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专题06 复数综合（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）
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这是一份专题06 复数综合（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册），文件包含专题06复数综合解析版docx、专题06复数综合原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
专题06 复数综合
知识点1 复数的有关概念
1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是.
复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．
2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．
3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．
【注意】复数概念说明：
（1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
（2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi.
（3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
4、复数的分类：对于复数a＋bi，
（1）当且仅当b＝0时，它是实数；
（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；
（3）当b≠0时，叫做虚数；
（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：复数=实数b=0 虚数(b≠0)(当a=0时为纯虚数).
【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
5、复数相等
在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，
我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
6、共轭复数
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．
复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi.
示例：z＝2＋3i的共轭复数是＝2－3i.
【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．
知识点2 复数的几何意义
1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．
2、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)是一一对应的．
【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，
原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
3、复数的模
（1）定义：向量OZ的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值
（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
知识点3 复数的四则运算
1、复数的加法运算法则与运算律
（1）加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，
规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数．
注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，
即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，
则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.
（2）复数的加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C，
有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
2、复数的减法运算法则
（1）相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，
存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数．
（2）减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.
即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数．
3、复数的乘法运算法则和运算律
（1）乘法运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，
并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
显然两个复数的积仍是复数．
（2）复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有
z1·z2＝z2·z1(交换律)； (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)； z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．
4、复数的乘方与虚数单位的乘方
（1）复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有
zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)．
【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立．
（2）虚数单位i的乘方
计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i.
5、复数的除法运算
规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0）
a+bi÷c+di=a+bic+di=a+bic-dic+dic-di=ac+bdbc-adic2+d2=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i
在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，
再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果．
【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数．
（2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段．
6、复数方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法：
（1）求根公式法：
①当∆≥0时，x=-b±b2-4ac2a ②当∆<0时，x=-b±-(b2-4ac)i2a
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m+ni(m，n∈R)，
将此代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解。
知识点4 复数的三角形式
1、辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在的射线（射线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辅角.
2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.
规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作argz
【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。
3、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数的辅角.
【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。
4、复数的代数式与三角式互化
将复数z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式z=r(cosθ+isinθ)时，要注意以下两点：
（1）r=a2+b2，
（2）cosθ=ar，sinθ=br，其中θ终边所在象限与点(a,b)所在象限相同，
当a=0，b>0时，arg z=π2
每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。
考点1 复数的概念与分类
【例1】（2023春·陕西西安·高一统考阶段练习）已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数
C．可能是实数 D．复数的虚部是
【变式1-2】（2023春·湖南长沙·高一校联考阶段练习）已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．0或1
【变式1-3】（2023春·新疆喀什·高一校考阶段练习）已知复数（i为虚数单位），求适合下列条件的实数m的值；
（1）z为实数；
（2）z为虚数；
（3）z为纯虚数.
【变式1-4】（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，讨论实数m取何值时：
（1）；
（2）．
【变式1-5】（2023春·陕西西安·高一统考阶段练习）已知复数，.
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.
考点2 复数的几何意义
【例2】（2023春·新疆喀什·高一校考阶段练习）如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023春·全国·高一专题练习）复数满足：，则复数z在复平面内对应的点是（ ）
A． B． C． D．（）
【变式2-2】（2023春·浙江·高一湖州中学校考阶段练习）（多选）若，则复数在复平面内对应的点可能在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2-3】（2023·高一单元测试）设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则、两点间的距离是______．
考点3 复数的四则运算
【例3】（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）复数化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023春·湖南·高一衡阳市八中校联考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023春·福建·高一三明一中校考阶段练习）设，则______.
【变式3-3】（2021春·广东东莞·高一校联考阶段练习）已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位）．
（1）求复数z；
（2）求的模．
【变式3-4】（2023春·福建三明·高一校考阶段练习）已知复数.
（1）若，求的值；
（2），，求.
考点4 复数的高次方运算
【例4】（2023·全国·高一专题练习）若复数满足，则复数在复平面所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式4-1】（2022春·福建三明·高一福建省宁化第一中学校考阶段练习）棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式4-2】（2023春·天津·高一校考阶段练习）若为虚数单位，且，则______.
