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专题07 空间几何体的结构特征、表面积和体积（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）
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这是一份专题07 空间几何体的结构特征、表面积和体积（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册），文件包含专题07空间几何体的结构特征表面积和体积解析版docx、专题07空间几何体的结构特征表面积和体积原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。
专题07 空间几何体的结构特征、表面积和体积
知识点1 多面体的结构特征
1、棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。
（1）有两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；
（2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；
（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
2、棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
（1）这个多边形面叫做棱锥的底面；
（2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
（4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。
棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。
3、棱台：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。
（1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；
（2）其他各面叫做棱台的侧面；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；
（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。
【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形；（2）侧面都是梯形；
（3）各侧棱的延长线交于一点。
知识点2 旋转体的结构特征
1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱。
（1）旋转轴叫做圆柱的轴；
（2）垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；
（3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；
（4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
【注意】（1）底面是互相平行且全等的圆面；（2）母线有无数条，都平行于轴；
（3）轴截面为矩形。
2、圆锥：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
（1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；
（2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；
（3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。
【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形；
（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线；
（3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。
（4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。
3、圆台
第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
第二种定义：以直角题型处置与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。
【注意】（1）圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面；
（2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点；
（3）轴截面为等腰梯形。
4、球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。
（1）球心：半圆的圆心叫做球的球心；
（2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径；
（3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。
知识点3 立体图形的直观图
1、斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．
斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．
（1）“斜”：在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x'轴承45°或135°
（2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于x'轴或z'轴的线段长度不变；
平行于y'轴的长度变成原来的一半，
2、平面图形直观图的画法及要求
（1）建系：在已知图中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，
画直观图时，把他们弧长对应的x'轴和y'轴，两轴相交于O'，
且使∠x'O'y'=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面；
（2）平行不变：已知图形中平行于x轴、y轴的线段，直观图中分别画出平行与x'轴或y'轴的线段；
（3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，
平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.
3、空间几何体直观图的画法
（1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴；
（2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；
（3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
（4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
4、直观图与原图多边形面积之间的关系
若一个多边形的面积为S原，它的直观图的面积为S直，则有S直=24S原，S原=22S直
知识点4 多面体的表面积和体积
1、棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）棱柱的表面积：S棱柱=S侧+2S底；
（2）棱锥的表面积：S棱锥=S侧+S底；
（3）棱台的表面积：S棱台=S侧+S上底+S下底
2、棱柱、棱锥、棱台的体积
（1）棱住的体积：棱柱的体积等于它的底面积S底和高h的乘积，即V棱柱=S底×h.
（2）棱锥的体积：棱锥的体积等于它的底面积S底和高h的乘积的13，即V棱锥=13S底×h
（3）棱台的体积：V＝(S上＋S下＋)h
知识点5 旋转体的表面积和体积
1、侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
2、圆柱、圆锥、圆台的体积公式：
（1）圆柱的体积公式：V圆柱=S底×h
（2）圆锥的体积公式：V圆锥=13S底×h
（3）圆台的体积公式：V＝(S上＋S下＋)h
3、球的体积公式：V=43πR3 球的表面积公式：S=4πR2
考点1 多面体的结构特征
【例1】（2023·全国·高一专题练习）“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要 D．既非充分又非必要条件
【变式1-1】（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）以下说法正确的是（ ）
①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．
A．①②④⑥ B．②③④⑤ C．①②③⑥ D．①②⑤⑥
【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）在2022年第二十四届冬奥会上，中国代表队创造了历史最好成绩，首都北京也成为第一座“双奥之城”．如图所示，坐落于北京的国家游泳中心（又称“水立方”），是中国健儿为国争光的地方，“水立方”可以抽象出的几何体是（ ）．
A．圆柱 B．四棱锥 C．四棱台 D．长方体
【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）下列命题是真命题的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共项点的三角形的几何体叫棱锥
【变式1-4】（2023·全国·高一专题练习）有下列四种叙述：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
④棱台的侧棱延长后必交于一点.
