单元复习06 空间向量与立体几何【过习题】（考点练）-2022-2023学年高二数学单元复习（苏教版2019选择性必修第二册）

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单元复习06 空间向量与立体几何
01 基础概念与运算
一、单选题
1．已知，，且，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】本题考查空间向量坐标的运算,空间向量共线.
因为因为，所以，解得故选B
2．在下列条件中，使与，，一定共面的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据四点共面的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】与，，一定共面的充要条件是，
对于A选项，由于，所以不能得出共面.
对于B选项，由于，所以不能得出共面.
对于C选项，由于，则为共面向量，所以共面.
对于D选项，由得，而，所以不能得出共面.
故选：C
【点睛】本小题主要考查四点共面的条件，属于基础题.
3．如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别为SA，BC的中点，点G在EF上，且满足，若，，，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用空间向量基本定理结合已知条件求解
【详解】因为，所以，
因为E，F分别为SA，BC的中点，
所以



,
故选：B
4．已知向量，是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线l上，则“，且”是的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由线面垂直的定义和判定定理即可得到答案.
【详解】由题意，，.
若与方向相反，且，在平面α内，则向量，所在的直线要么重合，要么平行，因此根据线面垂直的判定定理，由，且无法得到.
若，根据线面垂直的定义，可以得到，且.
所以“，且”是的必要不充分条件.
故选：B.
5．向量，，若，且，则的值为（    ）
A． B．1 C． D．4
【答案】C
【分析】根据向量模的公式可求出的值，根据可求出的值，从而可求出的值.
【详解】因为向量，，所以，解得，
所以向量，
因为，所以，所以，
所以的值为.
故选：C.
6．以下命题中，不正确的个数为（    ）
①“”是“，共线”的充要条件；②若，则存在唯一的实数，使得；③若，，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；⑤.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】利用不等式等号成立的条件判断①即可；
利用与任意向量共线，来判断②是否正确；
利用共面向量定理判断③是否正确；
根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可；
代入向量数量积公式验证即可．
【详解】解：对①，向量、同向时，，只满足充分性，不满足必要性，①错误；
对②，当为零向量，为零向量时，不唯一，当为零向量，不为零向量时，不存在；②错误；
对③，，则，，不能得到，故③错误；
对④，用反证法，若不构成空间的一个基底；
设，即，，共面，为空间的一个基底，④正确；
对⑤，，⑤错误．
故选：．
【点睛】本题借助考查命题的真假判断，考查空间向量的共线向量定理、共面向量定理及向量的数量积公式，属于中档题．
7．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为(　　)
A． B．－ C． D．
【答案】B
【分析】设D(x，y，z)，根据求出D(，，0)，再根据CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值.
【详解】设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，
∵＝2，∴∴
∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，
∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－．
故选：B
【点睛】(1)本题主要考查向量的线性运算和空间向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2).

二、多选题
8．（多选）下列命题是真命题的有（    ）.
A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C．平面，的法向量分别为，，则
D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
【答案】AD
【分析】根据空间向量数量积的值即可判断A；根据空间向量数量积的值即可判断B；根据两平面法向量之间的关系可判断C；，，利用法向量与上面两向量的数量积可判断D.
【详解】∵，，
∴，则，
∴直线与垂直，故A正确；
，，则，
则，∴或，故B错误；
∵，，∴与不共线，
∴不成立，故C错误；
∵点，，，
∴，.
∵向量是平面的法向量，∴，
即，解得，故D正确.
故选：AD
【点睛】本题考查了空间向量的数量积运算，考查了基本运算能力，属于基础题.
9．给出下列命题，其中正确命题有（    ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么共面
D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
【答案】ABCD
【解析】选项中，根据空间基底的概念，所以正确；选项中，可得共面，又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；选项中：基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确．
【详解】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；
选项中，根据空间基底的概念，可得正确；
选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；
选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确．
故选：ABCD.
【点睛】本题主要考查空间向量基底的概念，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
10．如图，在长方体，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．当时，，，三点共线
B．当时，
C．当时，平面
D．当时，平面
【答案】ACD
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系
对A，根据长方体的性质判定即可；
对B，根据可得点的位置，再计算是否为0即可；
对C，求解平面的法向量，并判断即可；
对D，根据可得点的位置，再分别证明，即可
【详解】在长方体中，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，所以，
则，，，，，，，则，．
A选项，当时，为线段的中点，根据长方体的结构特征，为体对角线的中点，因此也为的中点，所以，，三点共线，故A正确．
B选项，当时，，由题意可得，．由，解得，所以，即点为线段上靠近点的五等分点，所以．则，，所以，所以与不垂直，故B错误．
C选项，当时，．
设平面的法向量为，由，令，可得．又，所以，因此，又点不在平面内，所以平面，故C正确．
D选项，当时，，所以，
所以，，因此，．
又，则平面，故D正确．
故选：ACD．

