中考数学二轮专题第10讲 垂直问题专题(教师版)

这是一份中考数学二轮专题第10讲 垂直问题专题(教师版)，共21页。

一线三垂直
如图1：若错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。
如图2：若错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。

图1 图2


射影定理
如图3/4：错误！未找到引用源。中，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，则有如下结论成立：
（1） 三条直角边看成竹竿，最长斜边AB看成地面；
（2） 三竹竿的平方等于各自的两个地面影子之积；
（3） 巧记：每条竹竿平方等于地面上的点出发的两条线段之积.
AC2=AD·AB
CD2=DA·DB
CB2=BD·BA

图3 图4




构造“一线三直角”
（1）如图1/2/3：过错误！未找到引用源。的直角顶点，作一条直线错误！未找到引用源。，再分别过点A,C向其作垂线，垂足分别为点D、E，则截有结论成立：错误！未找到引用源。

图1 图2 图3
（2）在平面直角坐标系中，常常化斜为直，作“横平竖直辅助线”构造三角形相似，如图4，当见到AB⊥CD时，若过A、B、C、D四个顶点作“水平线”与“竖直线”，则有错误！未找到引用源。

图4
（3）除上述“三垂直相似”外，如图5，当见到矩形ABCD中，EF⊥HG这种“十字架垂直”时，分别过E、H作“水平线”与“竖直线”，则有错误！未找到引用源。，若正方形，则相似变为全等.

图5







【例题1】将矩形OABC如图放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是______.

【解析】如图：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，
过点C作CM⊥x轴于点M，
∵∠EAO+∠AOE＝90°，∠AOE+∠MOC＝90°，
∴∠EAO＝∠COM，
又∵∠AEO＝∠CMO，
∴∠AEO∽△COM，
∴＝＝，
∵∠BAN+∠OAN＝90°，∠EAO+∠OAN＝90°，
∴∠BAN＝∠EAO＝∠COM，
在△ABN和△OCM中
，
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN＝CM，
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，
∴BN＝，
∴CM＝，
∴MO＝3，
∴点C的坐标是：（3，）．






【例题2】如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，∠A＝30°，则k的值为　　．

【解析】过A作AN⊥x轴于N，过B作BM⊥x轴于M．
∵第一象限内的点A在反比例函数y的图象上，
∴设A（x，）（x＞0），ON•AN＝1．
∵∠A＝30°，
∴tan∠A＝＝，
∵OA⊥OB，
∴∠BMO＝∠ANO＝∠AOB＝90°，
∴∠MBO+∠BOM＝90°，∠MOB+∠AON＝90°，
∴∠MBO＝∠AON，
∴△MBO∽△NOA，＝＝＝，
∴BM＝ON，OM＝AN．
又∵第二象限的点B在反比例函数y＝上，
∴k＝﹣OM•BM＝﹣ON×AN＝﹣．
故答案为﹣．













【例题3】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝，OC＝，则另一直角边BC的长为　　．

【解析】过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M，作ON⊥BC于点N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠AOB＝90°，
∵∠MON＝∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
在△AOM和△BON中，

∴△OMA≌△ONB，
∴OM＝ON，MA＝NB．
∴O点在∠ACB的平分线上，
∴△OCM为等腰直角三角形．
法2：过点D作CB延长线的垂线，垂足为F，连接OF，构造一线三直角计算。
∵OC＝，
∴CM＝ON＝1．
∴MA＝CM﹣AC＝1﹣＝，
∴BC＝CN+NB＝1+＝．
故答案为：．


【例题4】在平面直角坐标系中，点A（1,3）B（2，-1），在一次函数错误！未找到引用源。的图像上是否存在点P，使得∠APB=90°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】两种解法，答案为错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。


【例题5】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．

【解析】根据勾股定理得：BA＝；
（1）分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，，
∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，
∴，解得，t＝1，
②当△BPQ∽△BCA时，，
∴，解得，t＝；
∴t＝1或时，△BPQ∽△BCA；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：
则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM，
∵∠ACQ＝∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴，解得t＝．






1. 如图，抛物线y＝﹣与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求点A、点B、点C的坐标；
（2）求直线BD的解析式；
（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；
（4）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）∵令x＝0得；y＝2，
∴C（0，2）．
∵令y＝0得：﹣＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4．
∴A（﹣1，0），B（4，0）．

