专题05 解三角形在几何与实际中的应用（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

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专题05 解三角形在几何与实际中的应用





知识点1 三角形中的最值范围问题处理方法
1、利用基本不等式求最值-化角为边
余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。
2、转为三角函数求最值-化边为角
如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。
要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。
知识点2 边化角与角化边的变换原则
在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
知识点3 实际测量中的有关名称、术语
1、仰角与俯角：（1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
（2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角

2、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角
（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°）

3、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角

知识点4 利用解三角形解决实际问题的方法步骤
1、实际问题的解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解。
2、应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤
（1）分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图；
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型中；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；
（4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。

考点1 角度与三角值的最值范围

【例1】（2023春·云南·高一校联考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．


【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）在锐角中，角的对边分别为，.则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．


【变式1-2】（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）若的内角，，满足，则的最大值为______.


【变式1-3】（2023春·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）的内角、、的对边分别为、、，若．
（1）求角的大小；
（2）若角为锐角，求的取值范围．


考点2 边长与周长的最值范围

【例2】（2023春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）平面四边形ABCD中，，，则边AB长度的取值范围是________．


【变式2-1】（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，满足
（1）求角；
（2）若角的平分线交于点，且，求的最小值.


【变式2-2】（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．


【变式2-3】（2023春·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在锐角中，分别是角所对的边，，且.
（1）求；
（2）若周长的范围


考点3 面积的最值范围

【例3】（2023·高一课时练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．若的外接圆的面积为，则三角形面积的取值范围是____________．


【变式3-1】（2023春·山西·高一统考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且．
（1）若，求角的值；
（2）若外接圆的周长为，求面积的取值范围．


【变式3-2】（2022春·广东肇庆·高一统考期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，求△ABC面积的最大值．


【变式3-3】（2022春·浙江绍兴·高一统考期末）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c（是常数），D是AB的中点．
（1）若，求的值；
（2）若且，求cosA的值；
（3）若时，求△BCD面积的最大值．


【变式3-4】（2022春·河南新乡·高一新乡市第一中学校考阶段练习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，并且.
（1）求b的值；
（2）若，求面积的取值范围.


考点4 三角形的中线问题

【例4】（2023·高一单元测试）在中，，则边上中线长度为______．


【变式4-1】（2022春·河南驻马店·高一统考期末）设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为的边BC上的中线，且，，，则______．


【变式4-2】（2023春·江苏南通·高一校考阶段练习）在中，，点D在边上，.

（1）若，求的值，
（2）若，且点D是边的中点，求的值.


【变式4-3】（2023春·湖南长沙·高一校联考阶段练习）在中,角的对边分别为,且满足.
（1）求角;
（2）若为边的中点,且,,求的周长.


【变式4-4】（2023春·浙江湖州·高一湖州中学校考阶段练习）在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P．
（1）求的长度；
（2）求的余弦值．


【变式4-5】（2022春·福建泉州·高一统考期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
三个内角的对应边分别为，且满足 ．
（1）求角B的大小；
（2）若D为边AC的中点，且，求中线BD长．
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分．


考点5 三角形的角平分线问题

【例5】（2022春·天津河北·高一统考期中）在 ABC中，，，∠A的角平分线AD的长为，则|AC|＝（ ）
A．2 B．3 C． D．


【变式5-1】（2023春·全国·高一专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求C；
（2）若a，b为方程的两个实数根，且C的角平分线交AB于点D，求CD．


【变式5-2】（2022春·山东·高一山东师范大学附中校考期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，．
（1）求角B的大小及外接圆的半径R的值；
（2）若AD是的内角平分线，当面积最大时，求AD的长．


【变式5-3】（2023春·全国·高一专题练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC．
（1）求角B的大小；
（2）若，角B的角平分线交AC于D，且BD＝1，求的周长．


【变式5-4】（2023春·全国·高一专题练习）已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，BD为∠ABC的角平分线．

（1）求证：；
（2）若且，求△ABC的面积．


考点6 三角形的垂线问题

【例6】（2023春·全国·高一专题练习）在中，角的对边分别为，，，，设边上的高为，则=（ ）
A． B． C． D．


【变式6-1】（2022春·海南省直辖县级单位·高一校考期末）在△ABC中，，，______．求BC边上的高．
①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．


【变式6-2】（2023春·全国·高一专题练习）已知向量，定义函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）在中，若，且是的边上的高，求长度的最大值.


【变式6-3】（2022春·全国·高一校联考阶段练习）已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，且.
（1）求角C；
（2）若，且AB边上的高为3，求边c.


考点7 多三角形问题

【例7】（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中学校联考阶段练习）如图，在平面四边形中，若，，，，．

（1）求B；
（2）求证：．


【变式7-1】（2023春·安徽合肥·高一校考阶段练习）如图，在梯形中，已知，，，，，求：

（1）的长；
（2）的面积．


【变式7-2】（2023春·湖南·高一衡阳市八中校联考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AC＝4，，BC⊥CD，E为AD的中点，AC与BE相交于点F．

（1）求△ACD的面积；
（2）求的值．


【变式7-3】（2022春·广东佛山·高一校考阶段练习）如图，四边形中，.

