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专题01 导数的概念与运算-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019）
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这是一份专题01 导数的概念与运算-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019），文件包含专题01导数的概念与运算解析版docx、专题01导数的概念与运算原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
专题01 导数的概念与运算
知识点1 瞬时速度
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，
即瞬时速度v＝＝
知识点2 函数的平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
知识点3 函数在某点处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝＝.
知识点4 导数的几何意义
（1）割线斜率与切线斜率
设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝
当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝
（2）导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
知识点5 导函数的定义
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝.
特别提醒：
区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值，是数值
在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值
f′(x)
f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数
知识点6 几个常用函数的导数
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
f(x)＝
f′(x)＝－
f(x)＝
f′(x)＝
知识点7 基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
知识点8 导数的运算法则
已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0.
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3).
知识点9 复合函数的导数
（1）复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
（2）复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积．
考点1 求瞬时速度
【例1】为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为．甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③④ C．②③ D．①③
【答案】D
【分析】理解瞬时变化率和平均变化率的概念，结合导数的几何意义可知，瞬时变化率是在此点处切线的斜率，平均变化率是，再结合图象，逐一判断选项即可．
【解析】对于①，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即①正确；
对于②，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即②错误；
对于③，由平均变化率公式知，甲、乙两人在，内，血管中药物浓度的平均变化率均为，即③正确；
对于④，在，和，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为和，显然不相同，即④错误．
故正确的只有①③；
故选：D．
【解后感悟】求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝ .
【变式1-1】如果质点A运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为那么该质点在秒时的瞬时速度为：（ ）（单位：米/秒）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
所以.
故选：D.
【变式1-2】年月，第届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了金银铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪瞬时速度为______．
【答案】
【解析】，
所以，该运动员的滑雪瞬时速度为.
故答案为：.
【变式1-3】设函数，，，当自变量从0变到1时，它们的平均变化率分别记为，，，则，，之间的大小关系为___________（用“>”“<”“=”连接）；三个函数中在处的瞬时变化率最大的是___________.
【答案】
【解析】（1）由题意，，，，故；
（2）由题意，，，，故，，，故三个函数中在处的瞬时变化率最大的是
故答案为：；.
考点2 求切线方程
【例2】（北京市东城区2023届高三下学期综合练习（一）数学试题）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设切点坐标为，求得切线方程为，把原点代入方程，得到，解得，即可求得切线方程.
【解析】由函数，可得，
设切点坐标为，可得切线方程为，
把原点代入方程，可得，即，
解得，所以切线方程为，即.
故选：A.
【解后感悟】(1)首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点．
(2)过点(x1，y1)与曲线y＝f(x)相切的直线方程的求法步骤
①设切点(x0，f(x0))．
②建立方程.
③解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．
(3)本例考查了切线的含义及切线方程的求法．体现了直观想象和数学运算的数学核心素养．
【变式2-1】（2023春·山东枣庄·高二校考阶段练习）函数的图象在点处切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
即在处切线的斜率为，则其倾斜角为.
故选：B.
【变式2-2】（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）点P在曲线上移动，设点p处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A．[0， B． C． D．[0，
【答案】D
【解析】因为，所以，因为，所以，又，所以，
故选：D.
【变式2-3】（2023春·山西·高二校联考阶段练习）已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】,
又，，
故切线方程为，即，
故答案为：.
考点3 利用图象理解导数的几何意义
【例3】（2023春·陕西西安·高二西安中学校考期中）的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义即可求解.
【解析】由图可知：，
即.故选：B
【解后感悟】导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．
(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的．
(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
【变式3-1】（2023春·山东·高二校联考阶段练习）如图，已知函数的图象在点处的切线为l，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】C
【解析】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，，
切线方程为，则切点坐标为，有，
所以.
故选：C.
【变式3-2】（多选题）（2023春·山东聊城·高二校考阶段练习）已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由函数的图像可知函数是单调递增的，
所以函数图像上任意一点处的导函数值都大于零，
并且由图像可知，
函数图像在处的切线斜率大于在处的切线斜率，
所以；
故A错误，B正确；
记，，作直线，则直线的斜率，由函数图像，可知，
即.
故C，D正确；
故选：BCD
【变式3-3】（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，，，，则关于排序正确的是_____________．
【答案】
【解析】由图象知在上单调递增，
又过点和点的直线的斜率为，
由导数的几何意义，知为曲线在处的切线方程的斜率，
为曲线在处的切线方程的斜率，如图，
得，
即．
故答案为：
考点4 导数的运算
【例4】（2023春·湖北襄阳·高二校联考阶段练习）函数的导函数为，若，则______.
