高中数学3.2 对数单元测试精练

第4章 幂函数、指数函数与对数函数（A卷·知识通关练）

核心知识1 幂函数的定义与图像

1．（2021·上海市杨浦高级中学高一期中）幂函数的定义域为______;

【答案】

【详解】

由根式的性质知：，

所以函数定义域为.

故答案为：

2．（2022·上海市延安中学高一期末）幂函数的图像在第___________象限.

【答案】一、二

【详解】

由解析式知：定义域为，且值域，

∴函数图像在一、二象限.

故答案为：一、二.

3．（2022·上海闵行·高一期末）若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为___________.

【答案】##

【详解】

由题设，，可得，

∴幂函数表达式为.

故答案为：.

4．（2021·上海市控江中学高一期中）已知为常数，函数为幂函数，则的值为______;

【答案】或1

【详解】

解：因为函数为幂函数，则，

即，解得或.

故答案为：或1.

5．（2022·上海交大附中高二期末）幂函数的图象与轴没有交点，则___________.

【答案】0

【详解】

根据幂函数的定义得，

解得或；

当时，，图象与轴有交点，不满足题意；

当时，，图象与轴没有交点，满足题意；

综上，，

故答案为：

6．（2020·上海市晋元高级中学高一期中）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

设幂函数为，

因为该幂函数图象经过点，

所以，即，

解得，

则函数的定义域为，所以排除CD，

因为，所以在上为减函数，

所以排除B，

故选：A

7．（2021·上海·高一单元测试）如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

当时，幂函数在上单调递减，

当时，幂函数在上单调递增，

可知曲线、对应的值为正数，曲线、对应的值为负数，

当时，幂函数在上的增长速度越来越快，可知曲线对应的值为，

当时，幂函数在上的增长速度越来越慢，可知曲线对应的值为，

令，分别代入，，得到，，

因为，可知曲线、对应的值分别为、.

故选：A.

8．（2022·上海交大附中高一期末）幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点，连接，线段恰好被其中的两个幂函数的图像三等分，即有．那么_______．

【答案】1

【分析】

求出的坐标，不妨设，，分别过，，分别代入点的坐标，变形可解得结果.

【详解】

因为，，，

所以，，

不妨设，，分别过，，

则，，

则，所以．

故答案为：1

核心知识2．幂函数的性质

9．（2021·上海市第二中学高一期中）已知，若函数在上随增大而减小，且图像关于轴对称，则_______

【答案】

【解析】

【分析】

利用幂函数的单调性、奇偶性与参数之间的关系可得出的值.

【详解】

若函数在上递减，则.

当时，函数为偶函数，合乎题意；

当时，函数为奇函数，不合乎题意.

综上所述，.

故答案为：.

10．（2022·上海中学高一期末）已知函数的最大值与最小值之差为，则______．

【答案】或.

【解析】

【分析】

根据幂函数的性质，结合题意，分类讨论，利用单调性列出方程，即可求解.

【详解】

由题意，函数，

当时，函数在上为单调递增函数，可得，解得；

当时，显然不成立；

当时，函数在上为单调递减函数，可得，解得，

综上可得，或.

故答案为：或.

11．（2021·上海奉贤区致远高级中学高一期中）若，则实数的取值范围为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

分析幂函数的定义域、奇偶性与单调性，根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】

函数的定义域为，

，函数为奇函数，

由幂函数的基本性质可知，函数在上为减函数，在上也为减函数，

且当时，，当时，.

由可得或或，

解得或.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

12．（2021·上海·上外浦东附中高一期末）已知幂函数的图像关于轴对称，与轴及轴均无交点，则由的值构成的集合是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据幂函数的性质列不等式，直接求解即可.

【详解】

由幂函数与轴及轴均无交点，

得，

解得，

又，即，

的图像关于轴对称，

即函数为偶函数，故为偶数，

所以，

故答案为：.

核心知识3．指数函数定义与图像

13．（2021·上海·高一专题练习）幂的基本不等式是：当，时，________1恒成立

【答案】

【解析】根据函数的性质，直接判断符号.

【详解】根据指数函数的性质可知当时，.

故答案为：

14．（2021·上海市建平中学高一期中）函数恒过定点___________．

【答案】

【分析】利用指数型函数的特征，求解函数恒过的定点坐标.

【详解】当，即时，，

所以恒过定点.

故答案为：

15．（2021·上海·高一专题练习）函数的图像恒过定点______.

【答案】

【解析】根据，结合条件，即可求得答案.

【详解】 ，令，得，，

函数的图象恒过定点，

故答案为：.

16．（2021·上海·高一期中）指数函数的图像经过点，则该指数函数的表达式为______．

【答案】

【分析】根据指数函数图象过点，代入解得的值．

【详解】解：指数函数且的图象经过点，

所以，解得，

所以该指数函数的表达式为．

故答案为：．

17．（2021·上海上海·高一期末）已知，则函数的图像必定不经过（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.

