第1章 集合与逻辑（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（沪教版2020必修第一册）

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第1章                集合与逻辑（B卷·能力提升练）

（时间：120分钟，满分：150分）

一、填空题(共54分)

1．(本题4分)（2021·上海市延安中学高一期中）已知集合是矩形，集合是菱形，则___________.

【答案】是正方形

【分析】根据矩形、菱形的性质，即可求出集合的交集.

【详解】因为集合是矩形，集合是菱形，

所以是正方形

故答案为：是正方形

2．(本题4分)（2022·上海交大附中高三期中）已知集合则=__________．

【答案】

【详解】试题分析：把分别代入得:,即,因为,所以，故答案为．

考点：1、集合的表示；2、集合的交集．

3．(本题4分)（2021·上海市向明中学高一阶段练习）已知集合，若，则__________.

【答案】3.

【分析】根据并集的定义即可得到答案.

【详解】因为,且，所以a=3.

故答案为：3.

4．(本题4分)（2021·上海奉贤区致远高级中学高一期中）设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是_______.

【答案】

【分析】由已知条件可得出集合的包含关系，由此可求得实数的取值范围.

【详解】由已知可得，所以，.

故答案为：.

5．(本题4分)（2021·上海市七宝中学高一期中）已知集合，，若，则实数的所以可能取值组成的集合是_________.

【答案】

【分析】根据集合的包含关系分类求解．

【详解】时，，

时，，由得，或，即或，

综上，的取值集合是．

故答案为：．

6．(本题4分)（2021·上海市奉贤中学高一期中）若，则实数__________；

【答案】

【分析】结合已知条件，利用元素与集合的关系即可求解.

【详解】因为，

所以，解得.

故答案为：.

7．(本题5分)（2022·上海金山·二模）已知集合，若，则实数的值为__________.

【答案】0

【分析】解方程即得解.

【详解】解：因为，所以（舍去）或，

所以.

故答案为：0

8．(本题5分)（2021·上海·复旦附中高一期中）已知集合，且满足，则集合A的子集个数为______．

【答案】4

【分析】根据给定条件求出a值，进而求出集合A即可得解.

【详解】集合，而，则，解得，

因此，，则A的子集有(个)，

所以集合A的子集个数为4.

故答案为：4

9．(本题5分)（2021·上海市七宝中学高一期中）已知全集，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为___________.

【答案】

【分析】依题意阴影部分表示集合中去掉的部分，根据交集、补集的定义计算可得；

【详解】解：因为， ，所以，所以

故答案为：

10．(本题5分)（2021·上海·华师大二附中高一期中）设集合只有一个子集，则满足要求的实数组成的集合是_________.

【答案】

【分析】由题意可得，讨论和即可求解.

【详解】因为集合只有一个子集，

所以

，可得无实根，

当时，不符合题意，

所以，所以满足要求的实数组成的集合是，

故答案为：.

11．(本题5分)（2021·上海普陀·一模）设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________.

【答案】

【分析】对集合中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合的个数，综合可得结果.

【详解】集合中只有个奇数时，则集合的可能情况为：、、、、、，共种，

若集合中只有个奇数时，则集合，只有一种情况，

若集合中只含个偶数，共种情况；

若集合中只含个偶数，则集合可能的情况为、、，共种情况；

若集合中只含个偶数，则集合，只有种情况.

因为是的偶子集，分以下几种情况讨论：

若集合中的元素全为偶数，则满足条件的集合的个数为；

若集合中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共种；

若集合中的元素是个奇数个偶数，共种；

若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；

若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；

若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；

若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；

若集合中的元素为个奇数个偶数，共种.

综上所述，满足条件的集合的个数为.

故答案为：.

12．(本题5分)（2021·上海师大附中高一期中）如果，那么“”是“”成立的_________条件（选填“充分非必要”“必要非充分”“充要”、“非充分非必要”）

【答案】充分非必要

【分析】根据绝对值的性质，与充要条件的定义，即可得到答案．

【详解】若“”，则x，y同号，则“”成立

即“”是“”成立的充分条件

但“”成立时，x，y不异号，“”，“”不一定成立，

即“”是“”成立的不必要条件

即“”是“”成立的充分非必要条件

故答案为：充分非必要

二、单选题(共20分)

13．(本题5分)（2021·上海奉贤区致远高级中学高一期中）若，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用必要非充分的定义判断即得解.

【详解】解：“”成立，“”不一定成立，如：,所以“”是“”的不充分条件；

“”成立时，“”一定成立，

所以“”是“”的必要条件.

所以“”是“”的必要非充分条件.

故选：B

14．(本题5分)（2021·上海市崇明中学高一期中）若、是全集的真子集，则下列四个命题：①；②；③；④；⑤是的必要不充分条件其中与命题等价的有（       ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】B

【分析】根据韦恩图和集合的交、并、补运算的定义逐一判断可得选项.

【详解】解：由得韦恩图：

对于①，等价于，故①正确；

对于②，等价于，故②不正确；

对于③，等价于，故③正确；

对于④，与、是全集的真子集相矛盾，故④不正确；

对于⑤，是的必要不充分条件等价于BA，故⑤不正确，

所以与命题等价的有①③，共2个，

故选：B.