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式1-5】（2022春·山西吕梁·高一统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形 B．直四棱柱是长方体
C．平行六面体不是棱柱 D．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
考点2 旋转体的结构特征
【例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．球
【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）下列几何体表示圆锥的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023春·天津和平·高一第五十五中学校考阶段练习）下列命题中不正确的是（ ）
A．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面
B．正四棱锥的侧面都是正三角形
C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台
【变式2-3】（2022·高一课时练习）（多选）下列命题中正确的有（ ）
A．圆锥、圆台的底面都是圆面
B．用一个平面去截圆柱，截面一定是圆
C．用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台
D．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周后得到的两个空间图形是两个不同的圆柱
【变式2-4】（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列说法中不正确的是（ ）
A．将正方形旋转不可能形成圆柱
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
考点3 直观图与原图的判断
【例3】（2023·全国·高一专题练习）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列说法正确的是（ ）
A．相等的线段在直观图中仍相等 B．水平放置的三角形的直观图仍是三角形
C．相等的角在直观图中仍相等 D．水平放置的菱形的直观图仍是菱形
【变式3-1】（2023·高一课时练习）如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【变式3-2】（2021秋·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形
B．长方形的直观图是长方形
C．正方形的直观图是正方形
D．菱形的直观图是菱形
【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）如图，已知等腰三角形ABC，则如图所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是______(填写序号)
考点4 斜二测画法中的计算
【例4】（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，在四边形OABC中，OA=2，，BC=3，且，则四边形OABC水平放置时，用斜二测画法得到的直观图面积为（ ）
A． B．5 C． D．
【变式4-1】（2022春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考阶段练习）如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是（ ）
A．14 B．10 C．28 D．14
【变式4-2】（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，则（ ）
A．的长度大于的长度 B．的面积为4
C．的面积为2 D．
【变式4-3】（2023春·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的△，其中，，则△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式4-4】（2023春·全国·高一专题练习）（多选）已知是等腰直角三角形， ， 用斜二测画法画出它的直观图 ， 则的长可能是（ ）
A． B． C． D．
考点5 多面体的表面积计算
【例5】（2023·高一单元测试）边长为3的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积之和比原来增加了（ ）
A．36 B．72 C．108 D．240
【变式5-1】（2022春·重庆九龙坡·高一四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）已知直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形OAB，斜边长，若该直三棱柱的侧棱长为2，则该直三棱柱的侧面积为___________.
【变式5-2】（2022春·河北沧州·高一校考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，已知，，则当最大时，求三棱锥的表面积.
【变式5-3】（2023·全国·高一专题练习）为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2022·全国·高三校联考阶段练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，它将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭．如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭的体积为，则该方亭的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-5】（2022春·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知长方体，，其外接球的表面积为，过､､B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为10.
（1）求棱的长：
（2）求几何体的表面积.
考点6 多面体的体积计算
【例6】（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）长方体的体积是，若为的中点，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2022·全国·高一专题练习）已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式6-2】（2022春·河南鹤壁·高一河南省浚县第一中学校考阶段练习）如图1，水平放置的直三棱柱容器中，，，现往内灌进一些水，水深为2．将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形，如图2，则容器的高h为（ ）
A．3 B．4 C． D．6
【变式6-3】（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．下图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（ ）（参考数据：，参考公式：）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2022春·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正四棱台的上下底面边长分别为1和4，高为3，则此棱台的体积为______．
考点7 旋转体的表面积计算
【例7】（2022春·北京·高一北京一七一中校考阶段练习）已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2022春·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考阶段练习）已知某圆柱的轴截面为正方形，则此圆柱的表面积与此圆柱外接球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2022春·河北邢台·高一邢台市南和区第一中学校考阶段练习）已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积为（ ）
A． B．或 C． D．或
【变式7-4】（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习）某圆台上、下底面面积分别是、，母线长为2，则这个圆台的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-5】（2022春·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球O的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
考点8 旋转体的体积计算
【例8】（2022春·河北保定·高一校联考阶段练习）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2022春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习）中国古代数学的瑰宝《九章第术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2022春·山东德州·高一校考阶段练习）如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，造型浑厚，工艺精美，其形状可视为圆台和圆柱的组合体，口径为28.8cm，经测量计算可知圆台和圆柱的高度之比约为，体积之比约为，则圆柱的底面直径约为（ ）
A．4cm B．14cm C．18cm D．22cm
【变式8-3】（2020春·安徽宣城·高一安徽省宣城市第二中学校考阶段练习）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石飘壶､潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约接近于（ ）
A． B． C． D．
【变式8-4】（2023春·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-5】（2022春·山西晋中·高一校考阶段练习）已知点A，B，C在球心为O的球面上，且A，B，C，O四点共面，若，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
考点9 表面最短路径问题
【例9】（2023春·上海·高二校联考阶段练习）如图，已知正三棱柱的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A点沿表面经过棱、爬到点，蚂蚁乙从B点沿表面经过棱爬到点．设，，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则______
【变式9-1】（2022春·江西宜春·高一江西省万载中学校考阶段练习）如图，在正三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=30°，PA=PB=PC=2，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2023·广西南宁·统考一模）如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C．6 D．
【变式9-3】（2022秋·河北沧州·高二校考开学考试）如图所示，圆柱高为2，底面半径为1，则在圆柱侧面上从A出发经过母线到达的最短距离为___________.