【详解】因为，故的图象经过第一象限和第二象限，

且当越来越大时，图象与轴无限接近.

因为，故的图象向下平移超过一个单位，故的图象不过第一象限.

故选：A．

18．（2021·上海交大附中高一期中）在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】判断b的范围，结合二次函数的开口方向，判断函数的图象即可．

【详解】解：函数的是指数函数，且，排除选项C，

如果，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：，

所以B正确；

对称轴在x轴左侧，C不正确；

如果，二次函数有一个零点，所以D不正确．

故选：B．

19．（2020·上海·高一专题练习）如图所示：曲线，，和分别是指数函数，, 和 的图象,则a，b，c，d 与1的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先根据指数函数的单调性，确定a，b，c，d与1的关系，再由时，函数值的大小判断.

【详解】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数，

当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数，

所以c，d大于1，a，b小于1，

由图知： ，即， ，即 ，

所以，

故选：D

核心知识4．指数函数的性质

20．（2022·上海杨浦·高一期末）不等式的解集是_____________.

【答案】

【分析】化为同底数幂，然后利用指数函数的单调性求解

【详解】由，得，

所以，解得，

所以不等式的解集为，

故答案为：

21．（2021·上海市控江中学高一期中）关于的不等式的解集为______;

【答案】

【分析】首先将不等式转化为，从而得到，再解指数不等式即可.

【详解】由题知：，

整理得：，即，

解得，即.

故答案为：

22．（2021·上海市杨浦高级中学高一期中）指数函数在区间[0,4]上的最大值与最小值之和为17，则______;

【答案】2

【分析】利用指数函数的单调性有，即可求参数值.

【详解】由在[0,4]上单调，则，

所以.

故答案为：2

23．（2021·上海市杨浦高级中学高一期中）已知函数是指数函数.

(1)该指数函数的图象经过点，求函数的表达式；

(2)解关于的不等式：.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）把代入见解析，结合指数函数的定义可得答案；

（2）利用指数函数的单调性解不等式可得答案.

（1）

因为指数函数的图象经过点，所以，

解得，所以；

（2）

因为是单调递减函数，由得，

解得，

所以不等式的解集为.

核心知识5．对数函数的定义与图像

24．（2021·上海·高一专题练习）给出下列函数：

①；②；③；④.

其中是对数函数的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】根据对数函数的特征判断即可得答案.

【详解】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；

③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．

故选:A.

25．（2021·上海市通河中学高一阶段练习）函数的定义域为________．

【答案】

【分析】根据函数特征得到不等式组，求出定义域.

【详解】由题意得：，解得：且，故函数的定义域为

故答案为：

26．（2022·上海长宁·高一期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可．

【详解】．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，

．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，

．由对数图象知，此时直线的纵截距，保持一致，

．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，

故选：．

27．（2020·上海奉贤区致远高级中学高一阶段练习）若对数函数且）的图象经过点，则实数______.

【答案】2

【分析】直接将点代入计算即可.

【详解】将点代入得，解得

故答案为：2.

28．（2021·上海金山·高一期末）对于任意不等于1的正数，函数的图像都经过一个定点，这个定点的坐标是_______.

【答案】

【分析】根据求得正确结论.

【详解】依题意，当，即时，，

所以定点为.

故答案为：

核心知识6．对数函数的性质

29．（2021·上海市建平中学高一期中）方程的解为___________．

【答案】##

【分析】利用对数的运算性质有，进而求解即可.

【详解】由且，则，故.

故答案为：

30．（2022·上海市延安中学高一期末）不等式的解集为___________.

【答案】

【分析】根据对数函数的单调性解不等式即可.

【详解】由题设，可得：，则，

∴不等式解集为.

故答案为：.

31．（2022·上海交大附中高二期末）函数的定义域为___________.

【答案】

【分析】根据函数定义域的求法，即可求解.

【详解】解：,解得,故函数的定义域为:.

故答案为：.

32．（2021·上海交大附中高一期中）已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是___．

【答案】

【分析】问题转化为ax＞对于任意实数x恒成立，然后对x分类，再由配方法求最值，即可求得实数a的取值范围．

【详解】解：∵函数的定义域是R，

∴+ax＞0对于任意实数x恒成立，

即ax＞对于任意实数x恒成立，

当x＝0时，上式化为0＞﹣1，此式对任意实数a都成立；

当x＞0时，则a＞＝，

∵x＞0，∴，则≥，

则≤，可得a＞；

当x＜0时，则a＜，

∵x＜0，∴，则＞1，

则＞1，可得a≤1．

综上可得，实数a的取值范围是．

故答案为：．