单元复习06 空间向量与立体几何【过知识】（课件）-2022-2023学年高二数学单元复习（苏教版2019选择性必修第二册）

这是一份单元复习06 空间向量与立体几何【过知识】（课件）-2022-2023学年高二数学单元复习（苏教版2019选择性必修第二册），共46页。PPT课件主要包含了知识点归纳，题型探究，答案CD，答案C，空间距离的计算思路，变式训练3，答案B，课后练习，设正方体的棱长为1等内容，欢迎下载使用。

1．空间向量的有关概念
2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb．(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．
(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
②两向量的数量积已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．
4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
5．空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．
(3)空间位置关系的向量表示
1.空间向量可以看作是平面向量的推广,有许多概念和运算与平面向量是相同的,如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念,加法的三角形法则和平行四边形法则,减法的几何意义,数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等;向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础.
2.向量的运算过程较为繁杂,要注意培养数学运算能力.
【例1】 (多选题)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD 是边长为1的正方形,S到A,B,C,D的距离都等于2.下列选项中正确的是(　　)
规律方法　空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件(1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的.(2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面,特别地,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序
变式训练1在空间直角坐标系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足 ,则P点坐标为(　　)A.(3,0,0)B.(0,3,0)C.(0,0,3)D.(0,0,-3)
1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直;判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量、向量的共线和垂直进行证明.2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系,可以培养逻辑思维能力和数学运算能力.
【例2】 在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点.(1)求证:BM∥平面PAD;(2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD?若存在,确定点N的位置;若不存在,说明理由.
(1)证明 以A为原点,以AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),M(1,1,1),
规律方法　利用空间向量证明或求解立体几何问题时,首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为坐标运算,再借助于向量的有关性质求解(证).
变式训练2在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.(1)求证:AC⊥BC1;(2)请说明在AB上是否存在点E,使得AC1∥平面CEB1.
(1)证明 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为AC=3,BC=4,AB=5,所以AC,BC,CC1两两垂直,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC1分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4).
(2)设平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,则点P到平面α的距离为 (如图).
【例3】 在三棱锥B-ACD中,平面ABD⊥平面ACD,若棱长AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求点D到平面ABC的距离.
解 如图所示,以AD的中点O为原点,以OD,OC所在直线为x轴、y轴,过O作OM⊥平面ACD交AB于点M,以直线OM为z轴建立空间直角坐标系,
设n=(x,y,z)为平面ABC的一个法向量,
规律方法　利用向量法求点面距,只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量,代入公式求解即可.
解析 以点A为原点,分别以直线AB,AD,AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图,易知A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),
空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2,则l1与l2的夹角θ满足cs θ=|cs|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m,n,则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ=|cs|.(3)设n1,n2分别是两个平面α,β的法向量,则两平面α,β的夹角θ满足cs θ=|cs|.
【例4】 如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.(1)求证:GF∥平面ADE;(2)求平面AEF与平面BEC夹角的余弦值.
(1)证明 如图,取AE的中点H,连接HG,HD,因为G是BE的中点,所以GH∥AB,且GH= AB.又F是CD的中点,所以DF= CD.由四边形ABCD是矩形,得AB∥CD,AB=CD,所以GH∥DF,且GH=DF,从而四边形HGFD是平行四边形,所以GF∥DH.又DH⊂平面ADE,GF⊄平面ADE,所以GF∥平面ADE.
(2)解 如图,在平面BEC内,过B点作BQ∥EC.因为BE⊥CE,所以BQ⊥BE.又因为AB⊥平面BEC,所以AB⊥BE,AB⊥BQ.以B为原点,分别以BE,BQ,BA所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1).
因为AB⊥平面BEC,所以 =(0,0,2)为平面BEC的法向量.设n=(x,y,z)为平面AEF的法向量.
规律方法　1.在建立空间直角坐标系的过程中,一定要依据题目所给几何图形的特征,建立合理的空间直角坐标系,这样才会容易求得解题时需要的坐标.2.直线和平面所成的角、两个平面的夹角类问题有两种解题思路:转化为两条直线所成的角、利用平面的法向量.
1.已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，则使a⊥b成立的x与使a∥b成立的x分别为
2.已知向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A(－1,2,1)在α内，则点P(1,2,2)到平面α的距离为
3.已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2).(1)求|2a＋b|；
解　2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
解析　因为点D在平面Oyz内，所以点D的横坐标为0，又BC＝4，原点O是BC的中点，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，
纵坐标y＝－(2－4·sin 30°·cs 60°)＝－1，
5.已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_____.
解析　如图，建立空间直角坐标系.
平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，设平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z).
取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3).