（2）∵点C与点D关于x轴对称，∴D（0，﹣2）．
设直线BD的解析式为y＝kx﹣2．
∵将（4，0）代入得：4k﹣2＝0，∴k＝．
∴直线BD的解析式为y＝x﹣2．
（3）如图1所示：
∵QM∥DC，
∴当QM＝CD时，四边形CQMD是平行四边形．
设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），则M（m，m﹣2），
∴﹣m2+m+2﹣（m﹣2）＝4，
解得：m＝2，m＝0（不合题意，舍去），
∴当m＝2时，四边形CQMD是平行四边形；

（4）存在，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），
∵△BDQ是以BD为直角边的直角三角形，
∴①当∠QBD＝90°时，由勾股定理得：BQ2+BD2＝DQ2，
即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2+20＝m2+（﹣m2+m+2+2）2，
解得：m＝3，m＝4（不合题意，舍去），
∴Q（3，2）；
②当∠QDB＝90°时，由勾股定理得：BQ2＝BD2+DQ2，
即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2＝20+m2+（﹣m2+m+2+2）2，
解得：m＝8，m＝﹣1，
∴Q（8，﹣18），（﹣1，0），
综上所述：点Q的坐标为（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．

2. 如图1，对称轴为直线x＝的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）由对称性得：A（﹣1，0），
设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2），
把C（0，4）代入：4＝﹣2a，
a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x+1）（x﹣2），
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；
（2）如图1，设点P（m，﹣2m2+2m+4），过P作PD⊥x轴，垂足为D，
∴S＝S梯形+S△PDB＝m（﹣2m2+2m+4+4）+（﹣2m2+2m+4）（2﹣m），
S＝﹣2m2+4m+4＝﹣2（m﹣1）2+6，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，则S大＝6；
（3）存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形，
理由是：
分以下两种情况：
①当∠BQM＝90°时，如图2：
∵∠CMQ＞90°，
∴只能CM＝MQ．
设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把B（2，0）、C（0，4）代入得：，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣2x+4，
设M（m，﹣2m+4），
则MQ＝﹣2m+4，OQ＝m，BQ＝2﹣m，
在Rt△OBC中，BC＝＝＝2，
∵MQ∥OC，∴△BMQ∽△BCO，
∴，即，
∴BM＝（2﹣m）＝2﹣m，
∴CM＝BC﹣BM＝2﹣（2﹣m）＝m，
∵CM＝MQ，
∴﹣2m+4＝m，m＝＝4﹣8．
∴Q（4﹣8，0）．
②解法一：当∠QMB＝90°时，如图3，
由①得：QM＝CM＝m，BM＝2﹣m，
∵△QMB∽△COB，∴，
∴＝＝，
∴m＝，∴QB＝，∴OQ＝﹣2＝，∴Q（﹣，0）．
解法二：当∠QMB＝90°时，如图4，过M作MF⊥OB于F，
由①得：QM＝CM＝m，
设Q（n，0），
则QF＝m﹣n，MF＝﹣2m+4，
∵△MQF∽△BCO，
∴，∴＝＝，∴，∴Q（﹣，0）．
综上所述，Q点坐标为（4﹣8，0）或（﹣，0）．


3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC＝∠BDF．

【解析】证明：作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，如图所示：
∵∠CBG＝90°，CF⊥AD，
∴∠CAD+∠ADC＝∠BCG+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠BCG，
在△ACD和△CBG中，
，
∴△ACD≌△CBG（ASA），
∴CD＝BG，∠CDA＝∠CGB，
∵CD＝BD，
∴BG＝BD，
∵∠ABC＝45°，
∴∠FBD＝∠GBF＝∠CBG，
在△BFG和△BFD中，
，
∴△BFG≌△BFD（SAS），
∴∠FGB＝∠FDB，
∴∠ADC＝∠BDF．



4. 如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）在y轴上，点B（b，0）是x轴上一动点，且﹣4＜b＜0，△ABC是以AB为直角边，B为直角顶点的等腰直角三角形．
（1）求点C的坐标（用含b的式子表示）；
（2）以x轴为对称轴，作点C的对称点C′，连接BC′、AC′，请把图形补充完整，并求出△ABC′的面积（用含b的式子表示）；
（3）点B在运动过程中，∠OAC′的度数是否发生变化，若变化请说明理由；若不变化，请直接写出∠OAC′的度数．

