上教版（2020）必修 第一册第3章 幂、指数与对数3.2 对数单元测试课后测评

第3章 幂、指数与对数（A卷·知识通关练）

核心知识1 指数幂的运算与化简

1．（2021·上海市控江中学高一期中）已知实数，化简: ______;

【答案】

【分析】根据实数指数幂的运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】根据实数指数幂的运算法则，可得.

故答案为：.

2．（2022·上海闵行·高一期末）设，则___________.

【答案】4

【分析】由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质，求值即可.

【详解】由.

故答案为：4.

3．（2022·上海浦东新·高一期末）当时，求的值___________．

【答案】0

【分析】由直接取绝对值号，进行开方运算即可求得.

【详解】因为，

所以.

故答案为：0

4．（2021·上海奉贤区致远高级中学高一期中）的4次方根是______.

【答案】

【分析】直接利用指数幂的运算求解即得解.

【详解】解：，

所以16的4次方根是.

故答案为：

5．（2020·上海奉贤·高一期中）设，，若、的几何平均值为（是自然对数的底数），则、的算术平均值的最小值为__________.

【答案】

【分析】利用指数的运算性质可得出，再利用基本不等式可求得结果.

【详解】由已知条件可得，所以，，

因为，，由基本不等式可得，

即，所以，，

当且仅当时，等号成立.

因此，、的算术平均值的最小值为.

故答案为：.

核心知识2．对数的意义

6．（2021·上海市进才中学高一期中）若，则实数的值为______.

【答案】

【分析】由指数式与对数式的互化公式求解即可

【详解】因为，

所以，

故答案为：

7．（2021·上海市第二中学高一期中）若有意义，则式中x的取值范围为__________．

【答案】

【分析】由对数的定义求解．

【详解】由题意，．

故答案为：．

8．（2020·上海市进才中学高一期中）若，则=__________.

【答案】2

【分析】将对数式化为指数式，由此求得.

【详解】由于，所以.

故答案为：

9．（2020·上海市川沙中学高一期中）已知，那么=（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据对数的定义，先求出，进而求出x.

【详解】因为，所以，则x=2.

故选：B.

10．（2022·上海闵行·高一期末）已知，用表示___________.

【答案】

【分析】利用指对互化可得答案.

【详解】因为，所以，

所以.

故答案为：.

11．（2021·上海市大同中学高一期中）已知，，则__．

【答案】72

【分析】把对数式化成指数式，再利用指数幂运算求得式子的值.

【详解】由，

所以.

故答案为：72

核心知识3．对数的运算与换底

12．（2022·上海浦东新·高一期末）计算：_______．

【答案】5

【分析】利用对数运算性质求解即可.

【详解】.

故答案为：

13．（2021·上海·格致中学高一期中）计算_________.

【答案】

【分析】利用对数运算公式直接计算即可.

【详解】

，

故答案为：.

14．（2021·上海市大同中学高一期中）设且，则下列说法正确的是（    ）

A．，则

B．，则

C．，则

D．

【答案】C

【分析】利用对数定义及其运算性质，依次判断四个选项即可.

【详解】对于A，当时，和均无意义，则选项A错误；

对于B，当时，和均无意义，则选项B错误；

对于C，若，则，则选项C正确；

对于D，若时，无意义，则选项D错误；

故选：.

15．（2022·上海杨浦·高一期末）已知，用a表示=__________.

【答案】

【分析】直接利用对数的运算性质求解

【详解】因为，

所以，

故答案为：

16．（2022·上海徐汇·高一期末）若，则用含x的代数式表示为___________.

【答案】##

【分析】将指数式化为对数式，再根据对数的运算性质可求出结果.

【详解】因为，所以，

所以.

故答案为：

17．（2022·上海市延安中学高一期末）已知，，则___________（用a､b表示）.

【答案】

【分析】根据对数的运算性质可得，再由指对数关系有，，即可得答案.

【详解】由，又，，

∴，，故.

故答案为：.

18．（2022·上海市七宝中学高三期中）实数，满足，则的最小值为___________.

【答案】8

【分析】利用基本不等式可求的最小值.

【详解】因为，

所以，故，当且仅当时等号成立，

故的最小值为8，

故答案为：8.

核心知识4．简单的指数、对数方程

19．（2022·浙江·高三专题练习）方程的解是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先化简为，再通过对指互化即得解.

【详解】由题得.

故选：A

20．（2022·全国·高一专题练习）方程的解是___．

【答案】

【分析】将原方程化简后换元得，求出，从而可求出的值

【详解】，

即为

令   

则有，解得(舍)

所以，

故答案为：．

21．（2022·上海静安·二模）解指数方程：__________.

【答案】或

【分析】直接对方程两边取以3为底的对数，讨论和，解出方程即可.

【详解】由得，即，当即时，显然成立；

当时，，解得；故方程的解为：或.

故答案为：或.

22．（2021·全国·高一课时练习）解关于的方程：

(1)；

(2)；

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）令，可得，再利用对数的概念即得；

（2）令，可得，可得或，再结合对数的概念即得.

(1)

令，则原可式化为，

解得（舍去），（可取），即，

∴；

(2)

令，则原式变为，

即，解得或，

当时，

解得或，都不符合题意，舍去，

当时，

解得，解得（舍去）或（可取），

综上.

23．（2022·全国·高一课时练习）已知，则___________．

【答案】3

【详解】根据题意可得：，

解得

故答案为：3

24．（2021·上海南汇中学高三期中）方程的解___________．

【答案】4

【分析】由对数的运算有,即，求解方程，再根据对数的真数大于,即可得出的解.

【详解】因为

所以

即,

解得或,

又因为对数的真数大于0,即,

所以.

故答案为：4

25．（2022·全国·高一专题练习）方程的解是_______．

【答案】，16

【分析】令，则可化为，解方程即可．

【详解】解：令，

则可化为，

解得或，

即或，

解得，或；

故答案为：，16．

26．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）方程的解为 __________ .

【答案】

【分析】由题意知，可求出的值，再结合真数大于零进行检验，从而可求出最终的解.

【详解】由，得，所以，又因为且，所以；

故答案为：.

27．（2022·重庆八中模拟预测）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：)与时间t(单位：)间的关系为：，其中，k是正的常数.已知前消除了的污染物，那么污染物减少50%需要约(精确到1)(    )

(参考数据：取，)

A．25 B．29 C．33 D．37

【答案】C

【分析】根据题意，令t＝5可求出，令解方程即可求得t的值．

【详解】由题意，t＝0时，P＝，即最开始时污染物含量为．

当t＝5时，，故，

令，可得，即

，即．

故污染物的量减少需要经过33小时．

故选：C．

28．（2021·全国·高一课前预习）求下列各式中的值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合对数运算求得的值.

（2）结合对数运算求得的值.

(1)

，.

(2)

，.