    ）

A． B． C． D．

5．已知向量，，且与互相垂直，则的值是（    ）

A．－1 B． C． D．

6．在四面体中，，点在上，且为中点，则（    ）

A． B．

C． D．

7．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（    ）

A． B． C． D．

8．在空间直角坐标系中，已知点M是点在坐标平面内的射影，则点M的坐标是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（多选题）下面四个结论正确的是（   ）

A．空间向量，若，则

B．若对空间中任意一点，有，则四点共面

C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底

D．任意向量满足

10．已知，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．为钝角 D．在方向上的投影向量为

三、填空题

11．已知正方体的棱长为6，E为棱的中点，F为棱上的点，且，则___________.

12．已知四面体中，，分别在，上，且，，若，则________.

四、解答题

13．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

14．如图，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，，平面平面.

(1)证明：平面；

(2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.

15．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求：

(1)点到平面的距离；

(2)平面与平面夹角的余弦值.

一、单选题

1．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．//

B．

C．//平面

D．平面

2．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C到平面AB1D1的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

3．长方体中，，为线段上的动点，则与平面所成角的余弦值的最小值为（    ）

A． B． C． D．

4．已知，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在的直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：

（1）直线与所成的角不可能为；

（2）直线与所成角的最大值为；

（3）直线与所成的角为时，与所成的角为.

其中正确的是（    ）

A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）

5．已知直三棱柱ABC﹣A'B'C'的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P是侧棱AA'上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与直线B'C所成的角为β，二面角P﹣B'B﹣C的平面角为γ，则（　　）

A．α＞β＞γ B．α＜β＜γ C．α＞γ＞β D．β＞α＞γ

6．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：

①BM与ED平行

②BM与CE垂直

③CE与平面ABCD所成角的正切值为

④CN与BM所成角为

以上四个命题中，正确命题的序号是（    ）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

7．设空间直角坐标系中有、、、四个点，其坐标分别为、、、，下列说法正确的是（    ）

A．存在唯一的一个不过点、的平面，使得点和点到平面的距离相等

B．存在唯一的一个过点的平面，使得，

C．存在唯一的一个不过、、、的平面，使得，

D．存在唯一的一个过、点的平面使得直线与的夹角正弦值为

8．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．在正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）中，点在棱上，满足，点为线段上的动点.设直线与平面所成的角为，则（    ）

A．存在某个位置，使得 B．存在某个位置，使得

C．存在某个位置，使得平面平面 D．存在某个位置，使得

10．如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段，上的动点，则下列说法错误的是（    ）

A．平面平面

B．线段的最小值为

C．当，时，点D到直线的距离为

D．当P，Q分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为

二、多选题

11．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，平面，PA=AB=2，E为棱PB的中点，F为棱BC上的动点，则下列结论正确的为（    ）

A．平面平面PBC B．EF与平面ABCD所成角的最大值为

C．E到面PAC的距离为 D．AE与PC所成角的余弦值为

12．如图，已知P为棱长为1的正方体对角线上的一点，且，下面结论中正确的有（    ）

A．

B．可能与面APB垂直

C．当取最小值时，

D．若，则

13．直三棱柱中，分别为，的中点，点是棱上一动点，则（    ）

A．对于棱上任意点，有

B．棱上存在点，使得面

C．对于棱上任意点，有面

D．棱上存在点，使得

14．如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（    ）

A．平面

B．几何体的外接球半径

C．异面直线与所成角的正弦值的取值范围为

D．面与底面所成角正弦值的取值范围为

三、填空题

15．在平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，，若，则___________.

16．如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，.点，分别在棱，上，且，，若过点，，的平面与直线交于点，且，则______.

17．已知，，是空间两两垂直的单位向量，，且，则的最小值为________．

18．在等边三角形中，为中点，将沿折起至，使得，则直线与平面所成角的正弦值为___________.

四、解答题

19．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点E是的中点.

(1)求证：；

(2)求证：平面；

(3)求二面角的大小.

20．如图，分别是矩形上的点，，，把四边形沿折叠，使其与平面垂直，如图所示，连接，得到几何体．

(1)当点在棱上移动时，证明：；

(2)在棱上是否存在点，使二面角的平面角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

21．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点，别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA、PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND．

(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；

(2)当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．

22．如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．

(1)求四棱锥的体积的最大值；

(2)若棱的中点为，求的长；

(3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．

一、单选题

1．（2022·广东肇庆·校考模拟预测）下列命题中是假命题的是（     ）

A．任意向量与它的相反向量不相等

B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小

C．如果，则

D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

2．（2022·广西桂林·校联考模拟预测）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中

①+与1+1是一对相反向量；

②-1与-1是一对相反向量；

③1+1+1+1与+++是一对相反向量；

④-与1-1是一对相反向量．

正确结论的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．（2018·全国·统考二模）在空间直角坐标系中，给定点，若点与点关于平面对称，点与点关于轴对称，则（ ）

A．2 B．4 C． D．

4．（2022·河南开封·统考一模）如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（    ）

①∥平面；    ②平面平面；

③直线与所成的角为；    ④直线与平面所成的角为．

A．1 B．2 C．3 D．4

5．（2022·河南开封·河南省杞县高中校考模拟预测）正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

6．（2022·吉林长春·统考模拟预测）在矩形ABCD中，O为BD中点且，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

7．（2022·江苏苏州·模拟预测）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ）

A． B．

C． D．

8．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）下列说法不正确的是（    ）

A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是

B．若，，不共线，且，则，，、四点共面

C．对同一平面内给定的三个向量，，，一定存在唯一的一对实数，，使得.

D．中，若，则一定是钝角三角形.

9．（2022·广东广州·统考一模）如图，长方体中，，，，点M是侧面上的一个动点（含边界），P是棱的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．当PM长度最小时，三棱锥的体积为

B．当PM长度最大时，三棱锥的体积为

C．若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为

D．若M在平面内运动，且，则点M的轨迹为圆弧

10．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，在平行四边形中，，分别为的中点，沿将折起到的位置（不在平面上），在折起过程中，下列说法不正确的是（    ）

A．若是的中点，则平面

B．存在某位置，使

C．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的表面积为

D．直线和平面所成的角的最大值为

三、填空题

11．（2022·上海青浦·统考一模）已知空间三点，，，则以、为一组邻边的平行四边形的面积大小为______．

12．（2022·北京·北京市第十二中学校考三模）在棱长为1的正方体中，点P是对角线的动点（点P与不重合），则下列结论正确的有___________.

①存在点P，使得平面平面；

②存在点P，使得平面；

③分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意的点P都有；

④对任意的点P，的面积都不等于.

四、解答题

13．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如图，在三棱柱中，，.

(1)证明：平面平面；

(2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值.

14．（2022·安徽·校联考二模）如图，将长方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，其中，劣弧的长为为圆的直径.

(1)在弧上是否存在点（在平面的同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

15．（2022·四川南充·统考一模）在平面五边形ABCDE中（如图1），ABCD是梯形，，，，，是等边三角形．现将沿AD折起，连接EB，EC得四棱锥（如图2）且．

(1)求证：平面平面ABCD；

(2)在棱EB上有点F，满足，求二面角的余弦值．