【解析】（1）如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠ABE+∠CBE＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠ABE＝∠BCE，且AB＝BC，∠AOB＝∠BEC＝90°，
∴△ABO≌△BCE（AAS）
∴BO＝CE，AO＝BE，
∵点A（0，4），点B（b，0），且﹣4＜b＜0，
∴BE＝OA＝4，BO＝EC＝﹣b，
∴OE＝4+b
∴点C坐标（4+b，b）
（2）根据题意画出图形，如下图，
∵点C与点C'关于x轴对称，
∴点C'（4+b，﹣b），C'C⊥x轴，
∵S△ABC'＝S△ABO+S梯形AOEC'﹣S△BEC'＝×（﹣b）×4+×（4﹣b）（4+b）﹣×4×（﹣b），
∴S△ABC'＝8﹣b2，
（3）点B在运动过程中，∠OAC′的度数不发生变化，
理由如下：如图，过点A作AF⊥EC'，垂足为F，
∵AF⊥EC'，EC'⊥BE，AO⊥OE，
∴四边形AOEF是矩形，
∴AO＝EF＝4，OE＝AF＝4+b，
∵C'F＝EF﹣EC'＝4﹣（﹣b）＝4+b，
∴AF＝C'F，且∠AFE＝90°，
∴∠FAC'＝45°，且∠OAF＝90°，
∴∠OAC'＝45°

5. 如图，△ACB为等腰直角三角形，A（﹣1，0），C（1，3），AC⊥BC，求B点坐标．

【解析】如图，过点C作直线l∥x轴，作AE⊥l于E，BF⊥l于F．
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠AEC＝∠ACB＝∠BFC＝90°，
∴∠ACE+∠EAC＝90°，∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠EAC＝∠BCF，
∴△AEC≌△CFB，
∴AE＝CF＝3，BF＝EC＝2，
∴B（4，1）．

6. 在正方形ABCD中，点H，E，F分别在边AB，BC，CD上，AE⊥HF于点G．
（1）如图1，求证：AE＝HF；
（2）如图2，延长FH，交CB的延长线于M，连接AC，交HF于N．若MB＝BE，EC＝2BE，求的值；
（3）如图3，若AB＝2，BH＝DF，将线段HF绕点F顺时针旋转90°至线段MF，连接AM，则线段AM的最小值为　　．（直接写出结果）

【解析】（1）证明：如图1中，作HM⊥CD于M．
∴四边形ABC都是正方形，
∴∠B＝∠C＝∠CMH＝90°，AB＝BC，
∴四边形BCMH是矩形，
∴HM＝BC＝AB，
∵AE⊥HF，
∴∠AGH＝∠AHM＝90°，
∴∠BAE+∠AHG＝90°，∠AHG+∠FHM＝90°，
∴∠BAE＝∠FHM，∵∠B＝∠HMF＝90°，
∴△ABE≌△HMF（ASA），
∴AE＝HF．
（2）解：如图2中，
∵EC＝2BE，不妨设BE＝BM＝a，EC＝2a，则AB＝BC＝CD＝3a，CM＝4a，
∴tan∠BAE＝＝，
∵ABE＝∠MGE＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠M+∠AEB＝90°，
∴∠M＝∠BAE，
∴tan＝，
∴BH＝a，CF＝a，
∴AH＝AB﹣BH＝3a﹣a＝a，
∴CF∥AH，
∴△ANH∽△CNF，
∴＝＝＝2．

（3）解：如图3中，延长BA到N，使得AN＝AD，作MJ⊥AN于J，交CD的延长线于K，作FQ⊥AB于Q，则四边形BCFQ，四边形ADKJ都是矩形，△FQH≌△FKM（AAS）．
∴QK＝KM，DF＝AQ＝BH，
∵KJ＝AD＝AB，
∴JM＝AQ+BH＝2AQ，
∵FK＝FQ＝JQ＝AD＝AN，
∴AQ＝JN，
∴JM＝2JN，
∴tan∠N＝＝2，
∴点M的运动轨迹是射线NM，∠N是的定值，作AP⊥MN于P，
根据垂线段最短可知：当AM与AP重合时，AM的值最小，
∵tan∠N＝＝2，设NP＝x，AP＝2x，
在Rt△APN中，则有22＝x2+4x2，
解得x＝（负根已经舍弃），
∴PA＝2x＝，
∴AM的最小值为．