三、填空题
11．已知，，，若共面，则实数______．
【答案】
【分析】由空间向量的共面定理，列出方程组求出实数λ的值．
【详解】因为共面，
所以，
则，
解得，
故答案为：
12．在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为__________.
【答案】
【分析】由题意，设，建立空间的一个基底，
在正四面体中，根据向量的数量积的运算，即可求解.
【详解】由题意，设，建立空间的一个基底，
在正四面体中，
所以
.
【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算问题，其中解答中建立适当的空间基底，熟记向量的表示，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

02 空间向量的应用

一、单选题
1．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.
详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
2．已知向量，分别为平面和平面的法向量，则平面与平面的夹角为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据坐标可求出，根据夹角的范围以及平面的夹角与平面法向量之间的关系即可求出答案.
【详解】解：由已知可得，，，
所以.
设为平面与平面的夹角，则，
又，
所以.
故选：C.
3．如图，在直三棱柱中，，，，点D是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建系，求两平面的法向量，利用空间向量解决面面夹角问题.
【详解】如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，则，
设平面的法向量，
∵，则，
令，则，
∴，
同理可得：平面的法向量，
故，
设平面与平面所成角为，则，
故平面与平面所成角的正弦值.
故选：B.

4．如图，等腰直角中，，点为平面外一动点，满足，，则存在点使得（    ）

A． B．与平面所成角为
C． D．二面角的大小为
【答案】D
【分析】假设，结合线面垂直判定定理证明面，由此得到，推出矛盾，确定A错误，建立坐标系，计算与平面所成角，判断B，计算,判断C错误，求二面角的大小，判断D.
【详解】对于A：由是等腰直角三角形，可得
因为，所以，若，，
则面，因为面，所以，即
与矛盾，A错误；
以点为原点，为轴，如图建立空间直角坐标系

则，，设点，
∵ ，，
∴  ，，
∴ ，，
∴ ，，
设，，则，
设平面的法向量为，则
，即，
取，可得平面的一个法向量为，
又，
∴ ，
若与平面所成角为，则
则，可得，与矛盾，B错误，
∵ ，
∴ ，
∴ ，所以不存在点满足，C错误，
∵ 平面的一个法向量为，
∴ ，
令，则，
∴   ，
∴   ，解得（-1舍去），
所以存在点使得二面角的大小为，D正确
故选：D
5．把正方形沿对角线折起成直二面角，点，分别是，的中点，是正方形中心，则折起后，的大小为（    ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件可得两两互相垂直，根据点，分别是，的中点，得到，，再分别求得，，代入公式求解.
【详解】因为是正方形中心，所以，
为二面角的平面角，
又正方形沿对角线折起成直二面角，
即二面角是直二面角，所以，
因为点，分别是，的中点，
所以，，
所以.
又，
所以.
因为
所以，
故选：C.