【答案】2
【分析】可以求出导函数，代入可得．
【解析】由，得，
得.故答案为：2.
【解后感悟】利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
【变式4-1】（2023春·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，所以，
故选：A
【变式4-2】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）已知函数，，则______．
【答案】
【解析】由已知，，．
故答案为：．
【变式4-3】（2023春·湖北十堰·高二校联考阶段练习）设函数的导函数为，若函数，则__________．
【答案】
【解析】，
所以，解得
故答案为：
考点5 与切线有关的综合问题
【例5】（2023·河北张家口·高二张家口市第一中学校考期中）曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．2
【答案】A
【分析】当直线2x－y＋3＝0的平行线与曲线相切时，切点到直线的距离即为所求.
【解析】将直线2x－y＋3＝0平移至与曲线y＝ln(2x－1)相切时，
切点到直线2x－y＋3＝0的距离为最短距离，
设与直线2x－y＋3＝0平行的直线方程为，
设切点为，，
解得到直线2x－y＋3＝0的距离为，
所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为.
故选：A.
【解后感悟】(1)求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求．两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件．
(2)在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域．在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内．
【变式5-1】（2023春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）已知点P（x,y）是曲线上的一动点，则点P（x,y）到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当曲线在点P处的切线与直线平行时，点P到该直线的距离最小，
，
由直线的斜率，则，
得，有，所以，
∴到直线距离.
故选：C.
【变式5-2】（2023春·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】D
【解析】对求导得，
由得，则，即，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：D．
【变式5-3】（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数，若存在实数，使得曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的最大值是_______
【答案】
【解析】由，得，
则在点处的切线斜率为，
由二次函数性质知在上单调递增，在上单调递减，
又，，所以，
因为切线与直线垂直，所以且，
所以，即实数的最大值是．
1．（2023春·山东聊城·高二校考阶段练习）如图，函数在，，这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数平均变化率的计算公式，可得
函数在上的平均变化率为：，
函数在上的平均变化率为：，
函数在上的平均变化率为：，
函数在上的平均变化率为：，
结合函数的图象，可得.
故选：D.
2．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）某物体的运动路程s（单位：）与时间t（单位：）的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】该物体在时间段上的平均速度为，
当无限趋近于0时，无限趋近于4，即该物体在时的瞬时速度为4m/s.故选D
3．（2023·全国·模拟预测）已知直线为曲线在处的切线，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数，可得，则，即切线的斜率为，
又由时，求得，即切点坐标为，
所以切线方程为，即，
由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离.
故选：D．
4．（2023·全国·高二专题练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图知：，即.故选：A
5．（2023春·北京通州·高二通州区运河中学校考阶段练习）曲线在处的切线斜率是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【解析】因为函数，可得，所以，即切线的斜率.
故选：C.
6．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴，
∴曲线在点处的切线的斜率，
∵切线与直线垂直，∴直线的斜率为，
∴.故选C.
7．（2023春·陕西渭南·高二校考阶段练习）下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，A正确；
，B正确；
函数可以看作函数和的复合函数，
根据复合函数求导法则可得，
，C错误；
，D正确．故选C．
8．（2023春·湖南郴州·高二校考阶段练习）设函数的导数为，且，则（ ）
A．0 B．4 C． D．2
【答案】C
【解析】由，
令得，
解得.故选C.
9．（2023·青海西宁·统考一模）若是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】为偶函数，，
即，，解得：，
，则，，
，在点处的切线方程为，即.
故选：A.
10．（2023·高二课时练习）设则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，，
，，
，
所以以为最小正周期，所以，故选B
二、多选题
11．（2023·江苏·高二专题练习）物体自由落体的运动方程为（单位：m），当时，m/s，则下列说法错误的是（ ）
A．9.8 m/s是物体从0s到1s这段时间内的速度
B．9.8 m/s是物体从1s到s这段时间内的速度
C．9.8 m/s是物体在s这一时刻的速度
D．9.8 m/s是物体从1s到s这段时间内的平均速度
【答案】ABD
【解析】由题意，得9.8m/s是物体在s这一时刻的速度，故C正确，A，B，D错误.故选ABD
12．（2023春·湖北襄阳·高二校考阶段练习）下列复合函数求导运算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若 ，则
【答案】BD
【解析】A选项，，A不正确；
B选项，，B正确；
C选项，，C不正确；
D选项，，D正确.
故选：BD.