【变式9-4】（2023·高一课时练习）在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为________
考点10 几何体的截面问题
【例10】（2022·全国·高一专题练习）（多选）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（ ）
A．圆柱 B．圆台 C．球体 D．棱台
【变式10-1】（2023春·全国·高一专题练习）已知球的半径为2，球心到平面的距离为，则球被平面截得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）已知正方体的棱长为6，､分别是､的中点，平面截正方体所得的截面为多边形，则此多边形的边数为_________，截面多边形的周长为___________.
【变式10-3】（2022·高一课时练习）已知正三角形的三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的距离为1，是线段的中点，过点作球的截面，求截面面积的最小值．
1．（2022春·江苏淮安·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．空间中，到一个定点的距离等于定长的点的集合是球
B．以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥
C．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
2．（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．多面体至少有个面
B．有个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
3．（2022春·重庆酉阳·高一校考阶段练习）若一个圆锥的底面半径为1，母线长为，则圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·广东清远·高一校考阶段练习）如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．是钝角三角形 B．的面积是的面积的2倍
C．B点的坐标为 D．的周长是
6．（2022春·江西宜春·高一江西省万载中学校考阶段练习）上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（ ）
A．4 B． C． D．
7．（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中不正确的是（ ）
A．多面体有12个顶点，14个面
B．多面体的表面积为3
C．多面体的体积为
D．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）
8．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，B′C′∥y′轴，则四边形OABC的面积为（ ）
A． B．3 C．3 D．
9．（2022春·山西晋中·高一校考阶段练习）已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的体积为，则到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·江苏常州·高一常州市第二中学校考阶段练习）已知某圆锥的的底面半径为2，侧面积是底面积的3倍.将该圆锥切割成一个正四棱锥，且四棱锥的顶点和圆锥的顶点重合，四棱锥的底面是圆锥底面的内接正方形，则该四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）（多选）下面关于空间几何体的叙述正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
C．长方体是直平行六面体
D．存在每个面都是直角三角形的四面体
12．（2022春·广东东莞·高一校考阶段练习）（多选）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小
13．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）（多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（ ）
A．该圆台轴截面面积为
B．该圆台的体积为
C．该圆台的侧面积为
D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为
14．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）（多选）长方体中，，，，则（ ）
A．到平面的距离为
B．到平面的距离为
C．沿长方体的表面从到的最短距离为
D．沿长方体的表面从到的最短距离为
15．（2023春·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的面积是________．
16．（2022春·江西宜春·高一江西省万载中学校考阶段练习）用一个平面去截直三棱柱，交分别于点. 若，则截面的形状可以为________.（把你认为可能的结果的序号填在横线上）
①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形
17．（2022秋·江西抚州·高一南城县第二中学校考阶段练习）如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是__________．
18．（2022春·河北张家口·高一校联考阶段练习）已知正方体的棱长为分别为的中点，则平面将正方体分成体积大小不等的两部分，则较小部分的体积为_______.
19．（2022春·山东临沂·高一校考阶段练习）已知在正方体中，截下一个四棱锥，，E为棱中点.
（1）求四棱锥的表面积；
（2）求四棱锥的体积与剩余部分的体积之比；
（3）若点F是AB上的中点，求三棱锥的体积.