【点睛】本题主要考查空间向量的立体几何中的应用，属于基础题.
6．在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围，由此求得，即可得解.
【详解】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示
则，，，，，
设，则，
设平面的法向量为
则，令，得
所以，
由于，，，
，，，
由于，所以
故选：D


二、多选题
7．正方形沿对角线折成直二面角，下列结论正确的有（ ）
A．与所成的角为
B．与所成的角为
C．与面所成角的正弦值为
D．平面与平面的夹角的正切值是
【答案】BD
【分析】以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出各选项中的直线的方向向量、平面的法向量后可得向量的夹角的余弦值，从而得到相应的空间角的三角函数值.
【详解】取的中点O，连接，则，
∵正方形沿对角线折成直二面角，故平面平面，
而平面平面，平面，故平面.
∴以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，∴，，，，.
∵，
因为，故，
∴异面直线与所成的角为60°，故A错误；
∵，∴，故B正确；
设平面的法向量为，
则取，得，
∴，
设与面所成角为，
则，故C错误；
易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则取
得，∴，设两个平面的夹角为（为锐角），则，故，故.
∴平面与平面的夹角的正切值是，故D正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查空间角的计算，一般根据几何体的特征合理建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量、平面的法向量的夹角来计算空间角的大小，本题属于中档题.
8．正方体的棱长为，，，分别为，，的中点．则(    )

A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等
【答案】BC
【分析】对于A，利用线线平行，将与的位置关系转换为判断与的位置关系；
对于B，作出辅助线：取的中点，连接、，然后利用面面平行判断；
对于C，把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积判断；
对于D，利用反证法判断．
【详解】对于A，因为，若，则，从图中可以看出，与相交，但不垂直，所以A错误；
对于B，如图所示，取的中点，连接、，则有，，

∵，，∴平面∥平面．
又∵平面，∴∥平面，故选项B正确；
对于C，如图所示，连接，，延长，交于点，

∵，分别为，的中点，∴，
∴、、、四点共面，∴截面即为梯形．
∵，∴，即，∴
又，∴即，，
∴等腰△的高，梯形的高为，
∴梯形的面积为，故选项C正确；
对于D，假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，
连接交于，而不是中点，则假设不成立，故D错．
故选：BC﹒
9．已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD相交于点O．将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是（    ）
A．BD⊥CM
B．存在一个位置，使△CDM为等边三角形
C．DM与BC不可能垂直
D．直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°
【答案】ABD
【解析】画出图形，利用直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系判断选项的正误即可．
【详解】对A，菱形中，，与相交于点．将沿折起，使顶点至点，如图：取的中点，连接，，可知，，所以平面，可知，故A正确；
对B，由题意可知，三棱锥是正四面体时，为等边三角形，故B正确；
对C，三棱锥是正四面体时，与垂直，故C不正确；
对D，平面与平面垂直时，直线与平面所成的角的最大值为，故D正确．
故选：ABD．

【点睛】本题考查空间几何体的直线与直线、直线与平面的位置关系的综合判断、命题的真假的判断，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．
10．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是（    ）.

A．当为线段的中点时，平面
B．当为线段的三等分点时，平面
C．在线段的延长线上，存在一点，使得平面
D．不存在点，使与平面垂直
【答案】ABC
【分析】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，假设平面，且，得到，则与共线，研究是否有解即可.
【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、
轴、轴建立空间直角坐标系，
则由，，，，
，，所以，
，，.
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
所以平面的一个法向量为.
假设平面，且，
则.
因为也是平面的法向量，
所以与共线，
所以成立，
但此方程关于无解.
因此不存在点，使与平面垂直，
故选：ABC.

【点睛】本题主要考查空间向量的立体几何中的应用，属于中档题.