（1）求对角线BD的长：
（2）设，求的值，并求四边形的面积.


考点8 测量距离问题

【例8】（2023春·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度，已测得隧道两端的两点到某一点的距离分别是，及，则两点的距离为（ ）

A． B． C． D．


【变式8-1】（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，为了测定河两岸点与点间的距离，在点同侧的河岸选定点，测得，，，则点与点间的距离为__________m.



【变式8-2】（2023春·河南·高一校联考阶段练习）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里


【变式8-3】（2023春·河南·高一校联考阶段练习）小赵同学骑自行车从A地出发向东骑行了km到达B地，然后从B地向西偏南方向骑行了一段距离到达C地，再从C地向西偏北方向骑行了km到达D地，已知C地在A地东偏南方向上，则A地与D地之间的距离为（ ）
A．km B．km C．km D．km


考点9 测量高度问题
【例9】（2023春·全国·高一专题练习）国庆期间我校数学兴趣小组的同学开展了测量校园旗杆高度的活动，如图所示，在操场上选择了两点，在､处测得旗杆的仰角分别为.在水平面上测得且的距离为10米，则旗杆的高度为（ ）

A．5 B． C．10 D．


【变式9-1】（2023春·陕西西安·高一校考阶段练习）一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱高度，某人在喷水柱正西方向的处测得水柱顶端的仰角为，沿向北偏东方向前进后到达处，在处测得水柱顶端的仰角为，则水柱的高度是（ ）
A．25m B．50m C．60m D．75m


【变式9-2】（2023春·湖南·高一衡阳市八中校联考阶段练习）泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB，高约为50m，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端C处的仰角分别是45°和60°，在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为15°，则估算泰姬陵的高度CD为（ ）

A．75m B．m C．m D．80m


【变式9-3】（2023春·天津武清·高一校考阶段练习）如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m的M处（即），观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高___________m.



考点10 测量角度问题

【例10】（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中学校联考阶段练习）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离海里，灯塔C在A的北偏西，距离为海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，则__________．


【变式10-1】（2023春·陕西榆林·高一校考阶段练习）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角的大小．



【变式10-2】（2023春·江苏常州·高一校考阶段练习）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击

（1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里
（2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船


【变式10-3】（2023春·全国·高一专题练习）如图，甲船A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28海里/时的速度航行.

（1）求甲船用多少小时能尽快追上乙船；
（2）设甲船航行的方向为南偏东，求的正弦值.



1．（2023·全国·高一专题练习）在中，若，，则C的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）在非直角中，设角，，的对边分别为，，，若，是角的内角平分线，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·宁夏银川·高二校考期中）云台阁，位于镇江西津渡景区，云台阁坐落于云台山北峰，建筑形式具有宋､元古建特征.如图，小明同学为测量云台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，云台阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，则小明估算云台阁的高度为（ ）
（，，精确到1）

A．42 B．45 C．51 D．57
4．（2022春·贵州铜仁·高二统考期末）在中，若是边上的高，，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
5．（2023·高一单元测试）一艘海轮从处出发， 以每小时 40 海里的速度沿东偏南方向直线航行， 30 分钟后 到达 B 处．在 C 处有一座灯塔， 海轮在 A 处观察灯塔， 其方向是东偏南， 在 B 处观察 灯塔， 其方向是北偏东，那么 B、C 两点间的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
6．（2023春·河北石家庄·高一校联考阶段练习）如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸，的俯角分别为，，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（ ）

A．60 B． C．30 D．
7．（陕西省西安市2022-2023学年高一下学期3月阶段检测数学试题）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则的取值范围为______.
8．（2022秋·陕西西安·高二长安一中校考期中）某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高MN．现选择点A和另一座山顶点C作为测量观测点，从A测得点M的仰角，点C的仰角，测得，，已知另一座山高米，则山高___________米．

9．（2022春·广东广州·高一广州市第三中学校考阶段练习）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若，山坡对于地平面的坡度为θ，则等于___________.

10．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，，且．
（1）求角的大小；
（2）若的外接圆面积为，求边上的中线长．




11．（2023春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
（1）求角A；
（2）若，求△ABC周长的取值范围.




12．（2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）已知向量，函数.
（1）求函数的最大值及相应自变量的取值；
（2）在中，角的对边分别为，若，求的取值范围.




13．（2023春·全国·高一专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知B为锐角，且．
（1）求B；
（2）求的最大值．




14．（2023春·福建龙岩·高一福建省永定第一中学校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足．
（1）求角B的大小；
（2）若，求的面积的最大值．




15．（2022·全国·高一专题练习）已知中，内角、、的对边分别为、、，为的角平分线．

（1）求证：；
（2）若且，求的大小．




16．（2023春·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.