20．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱中有一内接长方体，设矩形的面积为S，长方体的体积为V，，
（1）将S表示为x的函数；
（2）求V的最大值．
专题07 空间几何体的结构特征、表面积和体积
知识点1 多面体的结构特征
1、棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。
（1）有两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；
（2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；
（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
2、棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
（1）这个多边形面叫做棱锥的底面；
（2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
（4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。
棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。
3、棱台：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。
（1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；
（2）其他各面叫做棱台的侧面；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；
（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。
【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形；（2）侧面都是梯形；
（3）各侧棱的延长线交于一点。
知识点2 旋转体的结构特征
1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱。
（1）旋转轴叫做圆柱的轴；
（2）垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；
（3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；
（4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
【注意】（1）底面是互相平行且全等的圆面；（2）母线有无数条，都平行于轴；
（3）轴截面为矩形。
2、圆锥：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
（1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；
（2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；
（3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。
【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形；
（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线；
（3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。
（4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。
3、圆台
第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
第二种定义：以直角题型处置与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。
【注意】（1）圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面；
（2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点；
（3）轴截面为等腰梯形。
4、球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。
（1）球心：半圆的圆心叫做球的球心；
（2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径；
（3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。
知识点3 立体图形的直观图
1、斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．
斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．
（1）“斜”：在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x'轴承45°或135°
（2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于x'轴或z'轴的线段长度不变；
平行于y'轴的长度变成原来的一半，
2、平面图形直观图的画法及要求
（1）建系：在已知图中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，
画直观图时，把他们弧长对应的x'轴和y'轴，两轴相交于O'，
且使∠x'O'y'=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面；
（2）平行不变：已知图形中平行于x轴、y轴的线段，直观图中分别画出平行与x'轴或y'轴的线段；
（3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，
平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.
3、空间几何体直观图的画法
（1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴；
（2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；
（3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
（4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
4、直观图与原图多边形面积之间的关系
若一个多边形的面积为S原，它的直观图的面积为S直，则有S直=24S原，S原=22S直
知识点4 多面体的表面积和体积
1、棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）棱柱的表面积：S棱柱=S侧+2S底；
（2）棱锥的表面积：S棱锥=S侧+S底；
（3）棱台的表面积：S棱台=S侧+S上底+S下底
2、棱柱、棱锥、棱台的体积
（1）棱住的体积：棱柱的体积等于它的底面积S底和高h的乘积，即V棱柱=S底×h.
（2）棱锥的体积：棱锥的体积等于它的底面积S底和高h的乘积的13，即V棱锥=13S底×h
（3）棱台的体积：V＝(S上＋S下＋)h
知识点5 旋转体的表面积和体积
1、侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
2、圆柱、圆锥、圆台的体积公式：
（1）圆柱的体积公式：V圆柱=S底×h
（2）圆锥的体积公式：V圆锥=13S底×h
（3）圆台的体积公式：V＝(S上＋S下＋)h
3、球的体积公式：V=43πR3 球的表面积公式：S=4πR2
考点1 多面体的结构特征
【例1】（2023·全国·高一专题练习）“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要 D．既非充分又非必要条件
【变式1-1】（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）以下说法正确的是（ ）
①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．
A．①②④⑥ B．②③④⑤ C．①②③⑥ D．①②⑤⑥
【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）在2022年第二十四届冬奥会上，中国代表队创造了历史最好成绩，首都北京也成为第一座“双奥之城”．如图所示，坐落于北京的国家游泳中心（又称“水立方”），是中国健儿为国争光的地方，“水立方”可以抽象出的几何体是（ ）．
A．圆柱 B．四棱锥 C．四棱台 D．长方体
【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）下列命题是真命题的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共项点的三角形的几何体叫棱锥
【变式1-4】（2023·全国·高一专题练习）有下列四种叙述：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
④棱台的侧棱延长后必交于一点.