13．（2023·高二课时练习）已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，没有“巧值点”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，由得，
即，，∴该方程无解，
∴函数无“巧值点”，故A符合题意；
对于B，由得，解得，
∴函数有“巧值点”－1，故B不符合题意；
对于C，由得无解，∴函数无“巧值点”，故C符合题意；
对于D，由得，
易知函数与的图象在第一象限内有一个交点，
∴方程有一个解，∴函数有“巧值点”，故D不符合题意．
故选：AC．
14．（2023·河北·高三校联考阶段练习）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，，
当时，，，故A错误；
对于B，在恒成立，故B正确；
对于C，在恒成立，故C正确；
对于D，，
因为，所以，所以恒成立，故D正确.
故选：BCD.
15．（2023春·广东佛山·高二佛山市南海区九江中学校考阶段练习）为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（ ）
A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强
C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强
【答案】ABC
【解析】由题图可知甲企业的污水排放量在时刻高于乙企业，
而在时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，
故在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A正确；
由题图知在时刻，甲企业在该点的切线斜率的绝对值大于乙企业的，故B正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，故C正确；
由题意可知，甲企业在，，这三段时间中，在时的污水治理能力明显低于时的，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题
16．（2023春·河南郑州·高二校考阶段练习）已知函数是可导函数，且，则______.
【答案】1
【解析】因为函数是可导函数，且，
所以，根据导数的定义，
故答案为：
17．（2023·四川攀枝花·高三统考阶段练习）曲线在点处的切线斜率为______．
【答案】
【解析】，，
故答案为：
18．（2023·福建莆田·统考二模）直线l经过点，且与曲线相切，写出l的一个方程_______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为，
所以，
不妨设直线l与的切点为，斜率为，
则，解得或或，
当时，直线l为；
当时，直线l为，即；
当时，直线l为，即；
综上：直线l的方程为或或.
故答案为：（答案不唯一）.
19．（2023春·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）世界锦标赛简称，是方程式汽车赛中最高级别.所谓“方程式”赛车是按照国际汽车联合会（）规定的标准制造的赛车，目前西南交通大学实验室制造了一种新的方程式赛车，已知这种赛车的位移和时间的关系满足，则时赛车的瞬时速度是______（米/秒）.
【答案】
【解析】由，则，即，
故答案为：.
20．（2023春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）若函数与的图像恰有一个公共点，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为，所以过原点，
，且，
所以函数在原点的切线的斜率为，
则函数在原点的切线的方程为，此时与只有1个公共点，
结合函数图像易知，当时，此时与只有1个公共点，
故．
故答案为：
专题01 导数的概念与运算
知识点1 瞬时速度
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，
即瞬时速度v＝＝
知识点2 函数的平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
知识点3 函数在某点处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝＝.
知识点4 导数的几何意义
（1）割线斜率与切线斜率
设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝
当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝
（2）导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
知识点5 导函数的定义
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝.
特别提醒：
区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值，是数值
在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值
f′(x)
f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数
知识点6 几个常用函数的导数
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
f(x)＝
f′(x)＝－
f(x)＝
f′(x)＝
知识点7 基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
知识点8 导数的运算法则
已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0.
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3).
知识点9 复合函数的导数
（1）复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
（2）复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积．
考点1 求瞬时速度
【例1】为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为．甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③④ C．②③ D．①③
【答案】D
【分析】理解瞬时变化率和平均变化率的概念，结合导数的几何意义可知，瞬时变化率是在此点处切线的斜率，平均变化率是，再结合图象，逐一判断选项即可．
【解析】对于①，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即①正确；
对于②，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即②错误；
对于③，由平均变化率公式知，甲、乙两人在，内，血管中药物浓度的平均变化率均为，即③正确；
对于④，在，和，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为和，显然不相同，即④错误．
故正确的只有①③；
故选：D．
【解后感悟】求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝ .
【变式1-1】如果质点A运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为那么该质点在秒时的瞬时速度为：（ ）（单位：米/秒）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
所以.
故选：D.
【变式1-2】年月，第届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了金银铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪瞬时速度为______．
【答案】
【解析】，
所以，该运动员的滑雪瞬时速度为.
故答案为：.
【变式1-3】设函数，，，当自变量从0变到1时，它们的平均变化率分别记为，，，则，，之间的大小关系为___________（用“>”“<”“=”连接）；三个函数中在处的瞬时变化率最大的是___________.
【答案】
【解析】（1）由题意，，，，故；
（2）由题意，，，，故，，，故三个函数中在处的瞬时变化率最大的是
故答案为：；.
考点2 求切线方程
【例2】（北京市东城区2023届高三下学期综合练习（一）数学试题）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设切点坐标为，求得切线方程为，把原点代入方程，得到，解得，即可求得切线方程.
