专题03 排列与组合（知识串讲 热考题型 专题训练）-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019）

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专题03 排列与组合



知识点1　两个原理
（1）完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
（2）完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
知识点2　两个计数原理的应用
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：
一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步．
(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
知识点3　排列与排列数
（1）一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
（2）从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
（3）排列数公式的两种形式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
(2)A＝.
（4）全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.
知识点4　组合及组合数的定义
（1）组合
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
（2）组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
（3）排列与组合的关系
相同点
两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点
排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
关系
组合数C与排列数A间存在的关系
A＝CA
知识点5　组合数公式
组合数
公式
乘积
形式
C＝，
其中m，n∈N*，并且m≤n
阶乘
形式
C＝

规定：C＝1.
知识点6　组合数的性质
性质1：C＝C.
性质2：C＝C＋C.

考点1 分类加法计数原理

【例1】设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有(　　)
A．6个 B．8个
C．12个 D．16个
【答案】A
【解析】因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.当m＝4时，n＝1,2,3；当m＝3时，n＝1,2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)．
【解后感悟】应用分类加法计数原理应注意如下问题
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事．
(2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法，即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的．
【变式1-1】满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序实数对(a，b)的个数为(　　)
A．14 B．13 C．12 D．10
【答案】B
【解析】由已知得ab≤1.
当a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；
当a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；
当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能；
当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．
∴共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.
【变式1-2】如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为(　　)

A．26 B．24 C．20 D．19
【答案】D
【解析】因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上传递的最大信息量的和：3＋4＋6＋6＝19.
【变式1-3】从1,2,3,4,5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】分两类：
第一类，公差大于0，有①1,2,3，②2,3,4，③3,4,5，④1,3,5，共4个等差数列；
第二类，公差小于0，也有4个等差数列，即①3,2,1，②4,3,2，③5,4,3，④5,3,1.
根据分类加法计数原理可知，共有4＋4＝8(个)不同的等差数列．

考点2 分步乘法计数原理

【例2】已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)．问：
(1)P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？
(2)P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？
【解析】(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：
第一步，确定a的值，共有6种方法；
第二步，确定b的值，也有6种方法．
根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36.
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：
第一步，确定a，由于a0，所以有2种不同的确定方法．
根据分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数为3×2＝6.
【解后感悟】利用分步乘法计数原理解题的一般思路
(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步．
(2)计数：求出每一步中的方法数．
(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．
【变式2-1】从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(　　)
A．30个 B．42个
C．36个 D．35个
【答案】C
【解析】要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)，有6种方法，第二步确定a，有6种方法，故由分步乘法计数原理知，共有6×6＝36(个)虚数．
【变式2-2】某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有(　　)
A．27种 B．36种 C．54种 D．81种
【答案】C
【解析】小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3＝54(种)不同的报名方法，选C.
【变式2-3】设m∈{1,2,3,4}，n∈{－12，－8，－4，－2}，则函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点的概率是________．
【答案】
【解析】根据题意，f′(x)＝3x2＋m，
又因为m>0，所以f′(x)＝3x2＋m>0，
故f(x)＝x3＋mx＋n在R上单调递增，
若函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点，
只需满足条件f(1)≤0且f(2)≥0，
所以m＋n≤－1且2m＋n≥－8，
所以－2m－8≤n≤－m－1，
当m＝1时，n取－2，－4，－8；
当m＝2时，n取－4，－8，－12；
当m＝3时，n取－4，－8，－12；
当m＝4时，n取－8，－12.
共11种取法，而m有4种选法，n有4种选法，
则函数f(x)＝x3＋mx＋n有4×4＝16(种)情况，
故函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点的概率是.

考点3 两个原理的综合应用

【例3】现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
【解析】(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法．
(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法．
(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；
第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法．
所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法．
【解后感悟】使用两个原理的原则
使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理．
【变式3-1】若在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法；
在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法．

【答案】5　6
【解析】对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法．
对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：
第一步，合上A中的一个开关；
第二步，合上B中的一个开关，
故有2×3＝6(种)不同的方法．
【变式3-2】(多选)已知集合A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，则对于方程＋＝1的说法正确的是(　　)
A．可表示3个不同的圆
B．可表示6个不同的椭圆
C．可表示3个不同的双曲线
D．表示焦点位于x轴上的椭圆有3个
【答案】ABD
【解析】当m＝n>0时，方程＋＝1表示圆，故有3个，选项A正确；当m≠n且m，n>0时，方程＋＝1表示椭圆，焦点在x，y轴上的椭圆分别有3个，故有3×2＝6(个)，选项B正确；若椭圆的焦点在x轴上，则m>n>0，当m＝4时，n＝2,3；当m＝3时，n＝2，即所求的椭圆共有2＋1＝3(个)，选项D正确；当mn