三、填空题
11．在棱长为1正方体中，为线段的中点，则到平面的距离为______；
【答案】
【分析】以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量，再利用点到面的距离公式求解即可.
【详解】解：以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

则，
，
设面的一个法向量为，
则，当，面的一个法向量为，
则到平面的距离.
故答案为：
【点睛】本题考查空间向量法求点到面的距离，考查学生计算能力，是基础题.
12．如图，在长方体中，，点为线段上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的__________．

①当时，∥平面；②当时，平面；
③的最大值为；④的最小值为.
【答案】①②
【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间向量逐个验证即可
【详解】解：以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，
设，.
对于①，当，即，解得，
，设平面的法向量为，则由，
解得，由于，所以∥平面成立.
对于②，当时，即，解得，
由，可知平面成立.
对于③，设，即，解得，
由，其分子化简得，当时，，故的最大值可以为钝角，③错误.
对于④，根据③计算的数据， ，
，在对称轴，
即时取得最小值为，故④错误.
故答案为：①②

【点睛】此题考查线面平行、线面垂直，考查了向量的夹角，考查计算能力，属于中档题.

03 解答题
一、解答题
1．如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，

（1）求证：CF∥平面A1DE；
（2）求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CF∥平面A1DE．
（2）求出平面A1DE的法向量和平面A1DA的法向量，利用向量法能求出平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．
【详解】证明：（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2），
则，
设平面A1DE的法向量是
则，取，
∴
所以CF∥平面A1DE．
解：（2）是面A1DA的法向量，
∴
即平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值为．
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
2．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：

（1）、、、四点共面，、、、四点共面；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）证明出、、为共面向量，结合、、有公共点可证得、、、四点共面，同理可证得、、、四点共面；
（2）证得，再由和无公共点可证得．
【详解】（1）因为，所以，、、为共面向量，
因为、、有公共点，故、、、四点共面，
因为，则、、为共面向量，
因为、、有公共点，故、、、四点共面；
（2），，，

，，
因为、无公共点，故.
3．如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，侧棱，D、E分别是和的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面ADE的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明，然后可证；
（2）求出法向量，然后根据点到平面的距离向量公式可得.
【详解】（1）易知、、两两垂直，于是如图建立空间直角坐标系
则、、、、、
所以、、、、
因为，
所以
又因为平面，平面
所以平面
又平面
所以平面平面

（2）设平面的法向量为
则，取得
则点到平面ADE的距离
4．如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，三角形ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1为等腰梯形，且A1C1=AA1=1，D为A1C1的中点.

(1)证明：AC⊥BD；
(2)求直线AA1与平面BB1C1C所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据线面垂直即可求证线线垂直，
（2）根据空间向量的夹角即可求解线面角.
【详解】（1）证明：如图，作AC的中点M，连接DM，BM，
在等腰梯形ACC1A1中，D，M为A1C1，AC的中点，∴AC⊥DM，
在正三角形ABC中，M为AC的中点，∴AC⊥BM，
∵AC⊥DM，AC⊥BM，，DM，BM平面，
∴AC⊥平面，又BD平面，
∴AC⊥BD.
（2）∵AC⊥平面BDM，以M为坐标原点，以，，，分别为，，，轴正向，如图建立空间直角坐标系，

，，，D，C1，，
设平面的法向量为，，=，
则有，即，
则可取，又
设直线与平面所成角为，则
∴直线与平面所成角正弦值为，
5．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为线段的中点，为线段上的一点.

（1）证明：平面平面.
（2）若，二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）由得平面PAE，进而可得证；
（2）先证得平面，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面的法向量为和，设与平面所成角为，则，代入计算即可得解.
【详解】（1）证明：连接，因为，为线段的中点，
所以.
又，，所以为等边三角形，.
因为，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：设，则，因为，所以，
同理可证，所以平面.
如图，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.
易知为二面角的平面角，所以，从而.
由，得.
又由，，知，.
设平面的法向量为，
由，，得，不妨设，得.
又，，所以.
设与平面所成角为，则.
所以与平面所成角的正弦值为.