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式1-5】（2022春·山西吕梁·高一统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形 B．直四棱柱是长方体
C．平行六面体不是棱柱 D．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
考点2 旋转体的结构特征
【例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．球
【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）下列几何体表示圆锥的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023春·天津和平·高一第五十五中学校考阶段练习）下列命题中不正确的是（ ）
A．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面
B．正四棱锥的侧面都是正三角形
C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台
【变式2-3】（2022·高一课时练习）（多选）下列命题中正确的有（ ）
A．圆锥、圆台的底面都是圆面
B．用一个平面去截圆柱，截面一定是圆
C．用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台
D．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周后得到的两个空间图形是两个不同的圆柱
【变式2-4】（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列说法中不正确的是（ ）
A．将正方形旋转不可能形成圆柱
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
考点3 直观图与原图的判断
【例3】（2023·全国·高一专题练习）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列说法正确的是（ ）
A．相等的线段在直观图中仍相等 B．水平放置的三角形的直观图仍是三角形
C．相等的角在直观图中仍相等 D．水平放置的菱形的直观图仍是菱形
【变式3-1】（2023·高一课时练习）如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【变式3-2】（2021秋·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形
B．长方形的直观图是长方形
C．正方形的直观图是正方形
D．菱形的直观图是菱形
【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）如图，已知等腰三角形ABC，则如图所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是______(填写序号)
考点4 斜二测画法中的计算
【例4】（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，在四边形OABC中，OA=2，，BC=3，且，则四边形OABC水平放置时，用斜二测画法得到的直观图面积为（ ）
A． B．5 C． D．
【变式4-1】（2022春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考阶段练习）如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是（ ）
A．14 B．10 C．28 D．14
【变式4-2】（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，则（ ）
A．的长度大于的长度 B．的面积为4
C．的面积为2 D．
【变式4-3】（2023春·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的△，其中，，则△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式4-4】（2023春·全国·高一专题练习）（多选）已知是等腰直角三角形， ， 用斜二测画法画出它的直观图 ， 则的长可能是（ ）
A． B． C． D．
考点5 多面体的表面积计算
【例5】（2023·高一单元测试）边长为3的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积之和比原来增加了（ ）
A．36 B．72 C．108 D．240
【变式5-1】（2022春·重庆九龙坡·高一四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）已知直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形OAB，斜边长，若该直三棱柱的侧棱长为2，则该直三棱柱的侧面积为___________.
【变式5-2】（2022春·河北沧州·高一校考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，已知，，则当最大时，求三棱锥的表面积.
【变式5-3】（2023·全国·高一专题练习）为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2022·全国·高三校联考阶段练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，它将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭．如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭的体积为，则该方亭的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-5】（2022春·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知长方体，，其外接球的表面积为，过､､B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为10.
（1）求棱的长：
（2）求几何体的表面积.
考点6 多面体的体积计算
【例6】（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）长方体的体积是，若为的中点，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2022·全国·高一专题练习）已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式6-2】（2022春·河南鹤壁·高一河南省浚县第一中学校考阶段练习）如图1，水平放置的直三棱柱容器中，，，现往内灌进一些水，水深为2．将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形，如图2，则容器的高h为（ ）
A．3 B．4 C． D．6
【变式6-3】（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．下图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（ ）（参考数据：，参考公式：）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2022春·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正四棱台的上下底面边长分别为1和4，高为3，则此棱台的体积为______．
考点7 旋转体的表面积计算
【例7】（2022春·北京·高一北京一七一中校考阶段练习）已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2022春·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考阶段练习）已知某圆柱的轴截面为正方形，则此圆柱的表面积与此圆柱外接球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2022春·河北邢台·高一邢台市南和区第一中学校考阶段练习）已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积为（ ）
A． B．或 C． D．或
【变式7-4】（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习）某圆台上、下底面面积分别是、，母线长为2，则这个圆台的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-5】（2022春·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球O的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
考点8 旋转体的体积计算
【例8】（2022春·河北保定·高一校联考阶段练习）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2022春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习）中国古代数学的瑰宝《九章第术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2022春·山东德州·高一校考阶段练习）如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，造型浑厚，工艺精美，其形状可视为圆台和圆柱的组合体，口径为28.8cm，经测量计算可知圆台和圆柱的高度之比约为，体积之比约为，则圆柱的底面直径约为（ ）
A．4cm B．14cm C．18cm D．22cm
【变式8-3】（2020春·安徽宣城·高一安徽省宣城市第二中学校考阶段练习）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石飘壶､潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约接近于（ ）
A． B． C． D．
【变式8-4】（2023春·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-5】（2022春·山西晋中·高一校考阶段练习）已知点A，B，C在球心为O的球面上，且A，B，C，O四点共面，若，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
考点9 表面最短路径问题
【例9】（2023春·上海·高二校联考阶段练习）如图，已知正三棱柱的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A点沿表面经过棱、爬到点，蚂蚁乙从B点沿表面经过棱爬到点．设，，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则______
【变式9-1】（2022春·江西宜春·高一江西省万载中学校考阶段练习）如图，在正三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=30°，PA=PB=PC=2，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2023·广西南宁·统考一模）如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C．6 D．
【变式9-3】（2022秋·河北沧州·高二校考开学考试）如图所示，圆柱高为2，底面半径为1，则在圆柱侧面上从A出发经过母线到达的最短距离为___________.