7. （2019•武汉模拟）（1）如图1，已知DB⊥BC，AC⊥BC，垂足分别为点B，C，AE⊥CD于点F，求证：；
（2）在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD于F点
①如图2，若∠ACB＝90°，tanB＝，且AE＝2CD，求的值；
②如图3，若∠ACB≠90°，tanB＝2，且AE＝2CD．求的值．

【解析】（1）证明：∵DB⊥BC，AC⊥BC，
∴∠B＝∠ACE＝90°，
∵AE⊥CD，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴△AEC∽△CDB，
∴；

（2）解：①如图2，过点D作DH⊥BC于H，
由（1）知，△AEC∽△CDH，
∴＝＝＝2，
在Rt△BDE中，tan∠B＝＝，
设BH＝3a，则DH＝5a，
∴EC＝2DH＝10a，
设HE＝b，
则CH＝CE+HE＝10a+b，
∴AC＝2CH＝20a+2b，
在Rt△ABC中，tan∠B＝＝，
∴＝，
整理，得，b＝5a，
∴CH＝15a，
∵DH⊥BC，AC⊥BC，
∴∠DHB＝∠ACB＝90°，
∴DH∥AC，
∴＝＝＝5；

②如图3，过点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥BC于N，
则∠ANE＝∠CMD＝90°，
∵AE⊥CD，
∴∠FCE+∠FEC＝90°
∵∠EAN+∠FEC＝90°，
∴∠FCE＝∠EAN，
∴△AEN∽△CDM，
∴＝＝2，
在Rt△ABN中，
tan∠B＝＝2，
∴CM＝BN，
∴BM＝CN，
设BM＝CN＝x，
则DM＝2x，
在Rt△DBM中，
BD＝＝x，
∵＝＝2，
∴EN＝2DM＝4x，
∴CE＝EN+CN＝5x，
∴＝＝．















8. 已知在平面直角坐标中，点A（m，n）在第一象限内，AB⊥OA且AB＝OA，反比例函数y＝的图象经过点A，
（1）当点B的坐标为（4，0）时（如图），求这个反比例函数的解析式；
（2）当点B在反比例函数y＝的图象上，且在点A的右侧时（如图2），用含字母m，n的代数式表示点B的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，求的值．

【解析】（1）过A作AC⊥OB，交x轴于点C，
∵OA＝AB，∠OAB＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AC＝OC＝BC＝OB＝2，
∴A（2，2），
将x＝2，y＝2代入反比例解析式得：2＝，即k＝4，
则反比例解析式为y＝；

（2）过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAE+∠BAD＝90°，
∵∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠BAD＝∠AOE，
在△AOE和△BAD中，
，
∴△AOE≌△BAD（AAS），
∴AE＝BD＝n，OE＝AD＝m，
∴DE＝AE﹣AD＝n﹣m，OE+BD＝m+n，
则B（m+n，n﹣m）；

（3）由A与B都在反比例图象上，得到mn＝（m+n）（n﹣m），
整理得：n2﹣m2＝mn，即（）2+﹣1＝0，
这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∵△＝1+4＝5，
∴＝，
∵A（m，n）在第一象限，
∴m＞0，n＞0，
则＝．

9. 如图，直线y＝kx与双曲线y＝﹣交于A、B两点，点C为第三象限内一点．
（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值；
（2）当k＝﹣，且CA＝CB，∠ACB＝90°时，求C点的坐标；
（3）当△ABC为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式．

【解析】（1）由于点A在反比例函数图象上，
所以3＝﹣，解得a＝﹣2；
（2）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴OC＝AB＝OA，∠AOC＝90°
∵∠AOD+∠COE＝90°，∠COE+∠OCE＝90°，
∴∠OCE＝∠DOA
在△ADO和△OEC中

∴△ADO≌△OEC，
∴CE＝OD，OE＝AD
由k＝﹣时，∴y＝﹣x，
∵点A是直线 y＝kx与双曲线y＝﹣的交点，所以，解得x＝±2，y＝±3
∴A点坐标为（﹣2，3），
∴CE＝OD＝3，EO＝DA＝2，
所以C（﹣3，﹣2）
（3）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，
∵反比例函数和正比例函数都是中心对称图形，它们都关于原点对称，
∴OA＝OB
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∵∠AOD+∠DAO＝90°，∠COE+∠BOE＝90°，
∠DOA＝∠BOE
∴∠DAO＝∠COE
∴△ADO∽△OEC，
∴＝＝
由于∠ACO＝30°，
tan∠ACO＝＝
因为C的坐标为（m，n），
所以CE＝﹣m，OE＝﹣n，
∴AD＝﹣n，OD＝﹣m，
所以A（n，﹣m），代入y＝﹣中，
得mn＝18