【点睛】用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
6．如图，四边形为矩形，为的中点，，沿将折起到点的位置，使．

（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）若要证面面垂直，即平面平面，只要证平面内的一条直线垂直于平面，即可得解；
（2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量夹角的余弦值，取正即可得解.
【详解】（1）证明：如图，取的中点，的中点，连结，，，
则，∴，∵，∴．
又，∴平面，则，
∵为的中点，，
∴，则，
∵，是平面的相交直线，∴平面，
又平面，∴平面平面．
（2）在平面内，过点作，则为原点，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

由题设知， ，，，，
∴，，
设平面的法向量为，
由，得，
取，则，，
∴平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
∵，
∴，
即直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】本题考查了面面垂直的证明，考查了利用空间直角坐标系求线面角，考查了逻辑推理能力和空间感，是立体几何中的常规题，属于中档题.
7．《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上.

（1）若P为的中点，求证：平面.
（2）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.
【分析】（1）取的中点H，连接PH，HC.，利用中位线定理证明四边形PHCN为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，设，其中，，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式列出等式，求解即可得到答案．
【详解】解析（1）证明：取的中点H，连接PH，HC.
在堑堵中，四边形为平行四边形，
所以且.
在中，P，H分别为，的中点，
所以且.
因为N为BC的中点，所以，
从而且，
所以四边形PHCN为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.

（2）以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x轴､y轴､z轴，建立空间直角坐标系，则，，，.
易知平面ABC的一个法向量为.
假设满足条件的点P存在，令，
则，.
设平面PMN的一个法向量是，
则即
令，得，，
所以.
由题意得，解得，故点P不在线段上.

【点睛】方法点睛：利用空间直角坐标系求二面角具体做法：
1. 设分别设出两个平面的法向量,n1=(x1, y1, z1); n2=(x2, y2, z2)
2. 求出平面内线段所在直线的向量式（每个平面求出两个向量）
3. 利用法向量垂直平面,即垂直平面内所有直线,建立方程组（3元一次方程组,仅两个方程）
（1）建立的条件是,两个相互垂直的向量,乘积为0
（2）由于法向量有3个未知数,我们通常只用建立两个方程组成的方程组.
（3）赋值：即是赋予法向量的三个未知数中的某一个一个确实的代数值,
4.利用空间向量数量积求得两个法向量的余弦值.
5. 判断范围,注意正负取值.
8．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点分别为的中点，且.

(1)若，求直线与平面所成角的正弦值；
(2)若直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，从而求得平面的法向量与，由此可求得直线与平面所成角的正弦值；
（2）设，从而分别求得平面与平面的法向量与及，从而由题意条件求得，进而可求得平面与平面的夹角的余弦值的取值范围.
【详解】（1）因为，则，即，
又因为平面，所以，
故建立如图所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，故，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
.
（2）设，则，故，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，故，
易得平面的一个法向量为，又，
设直线与平面所成角为，则，
即，解得，
设平面与平面的夹角为，则，
因为，所以，则，故，即.
所以平面与平面的夹角的余弦值的取值范围为.
9．如图1，在平面四边形中，∥，，将沿翻折到的位置，使得平面⊥平面，如图2所示.

(1)设平面与平面的交线为，求证：；
(2)在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角的余弦值为，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析.

【分析】（1）找出交线，利用面面垂直，线面垂直的性质即可证明；
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，利用法向量进行分析求解.
【详解】（1）证明:延长相交于点，连接，
则为平面与平面的交线，
由平面⊥平面，，平面，
且平面平面，所以平面，
又由∥，所以平面，
因为平面，所以，所以，
（2）由（1）知：，
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，

可得，
则，
设（其中），
则，所以，
设平面QBD的法向量为，
则，
令，可得，所以，
又由平面，所以平面的一个法向量为
则，
解得，
所以存在点为的中点时，使得二面角的余弦值为.