【变式4-3】（2023·高一课时练习）已知，则的值为______．
【变式4-4】（2023·全国·高一专题练习）计算：
（1）；
（2）．
（3）i＋2i2＋3i3＋…＋2020i2020＋2021i2021.
【变式4-5】（2023·全国·高一专题练习）计算．
（1）；
（2）．
（3）；
（4）；
（5）.
考点5 与复数模有关的最值
【例5】（2023·全国·高一专题练习）已知复数为虚数单位）满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．4
【变式5-1】（2023·高一单元测试）若，则的最大值与最小值的和为___________.
【变式5-2】（2023·全国·高一专题练习）已知复数满足（是虚数单位），则的最大值为__________.
【变式5-3】（2022·全国·高一专题练习）是虚数单位，设复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2022春·云南玉溪·高一峨山彝族自治县第一中学校考期中）（多选）下列关于复数说法正确的是（ ）
A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2
C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为
考点6 复数范围内解方程
【例6】（2023春·全国·高一专题练习）设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则______．
【变式6-1】（2022春·上海·高一第三女子中学校考期末）在复数范围内分解因式_____．
【变式6-2】（2023·江苏·高一专题练习）已知关于的一元二次方程的两根为、．
（1）若为虚数，求的取值范围；
（2）若，求的值．
【变式6-3】（2023·高一课时练习）已知，且，复数为虚数单位）满足．
（1）求；
（2）若关于的方程有实根，求的所有可能值．
【变式6-4】（2023·全国·高一专题练习）已知复数为虚数单位．
（1）若是关于的实系数方程的一个复数根，求的值；
（2）若为实数，求的值．
考点7 复数的三角形式
【例7】（2023春·全国·高一专题练习）计算：．
【变式7-1】（2023春·全国·高一专题练习）计算：
（1）；
（2）.
【变式7-2】（2022·高一课时练习）设，则复数的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2022春·广东广州·高一校考阶段练习）（多选）已知复数，则下列关于复数z的结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．复数z是方程的一个根
D．复数的辐角主值为
1．（2023春·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A．3 B．4 C． D．10
2．（2022春·山东临沂·高一校考阶段练习）若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2022春·湖北·高一校联考阶段练习）的值为（ ）
A．1 B．－1 C． D．
4．（2022春·河北保定·高一校联考阶段练习）已知虚数z是关于x的方程的一个根，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
5．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知是虚数单位，复数，下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为 B．的共轭复数对应的点在第三象限
C．的实部为1 D．的共轭复数的模为1
6．（2022春·湖北·高一统考期末）如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2022春·湖北咸宁·高一统考期末）欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位和三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·湖南邵阳·高一统考期末）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）（多选）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的共轭复数是
B．的虚部是
C．
D．若复数满足，则的最大值是
10．（2023·高一单元测试）（多选）已知，且，则（ ）
A．当时，必有
B．复平面内复数所对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆
C．
D．
11．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知复数z满足，则（ ）
A．复数z虚部的最大值为2
B．复数z实部的取值范围是
C．的最小值为1
D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限
12．（2023春·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）（多选）设，，为复数，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则或
C．若且，则 D．若，则
13．（2023·江苏·高一专题练习）写出一个的复数______．
14．（2023·全国·高一专题练习）在复数范围内，将多项式分解成为一次因式的积，则______.
15．（2022春·广东·高一海珠外国语实验中学校考期中）i为虚数单位.计算____.
16．（2023春·福建三明·高一校考阶段练习）已知复数，满足条件的点z的集合，所构成的图形的面积为______
17．（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）根据要求完成下列问题：
（1）已知复数名在复平面内对应的点在第四象限，，求；
（2）复数为纯虚数，求实数的值．
18．（2022春·湖南长沙·高一长沙县实验中学统考期末）已知复数，，i为虚数单位．
（1）若，求z的共轭复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
19．（2023·江苏·高一专题练习）（1）已知复数z满足，求．
（2）已知，对任意的，均有成立，求实数a的取值范围．
20．（2023·高一单元测试）已知虚数z满足.