【解析】由函数，可得，
设切点坐标为，可得切线方程为，
把原点代入方程，可得，即，
解得，所以切线方程为，即.
故选：A.
【解后感悟】(1)首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点．
(2)过点(x1，y1)与曲线y＝f(x)相切的直线方程的求法步骤
①设切点(x0，f(x0))．
②建立方程.
③解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．
(3)本例考查了切线的含义及切线方程的求法．体现了直观想象和数学运算的数学核心素养．
【变式2-1】（2023春·山东枣庄·高二校考阶段练习）函数的图象在点处切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
即在处切线的斜率为，则其倾斜角为.
故选：B.
【变式2-2】（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）点P在曲线上移动，设点p处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A．[0， B． C． D．[0，
【答案】D
【解析】因为，所以，因为，所以，又，所以，
故选：D.
【变式2-3】（2023春·山西·高二校联考阶段练习）已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】,
又，，
故切线方程为，即，
故答案为：.
考点3 利用图象理解导数的几何意义
【例3】（2023春·陕西西安·高二西安中学校考期中）的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义即可求解.
【解析】由图可知：，
即.故选：B
【解后感悟】导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．
(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的．
(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
【变式3-1】（2023春·山东·高二校联考阶段练习）如图，已知函数的图象在点处的切线为l，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】C
【解析】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，，
切线方程为，则切点坐标为，有，
所以.
故选：C.
【变式3-2】（多选题）（2023春·山东聊城·高二校考阶段练习）已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由函数的图像可知函数是单调递增的，
所以函数图像上任意一点处的导函数值都大于零，
并且由图像可知，
函数图像在处的切线斜率大于在处的切线斜率，
所以；
故A错误，B正确；
记，，作直线，则直线的斜率，由函数图像，可知，
即.
故C，D正确；
故选：BCD
【变式3-3】（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，，，，则关于排序正确的是_____________．
【答案】
【解析】由图象知在上单调递增，
又过点和点的直线的斜率为，
由导数的几何意义，知为曲线在处的切线方程的斜率，
为曲线在处的切线方程的斜率，如图，
得，
即．
故答案为：
考点4 导数的运算
【例4】（2023春·湖北襄阳·高二校联考阶段练习）函数的导函数为，若，则______.
【答案】2
【分析】可以求出导函数，代入可得．
【解析】由，得，
得.故答案为：2.
【解后感悟】利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
【变式4-1】（2023春·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，所以，
故选：A
【变式4-2】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）已知函数，，则______．
【答案】
【解析】由已知，，．
故答案为：．
【变式4-3】（2023春·湖北十堰·高二校联考阶段练习）设函数的导函数为，若函数，则__________．
【答案】
【解析】，
所以，解得
故答案为：
考点5 与切线有关的综合问题
【例5】（2023·河北张家口·高二张家口市第一中学校考期中）曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．2
【答案】A
【分析】当直线2x－y＋3＝0的平行线与曲线相切时，切点到直线的距离即为所求.
【解析】将直线2x－y＋3＝0平移至与曲线y＝ln(2x－1)相切时，
切点到直线2x－y＋3＝0的距离为最短距离，
设与直线2x－y＋3＝0平行的直线方程为，
设切点为，，
解得到直线2x－y＋3＝0的距离为，
所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为.
故选：A.
【解后感悟】(1)求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求．两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件．
(2)在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域．在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内．
【变式5-1】（2023春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）已知点P（x,y）是曲线上的一动点，则点P（x,y）到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当曲线在点P处的切线与直线平行时，点P到该直线的距离最小，
，
由直线的斜率，则，
得，有，所以，
∴到直线距离.
故选：C.
【变式5-2】（2023春·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】D
【解析】对求导得，
由得，则，即，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：D．
【变式5-3】（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数，若存在实数，使得曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的最大值是_______
【答案】
【解析】由，得，
则在点处的切线斜率为，
由二次函数性质知在上单调递增，在上单调递减，
又，，所以，
因为切线与直线垂直，所以且，
所以，即实数的最大值是．
1．（2023春·山东聊城·高二校考阶段练习）如图，函数在，，这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数平均变化率的计算公式，可得
函数在上的平均变化率为：，
函数在上的平均变化率为：，
函数在上的平均变化率为：，
函数在上的平均变化率为：，
结合函数的图象，可得.
故选：D.
2．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）某物体的运动路程s（单位：）与时间t（单位：）的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】该物体在时间段上的平均速度为，
当无限趋近于0时，无限趋近于4，即该物体在时的瞬时速度为4m/s.故选D
3．（2023·全国·模拟预测）已知直线为曲线在处的切线，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数，可得，则，即切线的斜率为，
又由时，求得，即切点坐标为，
所以切线方程为，即，
由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离.