10.（2019•扬州一模）有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．
（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A为智慧角，则∠B的度数为　45°　；
（2）如图①，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形；
（3）如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A（3，0），点B，C在函数y＝（x＞0）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当△ABC是直角三角形时，求k的值．

【解析】（1）如图1，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A是智慧角，
∴AB＝AC，
根据根据勾股定理得，BC＝AC，
∴∠B＝∠A＝45°，
故答案为45°；
（2）如图2，过点C作CD⊥AB于点D．
在Rt△ACD中，∠A＝45°，
∴AC＝DC．
在Rt△BCD中，∠B＝30°，
∴BC＝2DC．∴＝．
∴△ABC是智慧三角形．
（3）由题意可知∠ABC＝90°或∠BAC＝90°．
①当∠ABC＝90°时，如图3，
过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥EB交EB延长线于点F，过点C作CG⊥x轴于点G，则∠AEB＝∠F＝∠ABC＝90°．
∴∠BCF+∠CBF＝∠ABE+∠CBF＝90°．
∴∠BCF＝∠ABE．
∴△BCF∽△ABE．
∴＝＝＝．
设AE＝a，则BF＝a．
∵BE＝，
∴CF＝2．
∵OG＝OA+AE﹣GE＝3+a﹣2＝1+a，CG＝EF＝+a，
∴B（3+a，），C（1+a，+a）．
∵点B，C在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴（3+a）＝（1+a）（+a）＝k．解得：a1＝1，a2＝﹣2（舍去）．
∴k＝．
②当∠BAC＝90°时，如图4，过点C作CM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N．
则∠CMA＝∠CAB＝∠ANB＝90°．
∴∠MCA+∠CAM＝∠BAN+∠CAM＝90°．
∴∠MCA＝∠BAN．
由（1）知∠B＝45°．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴AC＝AB．
由①知△MAC∽△NBA．
∴△MAC≌△NBA（AAS）．
∴AM＝BN＝．
设CM＝AN＝b，则ON＝3+b．
∴B（3+b，），C（3﹣，b）．
∵点B，C在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴（3+b）＝（3﹣）b＝k．解得：b＝9+12．
∴k＝18+15．
综上所述，k＝4或18+15．
11. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；
（2）点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）将A，B的坐标代入函数解析式，得
，解得，
抛物线y的函数表达式y＝﹣2x2﹣4x+6，
当x＝0时，y＝6，即C（0，6）；
（2）由MA＝MB＝MC，得
M点在AB的垂直平分线上，M在AC的垂直平分线上，
设M（﹣1，x），
MA＝MC，得
（﹣1+3）2+x2＝（x﹣6）2+（﹣1﹣0）2，解得x＝
∴若MA＝MB＝MC，点M的坐标为（﹣1，）；
（3）①过点A作DA⊥AC交y轴于点F，交CB的延长线于点D，
如图1，
∵∠ACO+∠CAO＝90°，∠DAO+∠CAO＝90°，∠ACO+∠AFO＝90°
∴∠DAO＝∠ACO，∠CAO＝AFO
∴△AOF∽△COA
∴＝
∴AO2＝OC×OF
∵OA＝3，OC＝6
∴OF＝＝
∴
∵A（﹣6，0），F（0，﹣）
∴直线AF的解析式为：，
∵B（1，0），（0，6），
∴直线BC的解析式为：y＝﹣6x+6
∴，解得
∴
∴
∴tan∠ACB＝
∵4tan∠ABE＝11tan∠ACB
∴tan∠ABE＝2
过点A作AM⊥x轴，连接BM交抛物线于点E
∵AB＝4，tan∠ABE＝2
∴AM＝8
∴M（﹣3，8），
∵B（1，0），（﹣3，8）
∴直线BM的解析式为：y＝﹣2x+2，
联立BM与抛物线，得
∴，解得x＝﹣2或x＝1（舍去）
∴y＝6
∴E（﹣2，6）
②当点E在x轴下方时，如图2，
过点E作EG⊥AB，连接BE，设点E（m，﹣2m2﹣4m+6）
∴tan∠ABE＝＝2
∴m＝﹣4或m＝1（舍去）
可得E（﹣4，﹣10），
综上所述：E点坐标为（﹣2，6），（﹣4，﹣10）．