（1）求z；
（2）若z的虚部为正数，比较与的大小.
专题06 复数综合
知识点1 复数的有关概念
1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是.
复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．
2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．
3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．
【注意】复数概念说明：
（1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
（2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi.
（3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
4、复数的分类：对于复数a＋bi，
（1）当且仅当b＝0时，它是实数；
（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；
（3）当b≠0时，叫做虚数；
（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：复数=实数b=0 虚数(b≠0)(当a=0时为纯虚数).
【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
5、复数相等
在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，
我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
6、共轭复数
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．
复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi.
示例：z＝2＋3i的共轭复数是＝2－3i.
【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．
知识点2 复数的几何意义
1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．
2、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)是一一对应的．
【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，
原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
3、复数的模
（1）定义：向量OZ的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值
（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
知识点3 复数的四则运算
1、复数的加法运算法则与运算律
（1）加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，
规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数．
注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，
即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，
则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.
（2）复数的加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C，
有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
2、复数的减法运算法则
（1）相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，
存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数．
（2）减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.
即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数．
3、复数的乘法运算法则和运算律
（1）乘法运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，
并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
显然两个复数的积仍是复数．
（2）复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有
z1·z2＝z2·z1(交换律)； (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)； z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．
4、复数的乘方与虚数单位的乘方
（1）复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有
zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)．
【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立．
（2）虚数单位i的乘方
计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i.
5、复数的除法运算
规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0）
a+bi÷c+di=a+bic+di=a+bic-dic+dic-di=ac+bdbc-adic2+d2=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i
在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，
再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果．
【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数．
（2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段．
6、复数方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法：
（1）求根公式法：
①当∆≥0时，x=-b±b2-4ac2a ②当∆<0时，x=-b±-(b2-4ac)i2a
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m+ni(m，n∈R)，
将此代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解。
知识点4 复数的三角形式
1、辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在的射线（射线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辅角.
2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.
规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作argz
【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。
3、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数的辅角.
【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。
4、复数的代数式与三角式互化
将复数z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式z=r(cosθ+isinθ)时，要注意以下两点：
（1）r=a2+b2，
（2）cosθ=ar，sinθ=br，其中θ终边所在象限与点(a,b)所在象限相同，
当a=0，b>0时，arg z=π2
每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。
考点1 复数的概念与分类
【例1】（2023春·陕西西安·高一统考阶段练习）已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数
C．可能是实数 D．复数的虚部是
【变式1-2】（2023春·湖南长沙·高一校联考阶段练习）已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．0或1
【变式1-3】（2023春·新疆喀什·高一校考阶段练习）已知复数（i为虚数单位），求适合下列条件的实数m的值；
（1）z为实数；
（2）z为虚数；
（3）z为纯虚数.
【变式1-4】（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，讨论实数m取何值时：
（1）；
（2）．
【变式1-5】（2023春·陕西西安·高一统考阶段练习）已知复数，.
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.
考点2 复数的几何意义
【例2】（2023春·新疆喀什·高一校考阶段练习）如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023春·全国·高一专题练习）复数满足：，则复数z在复平面内对应的点是（ ）
A． B． C． D．（）
【变式2-2】（2023春·浙江·高一湖州中学校考阶段练习）（多选）若，则复数在复平面内对应的点可能在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2-3】（2023·高一单元测试）设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则、两点间的距离是______．
考点3 复数的四则运算
【例3】（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）复数化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023春·湖南·高一衡阳市八中校联考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023春·福建·高一三明一中校考阶段练习）设，则______.
【变式3-3】（2021春·广东东莞·高一校联考阶段练习）已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位）．
（1）求复数z；
（2）求的模．
【变式3-4】（2023春·福建三明·高一校考阶段练习）已知复数.
（1）若，求的值；
（2），，求.
考点4 复数的高次方运算
【例4】（2023·全国·高一专题练习）若复数满足，则复数在复平面所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式4-1】（2022春·福建三明·高一福建省宁化第一中学校考阶段练习）棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式4-2】（2023春·天津·高一校考阶段练习）若为虚数单位，且，则______.