故选：D．
4．（2023·全国·高二专题练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图知：，即.故选：A
5．（2023春·北京通州·高二通州区运河中学校考阶段练习）曲线在处的切线斜率是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【解析】因为函数，可得，所以，即切线的斜率.
故选：C.
6．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴，
∴曲线在点处的切线的斜率，
∵切线与直线垂直，∴直线的斜率为，
∴.故选C.
7．（2023春·陕西渭南·高二校考阶段练习）下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，A正确；
，B正确；
函数可以看作函数和的复合函数，
根据复合函数求导法则可得，
，C错误；
，D正确．故选C．
8．（2023春·湖南郴州·高二校考阶段练习）设函数的导数为，且，则（ ）
A．0 B．4 C． D．2
【答案】C
【解析】由，
令得，
解得.故选C.
9．（2023·青海西宁·统考一模）若是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】为偶函数，，
即，，解得：，
，则，，
，在点处的切线方程为，即.
故选：A.
10．（2023·高二课时练习）设则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，，
，，
，
所以以为最小正周期，所以，故选B
二、多选题
11．（2023·江苏·高二专题练习）物体自由落体的运动方程为（单位：m），当时，m/s，则下列说法错误的是（ ）
A．9.8 m/s是物体从0s到1s这段时间内的速度
B．9.8 m/s是物体从1s到s这段时间内的速度
C．9.8 m/s是物体在s这一时刻的速度
D．9.8 m/s是物体从1s到s这段时间内的平均速度
【答案】ABD
【解析】由题意，得9.8m/s是物体在s这一时刻的速度，故C正确，A，B，D错误.故选ABD
12．（2023春·湖北襄阳·高二校考阶段练习）下列复合函数求导运算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若 ，则
【答案】BD
【解析】A选项，，A不正确；
B选项，，B正确；
C选项，，C不正确；
D选项，，D正确.
故选：BD.
13．（2023·高二课时练习）已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，没有“巧值点”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，由得，
即，，∴该方程无解，
∴函数无“巧值点”，故A符合题意；
对于B，由得，解得，
∴函数有“巧值点”－1，故B不符合题意；
对于C，由得无解，∴函数无“巧值点”，故C符合题意；
对于D，由得，
易知函数与的图象在第一象限内有一个交点，
∴方程有一个解，∴函数有“巧值点”，故D不符合题意．
故选：AC．
14．（2023·河北·高三校联考阶段练习）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，，
当时，，，故A错误；
对于B，在恒成立，故B正确；
对于C，在恒成立，故C正确；
对于D，，
因为，所以，所以恒成立，故D正确.
故选：BCD.
15．（2023春·广东佛山·高二佛山市南海区九江中学校考阶段练习）为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（ ）
A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强
C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强
【答案】ABC
【解析】由题图可知甲企业的污水排放量在时刻高于乙企业，
而在时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，
故在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A正确；
由题图知在时刻，甲企业在该点的切线斜率的绝对值大于乙企业的，故B正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，故C正确；
由题意可知，甲企业在，，这三段时间中，在时的污水治理能力明显低于时的，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题
16．（2023春·河南郑州·高二校考阶段练习）已知函数是可导函数，且，则______.
【答案】1
【解析】因为函数是可导函数，且，
所以，根据导数的定义，
故答案为：
17．（2023·四川攀枝花·高三统考阶段练习）曲线在点处的切线斜率为______．
【答案】
【解析】，，
故答案为：
18．（2023·福建莆田·统考二模）直线l经过点，且与曲线相切，写出l的一个方程_______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为，
所以，
不妨设直线l与的切点为，斜率为，
则，解得或或，
当时，直线l为；
当时，直线l为，即；
当时，直线l为，即；
综上：直线l的方程为或或.
故答案为：（答案不唯一）.
19．（2023春·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）世界锦标赛简称，是方程式汽车赛中最高级别.所谓“方程式”赛车是按照国际汽车联合会（）规定的标准制造的赛车，目前西南交通大学实验室制造了一种新的方程式赛车，已知这种赛车的位移和时间的关系满足，则时赛车的瞬时速度是______（米/秒）.
【答案】
【解析】由，则，即，
故答案为：.
20．（2023春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）若函数与的图像恰有一个公共点，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为，所以过原点，
，且，
所以函数在原点的切线的斜率为，
则函数在原点的切线的方程为，此时与只有1个公共点，
结合函数图像易知，当时，此时与只有1个公共点，
故．
故答案为：
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