15．(本题5分)（2021·上海市风华中学高三期中）集合，，则中最小的元素是（       ）

A．13 B．16 C．23 D．58

【答案】C

【分析】求出集合，，

由此能求出中最小的元素.

【详解】解：∵集合，，

∴由已知可得集合，，

∴中最小的元素是23.

故选：C.

16．(本题5分)（2021·上海市大同中学高一期中）对集合，2，3，，的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减或加后继的数所得的结果．如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为10，则集合所有非空子集的“交替和”的总和为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】因为集合A的非空子集有个，逐个计算“交替和”再求总和是不可能的，必须通过分析“交替和”的特点，寻找“交替和”的规律.为了找到“交替和”的规律，令，则的非空子集共有15个，写出它们的全部“交替和”如下：

     ；          ；            ；

        ；                     ；                       3；

        ；                  ；               4.

            ；                            ；

            ；                           ；

               1；                                               2；

从以上写出的“交替和”我们发现，除了集合以外，可以把集合A的子集分成两类：一类子集中包含4，另一类不包含4，并且可以在这两类集合之间建立起一个一一映射：设是集合A的一个不包含4的子集，则令与集合相对应，显然与的“交替和”之和为4.因为这样的共有个，所以集合A的所有非空子集的“交替和”的总和为

【详解】解：集合，2，3，，的非空子集中，除去集合，还有个非空子集，将这个子集分成两类：第一类是包含元素的子集；第二类是不包含元素的子集；在第二类子集与第一类子集之间建立如下对应关系，其中是第二类子集，显然这种对应是一一映射，设的“交替和”为，则的“交替和”为，这一对集合的“交替和”的和等于，所以集合A的所有非空子集的“交替和”的总和为.

故选: A.

三、解答题(共76分)

17．(本题12分)（2020·上海中学高一期中）已知全集，集合，求实数的值.

【答案】

【解析】根据先确定出的可能取值，然后分类讨论取值的合理性确定出的值.

【详解】因为，所以，所以或，

当时，，不满足，所以不符合条件，

当时，，此时满足，所以满足，

综上可知：.

18．(本题14分)（2021·上海浦东新·高一期中）已知.

(1)若是的子集，求实数的值；

(2)若是的子集，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）由题得，解即得解；

（2）由题得，再对集合分三种情况讨论得解.

(1)

解：由题得.

若是的子集，则，

所以.

(2)

解：若是的子集，则.

①若为空集，则，解得；

②若为单元素集合，则，解得.

将代入方程，

得，即，符合要求；

③若为双元素集合，，则.

综上所述，或.

19．(本题16分)（2021·上海市七宝中学高一期中）设，

(1)是否存在，，使得，，说明理由；

(2)若，求，的值

【答案】(1)，;

(2)或，.

【分析】（1）由，，可得，的值；

（2）依据，可得，进而可得，的值.

(1)

由，可得，再由，可得

，所以，

即.

所以，存在，，使得，.

(2)

若，可得，

或，，带入中，可得，带回方程可得，，由，则，或，所以或，.

20．(本题16分)（2021·上海市桃浦中学高一期中）用合适的方法证明：

(1)已知，都是正数，求证：.

(2)已知是整数，是偶数，求证：也是偶数．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）利用分析法的证明方法，分析可知要证，只需证，结合均是正数，分类讨论当和当时，恒成立，即可求证；

（2）利用反证法，假设是奇数，求出，推出矛盾，即可证明.

(1)

证明：选用分析法证明如下：

已知，都是正数，要证，

即证，

即证，

即证，

即证，

只需证，

由于，都是正数，

当时，则，则，，

所以，

则成立；

当时，则，则，，

所以，

则成立；

所以，都是正数，恒成立，

即可证.

(2)

解：选用反证法证明如下：

假设不是偶数，即是奇数，

不妨设，则，

因为是偶数，所以是奇数，

这与已知是偶数矛盾，

由上述矛盾可知，一定是偶数.

21．(本题18分)（2021·上海·位育中学高一期中）已知集合为非空数集，定义：，.

(1)若集合，求证：，并直接写出集合；

(2)若集合，，且，求证：；

(3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值.

【答案】(1)证明见解析，；

(2)证明见解析；

(3)集合A中元素的个数的最大值为1348.

【分析】(1)根据题目的定义，直接计算集合S、T即可；

(2)根据相等集合的概念即可得出结果；

(3)通过假设集合()，求出对应的集合S、T，通过建立不等式关系，求出对应的值即可.

(1)

根据题意，由集合，计算集合，，所以；

(2)

由于，，且，

所以T中也只包含4个元素，即，

剩下的元素满足，即；

(3)

设满足题意，其中，

则，

所以，，所以，

因为，由容斥原理，，

最小的元素为0，最大的元素为，所以，

所以，解得，

实际上当时满足题意，证明如下：

设，

则，，

依题意，有，即，所以m的最小值为674，于是当时，

集合A中的元素最多，即时满足题意.

综上所述，集合A中元素的个数的最大值为1348.