【变式4-3】（2023·高一课时练习）已知，则的值为______．
【变式4-4】（2023·全国·高一专题练习）计算：
（1）；
（2）．
（3）i＋2i2＋3i3＋…＋2020i2020＋2021i2021.
【变式4-5】（2023·全国·高一专题练习）计算．
（1）；
（2）．
（3）；
（4）；
（5）.
考点5 与复数模有关的最值
【例5】（2023·全国·高一专题练习）已知复数为虚数单位）满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．4
【变式5-1】（2023·高一单元测试）若，则的最大值与最小值的和为___________.
【变式5-2】（2023·全国·高一专题练习）已知复数满足（是虚数单位），则的最大值为__________.
【变式5-3】（2022·全国·高一专题练习）是虚数单位，设复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2022春·云南玉溪·高一峨山彝族自治县第一中学校考期中）（多选）下列关于复数说法正确的是（ ）
A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2
C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为
考点6 复数范围内解方程
【例6】（2023春·全国·高一专题练习）设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则______．
【变式6-1】（2022春·上海·高一第三女子中学校考期末）在复数范围内分解因式_____．
【变式6-2】（2023·江苏·高一专题练习）已知关于的一元二次方程的两根为、．
（1）若为虚数，求的取值范围；
（2）若，求的值．
【变式6-3】（2023·高一课时练习）已知，且，复数为虚数单位）满足．
（1）求；
（2）若关于的方程有实根，求的所有可能值．
【变式6-4】（2023·全国·高一专题练习）已知复数为虚数单位．
（1）若是关于的实系数方程的一个复数根，求的值；
（2）若为实数，求的值．
考点7 复数的三角形式
【例7】（2023春·全国·高一专题练习）计算：．
【变式7-1】（2023春·全国·高一专题练习）计算：
（1）；
（2）.
【变式7-2】（2022·高一课时练习）设，则复数的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2022春·广东广州·高一校考阶段练习）（多选）已知复数，则下列关于复数z的结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．复数z是方程的一个根
D．复数的辐角主值为
1．（2023春·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A．3 B．4 C． D．10
2．（2022春·山东临沂·高一校考阶段练习）若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2022春·湖北·高一校联考阶段练习）的值为（ ）
A．1 B．－1 C． D．
4．（2022春·河北保定·高一校联考阶段练习）已知虚数z是关于x的方程的一个根，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
5．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知是虚数单位，复数，下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为 B．的共轭复数对应的点在第三象限
C．的实部为1 D．的共轭复数的模为1
6．（2022春·湖北·高一统考期末）如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2022春·湖北咸宁·高一统考期末）欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位和三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·湖南邵阳·高一统考期末）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）（多选）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的共轭复数是
B．的虚部是
C．
D．若复数满足，则的最大值是
10．（2023·高一单元测试）（多选）已知，且，则（ ）
A．当时，必有
B．复平面内复数所对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆
C．
D．
11．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知复数z满足，则（ ）
A．复数z虚部的最大值为2
B．复数z实部的取值范围是
C．的最小值为1
D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限
12．（2023春·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）（多选）设，，为复数，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则或
C．若且，则 D．若，则
13．（2023·江苏·高一专题练习）写出一个的复数______．
14．（2023·全国·高一专题练习）在复数范围内，将多项式分解成为一次因式的积，则______.
15．（2022春·广东·高一海珠外国语实验中学校考期中）i为虚数单位.计算____.
16．（2023春·福建三明·高一校考阶段练习）已知复数，满足条件的点z的集合，所构成的图形的面积为______
17．（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）根据要求完成下列问题：
（1）已知复数名在复平面内对应的点在第四象限，，求；
（2）复数为纯虚数，求实数的值．
18．（2022春·湖南长沙·高一长沙县实验中学统考期末）已知复数，，i为虚数单位．
（1）若，求z的共轭复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
19．（2023·江苏·高一专题练习）（1）已知复数z满足，求．
（2）已知，对任意的，均有成立，求实数a的取值范围．
20．（2023·高一单元测试）已知虚数z满足.
（1）求z；
（2）若z的虚部为正数，比较与的大小.
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