【变式9-4】（2023·高一课时练习）在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为________
考点10 几何体的截面问题
【例10】（2022·全国·高一专题练习）（多选）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（ ）
A．圆柱 B．圆台 C．球体 D．棱台
【变式10-1】（2023春·全国·高一专题练习）已知球的半径为2，球心到平面的距离为，则球被平面截得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）已知正方体的棱长为6，､分别是､的中点，平面截正方体所得的截面为多边形，则此多边形的边数为_________，截面多边形的周长为___________.
【变式10-3】（2022·高一课时练习）已知正三角形的三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的距离为1，是线段的中点，过点作球的截面，求截面面积的最小值．
1．（2022春·江苏淮安·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．空间中，到一个定点的距离等于定长的点的集合是球
B．以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥
C．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
2．（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．多面体至少有个面
B．有个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
3．（2022春·重庆酉阳·高一校考阶段练习）若一个圆锥的底面半径为1，母线长为，则圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·广东清远·高一校考阶段练习）如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．是钝角三角形 B．的面积是的面积的2倍
C．B点的坐标为 D．的周长是
6．（2022春·江西宜春·高一江西省万载中学校考阶段练习）上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（ ）
A．4 B． C． D．
7．（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中不正确的是（ ）
A．多面体有12个顶点，14个面
B．多面体的表面积为3
C．多面体的体积为
D．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）
8．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，B′C′∥y′轴，则四边形OABC的面积为（ ）
A． B．3 C．3 D．
9．（2022春·山西晋中·高一校考阶段练习）已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的体积为，则到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·江苏常州·高一常州市第二中学校考阶段练习）已知某圆锥的的底面半径为2，侧面积是底面积的3倍.将该圆锥切割成一个正四棱锥，且四棱锥的顶点和圆锥的顶点重合，四棱锥的底面是圆锥底面的内接正方形，则该四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）（多选）下面关于空间几何体的叙述正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
C．长方体是直平行六面体
D．存在每个面都是直角三角形的四面体
12．（2022春·广东东莞·高一校考阶段练习）（多选）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小
13．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）（多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（ ）
A．该圆台轴截面面积为
B．该圆台的体积为
C．该圆台的侧面积为
D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为
14．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）（多选）长方体中，，，，则（ ）
A．到平面的距离为
B．到平面的距离为
C．沿长方体的表面从到的最短距离为
D．沿长方体的表面从到的最短距离为
15．（2023春·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的面积是________．
16．（2022春·江西宜春·高一江西省万载中学校考阶段练习）用一个平面去截直三棱柱，交分别于点. 若，则截面的形状可以为________.（把你认为可能的结果的序号填在横线上）
①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形
17．（2022秋·江西抚州·高一南城县第二中学校考阶段练习）如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是__________．
18．（2022春·河北张家口·高一校联考阶段练习）已知正方体的棱长为分别为的中点，则平面将正方体分成体积大小不等的两部分，则较小部分的体积为_______.
19．（2022春·山东临沂·高一校考阶段练习）已知在正方体中，截下一个四棱锥，，E为棱中点.
（1）求四棱锥的表面积；
（2）求四棱锥的体积与剩余部分的体积之比；
（3）若点F是AB上的中点，求三棱锥的体积.
20．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱中有一内接长方体，设矩形的面积为S，长方体的体积为V，，
（1）将S表示为x的函数；
（2）求V的最大值．
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